Wir Goonyas, ihr Nungas und Eigenschaften ganzrationaler Funktionen: Unterschied zwischen den Seiten

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Main>Karl Kirst
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{{Kurzinfo-4|KJL|Idee|Links|gut}}
{| class="wikitable "
'''''Wir Goonyas, ihr Nungas''''' ist ein englischsprachiger Roman des australischen Autors [[Phillip Gwynne]], der auch in deutscher Übersetzung vorliegt.
<!--|+ TABLE CAPTION -->
|- style="background: #FFFACD;"
|- style="background: #FFC125; border:#FFC125;"
|
|- style="background: #FFF8DC; border:#FFC125;"
| '''Willkommen beim Lernpfad zu den Eigenschaften ganzrationaler Funktionen'''


== Inhalt ==
Zur Zeit beschäftigen wir uns mit [[Ganzrationale Funktionen|ganzrationalen Funktionen]], wobei du die einfachste Form, die [[Potenzfunktionen]], bereits kennengelernt hast. Von Interesse ist hier vor allem der Verlauf einer Funktion in Abhängigkeit des Funktionsterms für betragsmäßig große x-Werte, d.h. am "linken und am rechten Rand" des Definitionsbereiches. Dieses hast du bei den Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten bereits kennengelernt. Im folgenden sollen die bereits bekannten Informationen über die Potenzfunktionen auf allgemeine ganzrationale Funktionen übertragen werden.
Der 14-jährige Gary Black („Blacky“) ist eines von acht Geschwistern, die in einem kleinen Küstenort im Südwesten Australiens leben. Er spielt in der Jugend-Footballmannschaft des Ortes mit, die je zur Hälfte aus Goonyas (Weißen) und Nungas (Aborigines) besteht.


Eine Übersicht über den gesamten Inhalt nach Kapiteln bietet: {{pdf|Goonyas-Nungas-Inhalt.pdf|Phillip Gwynne, Wir Goonyas, ihr Nungas - Inhaltsübersicht}}
----


== Das Buch im Unterricht ==
'''Voraussetzungen'''
* Du kannst den Verlauf des Funktionsgraphen einer Potenzfunktion anhand des Funktionsterms beschreiben und skizzieren.
* Du kannst den Funktionsterm einer Potenzfunktion mit Hilfe eines Gleichungssystems ermitteln.


=== Allgemeine Einschätzung ===
'''Ziele'''
{{Kasten Deutsch|
* Du erkennst, wann eine ganzrationale Funktion vorliegt, und wann nicht.
Das Buch ist in einer jugendgemäßen Sprache aus der Perspektive des Ich-Erzählers Gary Black geschrieben. Auch wenn man gut verschiedene Konfliktbereiche anhand des Buches im Unterricht thematisieren kann, ist es doch nicht mit erhobenem Zeigefinger geschrieben.
* Du kannst den Verlauf für betragsmäßig große x-Werte des Funktionsgraphen einer ganzrationalen Funktion anhand des Funktionsterms beschreiben. <br />(Z.B. "von links unten nach rechts oben")
;Fazit:
* Du kannst den Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion mit Hilfe eines Gleichungssystems ermitteln.
*gut geeignet
*interessierte Schüler/innen sind Voraussetzung}}


=== Themen ===
|}
;Goonyas und Nungas: gegenseitige rassistische Vorurteile
 
 
== '''Hinweise zur Bearbeitung''' ==
 
'''1. Hefteintrag'''
 
Den groben Hefteintrag hast du bereits bekommen. Ansonsten kannst du ihn dir hier herunterladen. {{versteckt|[[Datei:Hefteintrag.pdf]]}}
Fülle die noch leeren Felder mit den im Lernpfad gewonnenen Informationen aus.
 
