Eigenschaften ganzrationaler Funktionen und Trigonometrische Funktionen: Unterschied zwischen den Seiten

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[[Benutzer:Silvia Joachim|<b>Silvia Joachim</b>]], [[Benutzer:Karlo Haberl|<b>Karl Haberl</b>]] und [[Benutzer:Franz Embacher|<b>Franz Embacher</b>]]  
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|- style="background: #FFFACD;"
|- style="background: #FFC125; border:#FFC125;"
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|- style="background: #FFF8DC; border:#FFC125;"
| '''Willkommen beim Lernpfad zu den Eigenschaften ganzrationaler Funktionen'''
 
Zur Zeit beschäftigen wir uns mit [[Ganzrationale Funktionen|ganzrationalen Funktionen]], wobei du die einfachste Form, die [[Potenzfunktionen]], bereits kennengelernt hast. Von Interesse ist hier vor allem der Verlauf einer Funktion in Abhängigkeit des Funktionsterms für betragsmäßig große x-Werte, d.h. am "linken und am rechten Rand" des Definitionsbereiches. Dieses hast du bei den Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten bereits kennengelernt. Im folgenden sollen die bereits bekannten Informationen über die Potenzfunktionen auf allgemeine ganzrationale Funktionen übertragen werden.


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'''Voraussetzungen'''
* Du kannst den Verlauf des Funktionsgraphen einer Potenzfunktion anhand des Funktionsterms beschreiben und skizzieren.
* Du kannst den Funktionsterm einer Potenzfunktion mit Hilfe eines Gleichungssystems ermitteln.


'''Ziele'''
'''Quick-Links:'''
* Du erkennst, wann eine ganzrationale Funktion vorliegt, und wann nicht.
{{versteckt|
* Du kannst den Verlauf für betragsmäßig große x-Werte des Funktionsgraphen einer ganzrationalen Funktion anhand des Funktionsterms beschreiben. <br />(Z.B. "von links unten nach rechts oben")
*[[Trigonometrische Funktionen 2/Didaktischer Kommentar|<font color="#990000">Für LehrerInnen: Didaktischer Kommentar</font>]]
* Du kannst den Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion mit Hilfe eines Gleichungssystems ermitteln.
*[[Trigonometrische Funktionen 2/Wiederholung|Wiederholung: Erfahre hier die Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen und ihrer Graphen!]]
*[[Trigonometrische_Funktionen 2/quadratische Funktionen|Wiederholung: Erforsche hier den Einfluss der Parameter auf das Aussehen des Graphen bei quadratischen Funktionen!]]
*[[Trigonometrische_Funktionen 2/Zum_Nachschlagen|FAQ: Hier kannst du die Bedeutung der verwendeten Begriffe nachschlagen.]]
*'''[[Trigonometrische Funktionen 2/Einfluss der Parameter|<font color="#990000">Station 1: Erforsche hier den Einfluss der Parameter auf das Aussehen des Graphen!</font>]]'''
*'''[[Trigonometrische Funktionen 2/Bestimmung der Funktionsgleichung aus dem Graphen|<font color="#990000">Station 2: Erfahre hier, wie du aus dem Graphen einer Funktion deren Term ablesen kannst - und mehr!</font>]]'''
*'''[[Trigonometrische Funktionen 2/Anwendungen|<font color="#990000">Anwendungen: Lerne hier einige Anwendungen  kennen!</font>]]'''
**'''[[Trigonometrische Funktionen 2/Anwendungen in der Physik|<font color="#990000">'''Anwendungen in der Physik'''</font> ]]
**'''[[Trigonometrische Funktionen 2/Marie|<font color="#990000">'''Marie und ihre Freundinnen'''</font> ]]
}}


|}




== '''Hinweise zur Bearbeitung''' ==
===Über diesen Lernpfad===


'''1. Hefteintrag'''
Hier sollen sich die SchülerInnen mit der Variation von Parametern in Sinus- und Kosinusfunktionen beschäftigen und ihre Auswirkung erarbeiten und beschreiben können.


Den groben Hefteintrag hast du bereits bekommen. Ansonsten kannst du ihn dir hier herunterladen. {{versteckt|[[Datei:Hefteintrag.pdf]]}}
[[Trigonometrische Funktionen 2/Didaktischer Kommentar|<font color="#990000">Didaktischer Kommentar</font>]]
Fülle die noch leeren Felder mit den im Lernpfad gewonnenen Informationen aus.


'''2. Bearbeitung'''
* Bearbeite die Aufgaben mit einem Mitschüler.
* Bearbeite die Aufgaben der Reihe nach.
* Überprüfe dein Wissen am Ende jedes Abschnittes durch die Beispielaufgaben
* Nutze die versteckten Hinweise erst, wenn du mit deinem Mitschüler sicher nicht mehr weiter kommst. Versuche so lange wie möglich ohne die Hinweise auszukommen.




