Quadratische Funktionen erkunden/Die Parameter der Scheitelpunktform

Quadratische Funktionen erkunden

• Wiederholung
• Quadratische Funktionen im Alltag
• Quadratische Funktionen kennenlernen
• Die Parameter der Scheitelpunktform
• Die Scheitelpunktform
• Die Parameter der Normalform
• Die Normalform
• Von der Scheitelpunkt- zur Normalform
• Übungen

< Mathematik-digital

In diesem Kapitel lernst du ganz unterschiedlich aussehende Parabeln kennen. Du wirst 1. herausfinden, wie man Parabeln strecken, stauchen und spiegeln kann, 2. entdecken, welche Parameter es in der Scheitelpunktform quadratischer Funktionen gibt. Mit diesem Wissen kannst du dann selbst verschiedene Parabeln darstellen und beschreiben.

Quadratische Funktionen verändern

Wenn du dir die Bilder von der Seite Quadratische Funktionen im Alltag noch einmal anschaust, dann fällt auf, dass die abgebildeten Parabeln anders aussehen als die gerade kennengelernte Normalparabel. In der Natur und in Anwendungen wird der Funktionsterm der Normalparabel (y = x²) variiert und es entstehen die unterschiedlichsten Parabeln.

Eine Anwendung wird dir im folgenden Video gezeigt. Das Deutsche Zentrum für Luft- und Raumfahrt (DLR) führt seit einigen Jahren Parabelflüge durch.

Vorlage:Video Video: Parabelflug des DLR

Durch unterschiedliche Parabelflüge wird die Schwerkraft, die auf dem Mond bzw. auf dem Mars herrscht, nachempfunden. In der Vorlage:Pdf-extern des DLR kannst du dir die zu fliegenden Parabeln auf Seite 16 angucken.

Merke

Parabeln können auf verschiedene Weisen in Termen dargestellt werden. Die beiden Formen, die du auf den nächsten Seiten kennenlernst, heißen

• Scheitelpunktform und

• Normalform.

Eine Parabel kann immer in beiden Darstellungsformen beschrieben werden.

Strecken, Stauchen und Spiegeln

Aufgabe 1

{{{2}}}

In dem Applet ist die Normalparabel, die du auf der letzten Seite des Lernpfades kennengelernt hast, als Funktion $f(x)$ eingezeichnet. Du kannst den Schieberegler a betätigen und dadurch den Graph $g(x)$ verändern. Was passiert?

Aufgabe 2

In dem folgenden Lückentext werden die Erkenntnisse, die du aus Aufgabe 1 mitnehmen konntest, noch einmal ausformuliert. Füge die fehlenden Begriffe und Zahlen in die Lücken.

Aufgabe 3

Knobelaufgabe

Merke

Multipliziert man $y=x^2$ mit einem Faktor a, wird die Parabel gestreckt, gestaucht und/oder gespiegelt. $y=ax^2$ (mit a≠0) ergibt demnach für:

a > 0: Die Parabel ist nach oben geöffnet.

a < 0: Die Parabel ist nach unten geöffnet.

a < -1 bzw. a > 1: Die Parabel ist gestreckt.

-1 < a < 1: Die Parabel ist gestaucht.

Der Parameter a wird auch Streckungsfaktor genannt.

Verschiebung in x-Richtung

Aufgabe 4

{{{2}}}

In dem Applet ist die Normalparabel, die du auf der letzten Seite des Lernpfades kennengelernt hast, eingezeichnet. Du kannst den Schieberegler d betätigen und dadurch den Graph verändern.

Aufgabe 5

x

Merke

Addiert oder subtrahiert man eine Zahl d von x vor dem Quadrieren, so wird die Parabel entlang der x-Achse verschoben. Für $y=(x-d)^2$ gilt:

d > 0: Die Parabel wird entlang der x-Achse nach links verschoben.

d < 0: Die Parabel wird entlang der x-Achse nach rechts verschoben.

Verschiebung in y-Richtung

Aufgabe 6

{{{2}}}

In dem Applet ist die Normalparabel, die du auf der letzten Seite des Lernpfades kennengelernt hast, eingezeichnet. Du kannst den Schieberegler e betätigen und dadurch den Graph verändern.

Aufgabe 7

{{{2}}}

Aufgabe 8

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Merke

Addiert oder subtrahiert man eine Zahl e von $y=x^2$, wird die Parabel entlang der y-Achse verschoben. Für $y=x^2+e$ gilt:

e > 0: Die Parabel wird entlang der y-Achse nach oben verschoben.

e < 0: Die Parabel wird entlang der y-Achse nach unten verschoben.

Zusammenfassung der wichtigsten Inhalte

Aufgabe 9

{{{2}}}

Merke

Multipliziert man $y=x^2$ mit einem Faktor a, wird die Parabel gestreckt, gestaucht und/oder gespiegelt. $y=ax^2$ (mit a≠0) ergibt demnach für:

a > 0: Die Parabel ist nach oben geöffnet.

a < 0: Die Parabel ist nach unten geöffnet.

a < -1 bzw. a > 1: Die Parabel ist gestreckt.

-1 < a < 1: Die Parabel ist gestaucht.

Der Parameter a wird auch Streckungsfaktor genannt.

Merke

Addiert oder subtrahiert man eine Zahl d von x vor dem Quadrieren, so wird die Parabel entlang der x-Achse verschoben. Für $y=(x-d)^2$ gilt:

d > 0: Die Parabel wird entlang der x-Achse nach links verschoben.

d < 0: Die Parabel wird entlang der x-Achse nach rechts verschoben.

Merke

Addiert oder subtrahiert man eine Zahl e von $y=x^2$, wird die Parabel entlang der y-Achse verschoben. Für $y=x^2+e$ gilt:

e > 0: Die Parabel wird entlang der y-Achse nach oben verschoben.

e < 0: Die Parabel wird entlang der y-Achse nach unten verschoben.

Die auf dieser Seite gewonnen Erkenntnisse können kombiniert werden und ergeben quadratische Funktion der Form $y=a(x-d)^2+e$. Diese Form heißt Scheitelpunktform, da die Parameter d und e die Koordinaten des Scheitelpunktes $S(d|e)$ der Parabel angeben.

Auf der nächsten Seite lernst du diese Variante quadratischer Funktionen genauer kennen. Außerdem befinden sich noch weitere Übungsaufgaben in dem Kapitel Übungen.

Erstellt von: Elena Jedtke (Diskussion)