'''2. Bearbeitung'''
* Bearbeite die Aufgaben mit einem Mitschüler.
* Bearbeite die Aufgaben der Reihe nach.
* Überprüfe dein Wissen am Ende jedes Abschnittes durch die Beispielaufgaben
* Nutze die versteckten Hinweise erst, wenn du mit deinem Mitschüler sicher nicht mehr weiter kommst. Versuche so lange wie möglich ohne die Hinweise auszukommen.
 
 
== '''Wichtige Definitionen''' ==
 
 
{| class="wikitable "
|- style="background: #FFEC8B;"
|'''Polynom'''
|- style="background: #FFF8CD;"
| Terme, die aus einer Summe von Potenzen (mit Exponenten aus <math>\mathbb{N}_0</math>) bestehen, heißen ''Polynome''. <br />Der höchste vorkommende Exponent entspricht dem ''Grad des Polynoms''.
----
Beispiele:
 
2x<sup>4</sup> - 3x<sup>3</sup> + x - 5 ist ein Polynom vom Grad 4
 
-3x<sup>12</sup> + 14x<sup>2</sup> - 20 ist ein Polynom vom Grad 12
 
|}
 
{| class="wikitable "
|- style="background: #FFEC8B;"
|'''Ganzrationale Funktion'''
|- style="background: #FFF8CD;"
| Funktionen, deren Funktionsterme f(x) Polynome sind, nennt man ''ganzrationale Funktionen''. Der Grad des Polynoms ist dann auch der Grad der Funktion.
----
Beispiel:
<math>f(x)=-3x^7+1</math> ist eine ganzrationale Funktion vom Grad 7
 
|}
 
{| class="wikitable "
|- style="background: #FFEC8B;"
|'''Allgemeine Funktionsgleichung und Koeffizienten'''
|- style="background: #FFF8CD;"
| Der allgemeine Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion vom Grad n ist  <math>f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_2x^2 + a_1x+a_0</math>
 
Die a<sub>k</sub>  nennt man ''Koeffizienten'' (0<math>\le</math> k <math>\le</math> n).
----
Beispiele:
 
<math>f(x)=3x^2-5x+7</math>  mit a<sub>2</sub> = 3, a<sub>1</sub> = -5, a<sub>0</sub> = 7
 
<math>f(x)=-2x^4+3x</math>  mit a<sub>4</sub> = -2, a<sub>3</sub> = 0, a<sub>2</sub> = 0, a<sub>1</sub> = 3, a<sub>0</sub> = 0
 
|}
 
{{Aufgaben|1=|2= Entscheide ob folgende Funktionen ganzrational sind. Gib gegebenenfalls den Grad und alle Koeffizienten an.
 
::a) <math>f(x)=7x^3-5^x</math>
 
::b) <math>g(x)=0,5x^8-x^3+10</math>
 
::c) <math>h(x)=x^2(x-6)+3</math>
 
::d) <math>i(x)=\frac{5x^3}{x^2-7}</math>
 
 
Lösungen: {{versteckt|
a)keine ganzrationale Funktion 
 
b) ganzrationale Funktion vom Grad 8, <math>a_8 = 0,5</math>,  <math>a_7 = a_6 = a_5 = a_4 = a_2 = a_1 = 0</math>,  <math>a_3 = -1</math>, <math>a_0 = 10</math>
 
c)ganzrationale Funktion vom Grad 3, <math>a_3 = 1</math>,  <math>a_2 = -6</math>, <math>a_1 = 0</math>,  <math>a_0 = 3 </math> 
 
d)keine ganzrationale Funktion}}
 
}}
 
 
== '''Verhalten ganzrationaler Funktionen für betragsmäßig große x-Werte''' ==
 
=== Gerader Funktionsgrad ===
 
{{Aufgaben|1= |2= Gegeben sind die Funktionen <math>f(x)=3x^4+2x^3+x+2</math> und <math>g(x)=-4x^6+2x^3-2x</math>
 
:: a) Zeichne die Graphen der Funktionen mit GeoGebra in ein gemeinsames Koordinatensystem.
 