== '''Wichtige Definitionen''' ==
<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
'''Kompetenzen'''
&nbsp;{{versteckt|




{| class="wikitable "
'''Das kannst du lernen'''
|- style="background: #FFEC8B;"
|'''Polynom'''
|- style="background: #FFF8CD;"
| Terme, die aus einer Summe von Potenzen (mit Exponenten aus <math>\mathbb{N}_0</math>) bestehen, heißen ''Polynome''. <br />Der höchste vorkommende Exponent entspricht dem ''Grad des Polynoms''.
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Beispiele:


2x<sup>4</sup> - 3x<sup>3</sup> + x - 5 ist ein Polynom vom Grad 4
*Erkennen der Auswirkung der Variation von Parametern im Funktionsterm auf die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion und umgekehrt.


-3x<sup>12</sup> + 14x<sup>2</sup> - 20 ist ein Polynom vom Grad 12


|}
'''Das kannst du schon'''


{| class="wikitable "
*Darstellungsformen von Funktionen
|- style="background: #FFEC8B;"
*Kenntnis der Auswirkung von Variationen in den Darstellungsformen von linearen und quadratischen Funktionen
|'''Ganzrationale Funktion'''
*Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen
|- style="background: #FFF8CD;"
| Funktionen, deren Funktionsterme f(x) Polynome sind, nennt man ''ganzrationale Funktionen''. Der Grad des Polynoms ist dann auch der Grad der Funktion.
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Beispiel:
<math>f(x)=-3x^7+1</math> ist eine ganzrationale Funktion vom Grad 7


|}


{| class="wikitable "
Wenn du die Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen und ihrer Graphen wiederholen möchtest, rufe [[Trigonometrische Funktionen 2/Wiederholung|<font color="#990000">diese Seite</font>]] auf!
|- style="background: #FFEC8B;"
}}
|'''Allgemeine Funktionsgleichung und Koeffizienten'''
</div>
|- style="background: #FFF8CD;"
<br>
| Der allgemeine Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion vom Grad n ist  <math>f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_2x^2 + a_1x+a_0</math>
<br>
<br>
{|
|[[Bild:Hellsehen.jpg|150px]]||
Hallo! Wäre es nicht toll, wenn du hellsehen könntest? Wenn du den Graphen eines Funktionsterms auch ohne Wertetabelle direkt zeichnen könntest? Wenn du aus dem Graphen einer Funktion deren Term ablesen könntest?


Die a<sub>k</sub>  nennt man ''Koeffizienten'' (0<math>\le</math> k <math>\le</math> n).
Für die linearen und die [[Trigonometrische_Funktionen_2/quadratische Funktionen|quadratischen Funktionen]] beherrschst du diese Kunst wahrscheinlich schon. Dann wirst du vieles von deinem Wissen auf die allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion übertragen können.
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Beispiele:
 
<math>f(x)=3x^2-5x+7</math>  mit a<sub>2</sub> = 3, a<sub>1</sub> = -5, a<sub>0</sub> = 7
 
<math>f(x)=-2x^4+3x</math>  mit a<sub>4</sub> = -2, a<sub>3</sub> = 0, a<sub>2</sub> = 0, a<sub>1</sub> = 3, a<sub>0</sub> = 0


|
{{#ev:youtube|nw2Oksmik2A|150}}
|}
|}


{{Aufgaben|1=|2= Entscheide ob folgende Funktionen ganzrational sind. Gib gegebenenfalls den Grad und alle Koeffizienten an.
{|
|
'''Hinweise:'''


::a) <math>f(x)=7x^3-5^x</math>
*Denke bitte daran die Hefteinträge in dein Heft zu übernehmen!


::b) <math>g(x)=0,5x^8-x^3+10</math>
*Bei den GeoGebra-Applets ist die <math>\ x</math>-Achse mit Vielfachen von <math> \pi </math> beschriftet. Indem man die <math>\ x</math>-Achse mit der rechten Maustaste anklickt und "Eigenschaften" wählt, kann man auf die Einheit'' cm ''umstellen.


::c) <math>h(x)=x^2(x-6)+3</math>
*Zu den meisten Aufgaben gibt es Lösungen, diese befinden sich am Ende der jeweiligen Seite. Bearbeite zuerst die Aufgaben, mache dir Notizen und vergleiche diese erst zum Schluss mit den Lösungen!
|
{{#ev:youtube|j3cCtx-bao0|150}}
|}


::d) <math>i(x)=\frac{5x^3}{x^2-7}</math>


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Lösungen: {{versteckt|  
{|
a)keine ganzrationale Funktion 
|
Dieser Lernpfad enthält zwei Stationen, die du am besten nacheinander bearbeitest. Klicke dazu einfach auf die gewünschte Station!


b) ganzrationale Funktion vom Grad 8, <math>a_8 = 0,5</math>,  <math>a_7 = a_6 = a_5 = a_4 = a_2 = a_1 = 0</math>,  <math>a_3 = -1</math>, <math>a_0 = 10</math>
Wenn du vorher die Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen und ihrer Graphen wiederholen möchtest, rufe [[Trigonometrische Funktionen_2/Wiederholung|<font color="#990000">diese Seite</font>]] auf.


c)ganzrationale Funktion vom Grad 3, <math>a_3 = 1</math>,  <math>a_2 = -6</math>, <math>a_1 = 0</math>,  <math>a_0 = 3 </math> 
d)keine ganzrationale Funktion}}
}}
== '''Verhalten ganzrationaler Funktionen für betragsmäßig große x-Werte''' ==
=== Gerader Funktionsgrad ===
{{Aufgaben|1= |2= Gegeben sind die Funktionen <math>f(x)=3x^4+2x^3+x+2</math> und <math>g(x)=-4x^6+2x^3-2x</math>
:: a) Zeichne die Graphen der Funktionen mit GeoGebra in ein gemeinsames Koordinatensystem.
:: b) Welcher Unterschied bzw. welche Gemeinsamkeit fällt dir bezüglich des Verhaltens für '''betragsmäßig große x-Werte''' auf?
:: c) Welcher Summand im Funktionsterm ist vermutlich ausschlaggebend für das Verhalten?  Hilfe: {{versteckt|'''Verändere die Koeffizienten der Funktion 4ten Grades mit Hilfe der Schieberegler und finde heraus, welcher Summand das Verhalten des Graphen für große x-Werte beeinflusst.'''
<ggb_applet width="984" height="575"  version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> }}
:: d) Welche Fälle müssen beim Koeffizienten dieses Summanden unterschieden werden? Wie wirken sich diese auf das Verhalten aus?
:: e) Zeichne weitere ganzrationale Funktionen mit geradem Funktionsgrad und verschiedenen Koeffizienten in das Koordinatensystem und überprüfe damit deine Vermutungen.
:: f) Fasse deine Ergebnisse zusammen und ergänze den Hefteintrag an den entsprechenden Stellen.
}}
== Ungerader Funktionsgrad ==
{{Aufgaben|1= |2= Gegeben sind die Funktionen <math>f(x)=2x^5+4x^2-3</math> und <math>g(x)=-0,5x^3-x^2+3x-1</math>
:: a) Untersuche die beiden Funktionen wie im vorherigen Abschnitt zum geraden Funktionsgrad. Hilfe: {{versteckt|'''Verändere die Koeffizienten der Funktion 3ten Grades mit Hilfe der Schieberegler und finde heraus, welcher Summand das Verhalten des Graphen für große x-Werte beeinflusst.'''
<ggb_applet width="984" height="575"  version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
}}
:: b) Fasse deine Ergebnisse zusammen und ergänze den Hefteintrag an den entsprechenden Stellen.
}}


<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
*'''[[Trigonometrische Funktionen_2/Einfluss der Parameter|<font color="#990000">Station 1: Erforsche hier den Einfluss der Parameter auf das Aussehen des Graphen!</font>]]'''
</div>
<graphviz>
digraph G {
rankdir=RL;
"Term" -> "Graph"[label="                                                      "];
edge [color = white]; "Term" -> "Hellsehen";
"Hellsehen" -> "Graph";
edge [color = black]; rankdir=LR;
"Graph" -> "Term"; 
}
</graphviz>
<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
*'''[[Trigonometrische Funktionen_2/Bestimmung der Funktionsgleichung aus dem Graphen|<font color="#990000">Station 2: Erfahre hier, wie du aus dem Graphen einer Funktion deren Term ablesen kannst - und mehr!</font>]]'''</div>


{| class="wikitable "
|- style="background: #FFF8CD;"
|'''WICHTIG'''
----
----
Weitere Aussagen, z.B. über die Wertemenge, Extremwerte, Symmetrie, etc., sind hier noch nicht möglich!