:: b) Welcher Unterschied bzw. welche Gemeinsamkeit fällt dir bezüglich des Verhaltens für '''betragsmäßig große x-Werte''' auf?
 
:: c) Welcher Summand im Funktionsterm ist vermutlich ausschlaggebend für das Verhalten?  Hilfe: {{versteckt|'''Verändere die Koeffizienten der Funktion 4ten Grades mit Hilfe der Schieberegler und finde heraus, welcher Summand das Verhalten des Graphen für große x-Werte beeinflusst.'''
<ggb_applet width="984" height="575"  version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> }}
 
:: d) Welche Fälle müssen beim Koeffizienten dieses Summanden unterschieden werden? Wie wirken sich diese auf das Verhalten aus?
 
:: e) Zeichne weitere ganzrationale Funktionen mit geradem Funktionsgrad und verschiedenen Koeffizienten in das Koordinatensystem und überprüfe damit deine Vermutungen.
 
:: f) Fasse deine Ergebnisse zusammen und ergänze den Hefteintrag an den entsprechenden Stellen.
}}
 
== Ungerader Funktionsgrad ==
 
{{Aufgaben|1= |2= Gegeben sind die Funktionen <math>f(x)=2x^5+4x^2-3</math> und <math>g(x)=-0,5x^3-x^2+3x-1</math>


;Jungen und Mädchen: Vorurteile von Jungen über Mädchen; erste Liebesgefühle und die Schwierigkeiten, damit umzugehen
:: a) Untersuche die beiden Funktionen wie im vorherigen Abschnitt zum geraden Funktionsgrad. Hilfe: {{versteckt|'''Verändere die Koeffizienten der Funktion 3ten Grades mit Hilfe der Schieberegler und finde heraus, welcher Summand das Verhalten des Graphen für große x-Werte beeinflusst.'''
<ggb_applet width="984" height="575"  version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
}}
:: b) Fasse deine Ergebnisse zusammen und ergänze den Hefteintrag an den entsprechenden Stellen.
}}


;familiäre Probleme: große Familie mit natürlichen Reibereien zwischen den Geschwistern; Vater trinkt; Mutter managt die Familie eigentlich ganz gut


=== Unterrichtsmaterialien ===
{| class="wikitable "
* {{pdf|Goonyas-Nungas-Inhalt.pdf}} - Inhaltsübersicht
|- style="background: #FFF8CD;"
|'''WICHTIG'''
----
Weitere Aussagen, z.B. über die Wertemenge, Extremwerte, Symmetrie, etc., sind hier noch nicht möglich!


=== Unterrichtsideen ===
Vergleiche deine Ergebnisse mit dem Schulbuch (S.112)
{{Idee|
* Die Schülerinnen und Schüler erstellen ein [[Lesetagebuch]].
* Sie beschreiben und charakterisieren „Blacky“ und andere Personen.
* Sie verständigen sich über für sie interessante [[#Themen|Themenbereiche]] im Roman und sammeln Textbelege zu diesem Themenbereich, so dass sie mit Bezug auf den Text die Aussagen des Romans zu einem Themenbereich darstellen und dazu Stellung beziehen können.
* Um ein Verständnis für den realen Hintergrund des Roamans zu schaffen, bietet sich eine [[WebQuest|Internetrecherche]] zu [[Australien]] an. Dies könnte auch fächerübergreifend im Rahmen der Fächer [[Gesellschaftslehre (NRW)|Gesellschaftslehre]] oder [[Erdkunde]] erfolgen.
* Je nach Interesse könnte auch einerseits die Sportart „(Australian) Football“ thematisiert und andererseits auf „Fair play“ im Sport eingegangen werden.}}


{{Übung|
|}
[[Phillip Gwynne]] hat in [[#Port Victoria|Port Victoria]] (Australien) gelebt. Und seine Biografie hat ihn beim Schreiben von „Wir Goonyas, ihr Nungas“ beeinflusst. - Recherchiere zu den [[#(Mögliche) Schauplätze der Handlung|möglichen Schauplätzen der Handlung des Buches]] im Internet.}}


== Text ==
Ein ausgefülltes Arbeitsblatt findest du hier. {{versteckt|[[Datei:Lösung AB.pdf]]}}
'''Phillip Gwynne: Wir Goonyas, ihr Nungas''', Carlsen Verlag, ISBN 3-551-37283-7, 7,90 € (D)


== '''Übungsaufgaben''' ==


== Rezensionen ==
{{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=Gib den charakteristischen Verlauf folgender Funktionen an:
<div class="lueckentext-quiz">


{{Meinung|Gary, ein 14-jähriger weißer Junge lebt in einem kleinen Küstenort im Südwesten [[Australien]]s und spielt in der (Australian-)Football-Mannschaft seines Ortes mit. In dieser sind je zur Hälfte Goonyas (Weiße) und Nungas (Aborigines aus einem Nachbarort). - Natürlich geht es um Konflikte zwischen Goonyas und Nungas, aber auch um Liebe und Familienleben. Insgesamt ist es ein Text, der in einer jugendlichen Sprache Vieles darstellt, worüber man auch sprehcne kann, ohne dass ein moralischer Zeigefinger erhoben würde. - Das Buch habe ich in einer 7. Klasse mit Erfolg gelesen. Es passt aber eventuell noch besser in eine 8. Klasse. -- [[Benutzer:Karl.Kirst|Karl.Kirst]] 22:01, 12. Dez 2004 (CET)}}
:: a) <math>x \rightarrow  3x^2-5x+1</math> '''links oben nach rechts oben'''
:: b) <math>x \rightarrow -0,1x^5-2,1x^4+1,7x+0,5</math> '''links oben nach rechts unten'''
:: c) <math>x \rightarrow (-5x)^4-12x^2+7x</math> '''links oben nach rechts oben'''
:: d) <math>x \rightarrow (x+3)^3-3x+7</math> '''links unten nach rechts oben'''
:: e) <math>x \rightarrow 4x^5-(x^2+2)^3</math> '''links unten nach rechts unten'''
:: f) <math>x \rightarrow x^5(3-x)</math> '''links unten nach rechts unten'''
:: g) <math>x \rightarrow (1,5x-1,2)(3,2x+3,7)</math> '''links oben nach rechts oben'''
:: h) <math>x \rightarrow (2-x^3)^3(2x^2+x)-14x^9</math> '''links oben nach rechts unten
:: i) <math>x \rightarrow (0,5-2x^2)^2(0,7-0,5x^2)^3</math> '''links unten nach rechts unten'''
:: j) <math>x \rightarrow 2x^{2n}+1</math> '''links oben nach rechts oben'''
</div>


* [http://literaturbeilage.zeit.de/show_article?ausgabe_id=17&artikel_id=200141_Nukkin_ya__Dumby._Tsch_ss__bis Nukkin ya, Dumby. Tschüss, bis dann, Blacky] - Konrad Heidkamp in „Die Zeit“, Literaturbeilage, Oktober 2002
Hinweise: {{versteckt|
:"Ein australischer Jugendroman erzählt mit verblüffendem Humor vom alltäglichen Rassismus"
1. Beachte nur die Potenz mit dem höchsten Exponenten.
* [http://www.zeit.de/2003/21/KJ-Gwynne Klettverschluss im Kopf] - Von Reinhard Osteroth (DIE ZEIT, 15.05.2003, Nr. 21)
2. Beachte die Potenzgesetze.
:"Spannender Jugendroman in der australischen Provinz: Phillip Gwynne schreibt von „Romeo und Julia“ zwischen Weißen und Aborigines"
3. Wird ein ganzes Polynom vom Grad n mit der Zahl m potenziert, so ergibt <math>(a_nx^n)^m</math> die höchste Potenz im Ergebnis. Der Rest ist nicht von Interesse!
    Z.B. <math>(3x^2-2x+1)^3 = (3x^2)^3+... = 27x^6+...</math>
4. Werden zwei Polynome vom Grad n und m und den Koeffizienten a<sub>k</sub> bzw. b<sub>j</sub> miteinander multipliziert, so ergibt das Produkt der Potenzen mit dem jeweils höchsten Exponenten, <math>a_nx^nb_mx^m</math>, im Ergebnis die Potenz mit dem höchsten Exponent.
    Z.B. <math>(1,5x^3+x^2)(x^4-2x)=1,5x^4x^3+x^4x^2-2xx^3-2xx^2=1,5x^7+x^6-2x^4-2x^3</math>
5. Achte auf die Vor- und Rechenzeichen.
}}


== Verfilmung ==
}}
Es gibt eine Verfilmung von "Wir Goonyas, ihr Nungas", die aber bisher leider nur auf Englisch vorliegt. Die entsprechende DVD ist nicht auf europäischen DVD-Spielern abspielbar.


== Hintergrundinformationen ==
{{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT=Ordne den Funktionsgraphen die passenden Funktionsterme zu.
<div class="lueckentext-quiz">
 
a)[[Bild:A2.a.png]]    b)[[Bild:A2.b.png]]    c)[[Bild:A2.c.png]]    d)[[Bild:A2.d.png]]    e)[[Bild:A2.h.png]]    f)[[Bild:A2.f.png]]  g)[[Bild:A2.g.png]]    h)[[Bild:A2.e.png]]


a)'''<math>f(x)=3x^5-2x^2-1</math>'''    b)'''<math>f(x)=2x^4</math>'''    c)'''<math>f(x)=-4x^4+3x+1</math>'''  d)'''<math>f(x)=-2,1x^9-2x^8+x^7-4x^6+3,5x^4+2,8</math>'''  e)'''<math>f(x)=(x^2+3x+2)(2x-3x^3)</math>'''  f)'''<math>f(x)=(-3x^2)^3+4</math>'''  g)'''<math>f(x)=7.1x^5+2x^3+4</math>'''  h)'''<math>f(x)=(2x^2-3x+1)^3</math>'''
</div>


=== Australien ===
Hinweis: {{versteckt|Nutze zur Zuordnung auch den Schnittpunkt mit der y-Achse f(0).
* [http://www.australienbilder.de/ Fotos von Australien] - [http://www.australienbilder.de/ australienbilder.de]
* ''Siehe auch: [[Australien]]''


=== (Mögliche) Schauplätze der Handlung ===
}}


==== Übersicht über die Handlungsorte / Orte ====
}}
{|border="1" cellspacing="0" align="center" width="75%"
 
!Handlungsort im Buch
{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=Mem-Quiz}}
!(möglicher) realer Ort
 
<div class="memo-quiz">
 
<big>'''Rationale Funktionen'''</big><br>
Finde die Paare aus je einem Funktionsgraph und dem dazu passenden Funktionsterm.
 
{|  
|-
| [[Bild:A3.a.png]] || <small> f(x)= -3x<sup>5</sup> + 2x<sup>3</sup> + 1,6x + 2</small>
|-
| [[Bild:A3.b.png]] || <small> g(x) = -3x<sup>2</sup> - 4x + 1</small>
|-
| [[Bild:A3.c.png]] || <small> h(x) = (2x<sup>2</sup>)<sup>3</sup> - 1,6x<sup>5</sup></small>
|-
| [[Bild:A3.d.png]] || <small> i(x) = (-0,7 x)<sup>3</sup> + 0,2x<sup>2</sup> - 0,4</small>
|-
|-
|Port
| [[Bild:A3.e.png]] || <small> j(x) = 3x<sup>7</sup> + x<sup>3</sup> + x</small>
|[[#Port Victoria|Port Victoria]], Yorke Peninsula
|-
|-
|Point
| [[Bild:A3.f.png]] || <small> k(x) = x (x<sup>2</sup> + 2x) + 0,5</small>
|[[#Point Pearce|Point Pearce]], Yorke Peninsula
|-
|-
|Peninsula
| [[Bild:A3.g.png]] || <small> l(x) = -(2x<sup>4</sup> + 3,4x<sup>2</sup>)</small>
|[[#Yorke Peninsula|Yorke Peninsula]]
|-
| [[Bild:A3.h.png]] || <small> m(x) = 2x + 3</small>
|}
|}
</div>
== '''Bestimmung von Funktionstermen''' ==
=== Der y-Achsenabschnitt ===
{| class="wikitable "
|- style="background: #FFEC8B;"
|'''y-Achsenabschnitt'''
|- style="background: #FFF8CD;"
| Als y-Achsenabschnitt wird der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse genannt. Er ergibt sich, wenn für den x-Wert 0 eingesetzt wird. <br />Damit folgt aus der allgemeinen Funktionsgleichung <math>f(0)=a_n0^n + ... + a_10 + a_0 = a_0</math> <br /> 
Es ist also S<sub>y</sub> (0/ a<sub>0</sub>) und damit ist der y-Achsenabschnitt gerade a<sub>0</sub>.
|}
{{Merken|MERK=Ist der Funktionsgraph gegeben, so lässt sich a<sub>0</sub> direkt ablesen.<br /> Ist der Schnittpunkt S<sub>y</sub> mit der y-Achse gegeben, so lässt sich a<sub>0</sub> direkt angeben. }}
=== Aufstellen eines linearen Gleichungssystems ===
{{Merken|MERK=
* Die Anzahl der unbekannten Koeffizienten gibt an, wieviele Bedingungen (z.B. Punkte, die auf dem Graphen der Funktion liegen) bekannt sein müssen, um den Funktionsterm eindeutig bestimmen zu können.
* Gib immer zunächst den allgemeinen Funktionsterm an um dir einen Überblick über die gesuchten Koeffizienten zu verschaffen.
* Durch das Aufstellen von Gleichungen, mit Hilfe der Bedingungen, ergibt sich ein lineares Gleichungssystem, mit welchem sich die gesuchten Koeffizienten nach und nach bestimmen lassen. }}
{{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=Bestimme den Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion mit Hilfe der jeweiligen Bedingungen:
a) Der Graph der Funktion f vom Grad 4 verläuft durch die Punkte P(-2/6), und Q(1/-1,2) als auch durch den Ursprung. Der Funktionsterm besteht nur aus Potenzen mit geradzahligem Exponenten.
b) Die Punkte P(-1/3), Q(1/0) und S(2/4,5) liegen auf dem Funktionsgraph einer Funktion dritten Grades. Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt S<sub>y</sub>(0/1,5)
Lösungen: {{versteckt|
a) Allgemeiner Funktionsterm: <math>f(x)=a_4x^4+a_2x^2+a_0</math> <br /> (0/0) <math>\in G_f</math> <math>\rightarrow</math> <math>a_0=0</math> <br /> P, Q <math>\in G_f</math> <math>\rightarrow</math>


==== Port Victoria ====
* [http://portvictoria.yorke.net.au/ Port Victoria] auf der [http://www.yorke.net.au/ Yorke Peninsula]
* [http://www.yorkeregion.on.net/ptvic/ptvicprogress.htm Port Victoria] - [http://www.yorkeregion.on.net Yorke Region on Net]
* {{wp|wikipedia:en:Port Victoria, South Australia|Port Victoria, South Australia}}


==== Point Pearce ====
1.  <math> 6 = a_4(-2)^4 + a_2(-2)^2</math> <br /> 2. <math>-1,2 = a_4 + a_2</math>
* [http://www.yorkeregion.on.net/pointpearce.htm Point Pearce] - [http://www.yorkeregion.on.net Yorke Region on Net]


==== Yorke Peninsula ====
Lösen des Gleichungssystems liefert: <br /> <math>f(x) = 0,9x^4-2,1x^2</math>
* [http://www.yorke.net.au/ Yorke Peninsula]


=== Aborigines ===


* [http://www.australien-info.de/aborigines.html Aboriginal People]
b) Allgemeiner Funktionsterm: <math>f(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0</math>  <br /> <math>f(x)=x^3-2,5x+1,5</math>
* {{wpde|Aborigine|Aborigine}}
* [http://www.outback-guide.de/ozinfo/Aborigines/ Aborigines] - [http://www.outback-guide.de/ Rainer's Australien Outback-Guide]


=== Autralian Football ===
}}
* [http://www.afvh.de/text.php3?Inhalt=australian Australian Football] (AFV Hessen)
:Informationen über Geschichte und Regeln der Sportart


== Siehe auch ==
}}
* [[Deutsch 7/8]]
* [[Gegenwartsliteratur]]
* [[Kinder- und Jugendliteratur]]




[[Kategorie:Werk]]
[[Kategorie:Funktionen]]
[[Kategorie:Werk (Englisch)]]
[[Kategorie:Lernpfade]]

Version vom 2. Januar 2013, 20:08 Uhr

Willkommen beim Lernpfad zu den Eigenschaften ganzrationaler Funktionen

Zur Zeit beschäftigen wir uns mit ganzrationalen Funktionen, wobei du die einfachste Form, die Potenzfunktionen, bereits kennengelernt hast. Von Interesse ist hier vor allem der Verlauf einer Funktion in Abhängigkeit des Funktionsterms für betragsmäßig große x-Werte, d.h. am "linken und am rechten Rand" des Definitionsbereiches. Dieses hast du bei den Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten bereits kennengelernt. Im folgenden sollen die bereits bekannten Informationen über die Potenzfunktionen auf allgemeine ganzrationale Funktionen übertragen werden.


Voraussetzungen

  • Du kannst den Verlauf des Funktionsgraphen einer Potenzfunktion anhand des Funktionsterms beschreiben und skizzieren.
  • Du kannst den Funktionsterm einer Potenzfunktion mit Hilfe eines Gleichungssystems ermitteln.

Ziele

  • Du erkennst, wann eine ganzrationale Funktion vorliegt, und wann nicht.
  • Du kannst den Verlauf für betragsmäßig große x-Werte des Funktionsgraphen einer ganzrationalen Funktion anhand des Funktionsterms beschreiben.
    (Z.B. "von links unten nach rechts oben")
  • Du kannst den Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion mit Hilfe eines Gleichungssystems ermitteln.


Hinweise zur Bearbeitung

1. Hefteintrag

Den groben Hefteintrag hast du bereits bekommen. Ansonsten kannst du ihn dir hier herunterladen. Vorlage:Versteckt Fülle die noch leeren Felder mit den im Lernpfad gewonnenen Informationen aus.

2. Bearbeitung

  • Bearbeite die Aufgaben mit einem Mitschüler.
  • Bearbeite die Aufgaben der Reihe nach.
  • Überprüfe dein Wissen am Ende jedes Abschnittes durch die Beispielaufgaben
  • Nutze die versteckten Hinweise erst, wenn du mit deinem Mitschüler sicher nicht mehr weiter kommst. Versuche so lange wie möglich ohne die Hinweise auszukommen.


Wichtige Definitionen

Polynom
Terme, die aus einer Summe von Potenzen (mit Exponenten aus ) bestehen, heißen Polynome.
Der höchste vorkommende Exponent entspricht dem Grad des Polynoms.

Beispiele:

2x4 - 3x3 + x - 5 ist ein Polynom vom Grad 4

-3x12 + 14x2 - 20 ist ein Polynom vom Grad 12

Ganzrationale Funktion
Funktionen, deren Funktionsterme f(x) Polynome sind, nennt man ganzrationale Funktionen. Der Grad des Polynoms ist dann auch der Grad der Funktion.

Beispiel: ist eine ganzrationale Funktion vom Grad 7

Allgemeine Funktionsgleichung und Koeffizienten
Der allgemeine Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion vom Grad n ist

Die ak nennt man Koeffizienten (0 k n).


Beispiele:

mit a2 = 3, a1 = -5, a0 = 7

mit a4 = -2, a3 = 0, a2 = 0, a1 = 3, a0 = 0


Aufgabe

Entscheide ob folgende Funktionen ganzrational sind. Gib gegebenenfalls den Grad und alle Koeffizienten an.

a)
b)
c)
d)


Lösungen: Vorlage:Versteckt


Verhalten ganzrationaler Funktionen für betragsmäßig große x-Werte

Gerader Funktionsgrad

Aufgabe

Gegeben sind die Funktionen und

a) Zeichne die Graphen der Funktionen mit GeoGebra in ein gemeinsames Koordinatensystem.
b) Welcher Unterschied bzw. welche Gemeinsamkeit fällt dir bezüglich des Verhaltens für betragsmäßig große x-Werte auf?
c) Welcher Summand im Funktionsterm ist vermutlich ausschlaggebend für das Verhalten? Hilfe: Vorlage:Versteckt
d) Welche Fälle müssen beim Koeffizienten dieses Summanden unterschieden werden? Wie wirken sich diese auf das Verhalten aus?
e) Zeichne weitere ganzrationale Funktionen mit geradem Funktionsgrad und verschiedenen Koeffizienten in das Koordinatensystem und überprüfe damit deine Vermutungen.
f) Fasse deine Ergebnisse zusammen und ergänze den Hefteintrag an den entsprechenden Stellen.


Ungerader Funktionsgrad

Aufgabe

Gegeben sind die Funktionen und

a) Untersuche die beiden Funktionen wie im vorherigen Abschnitt zum geraden Funktionsgrad. Hilfe: Vorlage:Versteckt
b) Fasse deine Ergebnisse zusammen und ergänze den Hefteintrag an den entsprechenden Stellen.


WICHTIG

Weitere Aussagen, z.B. über die Wertemenge, Extremwerte, Symmetrie, etc., sind hier noch nicht möglich!

Vergleiche deine Ergebnisse mit dem Schulbuch (S.112)

Ein ausgefülltes Arbeitsblatt findest du hier. Vorlage:Versteckt

Übungsaufgaben

Vorlage:Arbeiten

Vorlage:Arbeiten

Vorlage:Arbeiten

Rationale Funktionen
Finde die Paare aus je einem Funktionsgraph und dem dazu passenden Funktionsterm.

A3.a.png f(x)= -3x5 + 2x3 + 1,6x + 2
A3.b.png g(x) = -3x2 - 4x + 1
A3.c.png h(x) = (2x2)3 - 1,6x5
A3.d.png i(x) = (-0,7 x)3 + 0,2x2 - 0,4
A3.e.png j(x) = 3x7 + x3 + x
A3.f.png k(x) = x (x2 + 2x) + 0,5
A3.g.png l(x) = -(2x4 + 3,4x2)
A3.h.png m(x) = 2x + 3


Bestimmung von Funktionstermen

Der y-Achsenabschnitt

y-Achsenabschnitt
Als y-Achsenabschnitt wird der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse genannt. Er ergibt sich, wenn für den x-Wert 0 eingesetzt wird.
Damit folgt aus der allgemeinen Funktionsgleichung

Es ist also Sy (0/ a0) und damit ist der y-Achsenabschnitt gerade a0.

Vorlage:Merken

Aufstellen eines linearen Gleichungssystems

Vorlage:Merken

Vorlage:Arbeiten