Vergleiche deine Ergebnisse mit dem Schulbuch (S.112)
===Physik-Ecke===


{| border=0
|{{#ev:youtube|jlZ3fCw5m1U|150}}
|rowspan=2 |
<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
*'''[[Trigonometrische Funktionen/Anwendungen|<font color="#990000">Lerne hier einige Anwendungen kennen!</font>]]'''</div>
|}
|}


Ein ausgefülltes Arbeitsblatt findest du hier. {{versteckt|[[Datei:Lösung AB.pdf]]}}
|
:{{#ev:youtube|eAKO-C8Duac|150}}
|}


== '''Übungsaufgaben''' ==
----


{{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=Gib den charakteristischen Verlauf folgender Funktionen an:
===Experimentier-Ecke===
<div class="lueckentext-quiz">
 
:: a) <math>x \rightarrow  3x^2-5x+1</math> '''links oben nach rechts oben'''
:: b) <math>x \rightarrow -0,1x^5-2,1x^4+1,7x+0,5</math> '''links oben nach rechts unten'''
:: c) <math>x \rightarrow (-5x)^4-12x^2+7x</math> '''links oben nach rechts oben'''
:: d) <math>x \rightarrow (x+3)^3-3x+7</math> '''links unten nach rechts oben'''
:: e) <math>x \rightarrow 4x^5-(x^2+2)^3</math> '''links unten nach rechts unten'''
:: f) <math>x \rightarrow x^5(3-x)</math> '''links unten nach rechts unten'''
:: g) <math>x \rightarrow (1,5x-1,2)(3,2x+3,7)</math> '''links oben nach rechts oben'''
:: h) <math>x \rightarrow (2-x^3)^3(2x^2+x)-14x^9</math> '''links oben nach rechts unten
:: i) <math>x \rightarrow (0,5-2x^2)^2(0,7-0,5x^2)^3</math> '''links unten nach rechts unten'''
:: j) <math>x \rightarrow 2x^{2n}+1</math> '''links oben nach rechts oben'''
</div>
 
Hinweise: {{versteckt|
1. Beachte nur die Potenz mit dem höchsten Exponenten.
2. Beachte die Potenzgesetze.
3. Wird ein ganzes Polynom vom Grad n mit der Zahl m potenziert, so ergibt <math>(a_nx^n)^m</math> die höchste Potenz im Ergebnis. Der Rest ist nicht von Interesse!
    Z.B. <math>(3x^2-2x+1)^3 = (3x^2)^3+... = 27x^6+...</math>
4. Werden zwei Polynome vom Grad n und m und den Koeffizienten a<sub>k</sub> bzw. b<sub>j</sub> miteinander multipliziert, so ergibt das Produkt der Potenzen mit dem jeweils höchsten Exponenten, <math>a_nx^nb_mx^m</math>, im Ergebnis die Potenz mit dem höchsten Exponent.
    Z.B. <math>(1,5x^3+x^2)(x^4-2x)=1,5x^4x^3+x^4x^2-2xx^3-2xx^2=1,5x^7+x^6-2x^4-2x^3</math>
5. Achte auf die Vor- und Rechenzeichen.
}}
 
}}
 
{{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT=Ordne den Funktionsgraphen die passenden Funktionsterme zu.
<div class="lueckentext-quiz">
 
a)[[Bild:A2.a.png]]    b)[[Bild:A2.b.png]]    c)[[Bild:A2.c.png]]    d)[[Bild:A2.d.png]]    e)[[Bild:A2.h.png]]    f)[[Bild:A2.f.png]]  g)[[Bild:A2.g.png]]    h)[[Bild:A2.e.png]]
 
a)'''<math>f(x)=3x^5-2x^2-1</math>'''    b)'''<math>f(x)=2x^4</math>'''    c)'''<math>f(x)=-4x^4+3x+1</math>'''  d)'''<math>f(x)=-2,1x^9-2x^8+x^7-4x^6+3,5x^4+2,8</math>'''  e)'''<math>f(x)=(x^2+3x+2)(2x-3x^3)</math>'''  f)'''<math>f(x)=(-3x^2)^3+4</math>'''  g)'''<math>f(x)=7.1x^5+2x^3+4</math>'''  h)'''<math>f(x)=(2x^2-3x+1)^3</math>'''
</div>
 
Hinweis: {{versteckt|Nutze zur Zuordnung auch den Schnittpunkt mit der y-Achse f(0).
 
}}


{|
|
{{Arbeit|ARBEIT=
Du hast doch bestimmt einen Zirkel, oder? Genauer gesagt benötigst du nicht den Zirkel, sondern nur die Bleistiftmine für dieses Experiment. Die Mine sollte schräg angefeilt sein. Nimm die Mine aus dem Zirkel und lege sie auf ein Blatt Papier. Wenn du die Mine nun mit einem leichten Druck über das Papier rollst, kannst du den Graphen einer Sinusfunktion erkennen. Diesen kannst du dann gerne noch mit einem Stift nachfahren.
}}
}}
|{{#ev:youtube|UfDOp2oE7-k|150}}||


{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=Mem-Quiz}}
<div class="memo-quiz">
<big>'''Rationale Funktionen'''</big><br>
Finde die Paare aus je einem Funktionsgraph und dem dazu passenden Funktionsterm.
{|
|-
| [[Bild:A3.a.png]] || <small> f(x)= -3x<sup>5</sup> + 2x<sup>3</sup> + 1,6x + 2</small>
|-
| [[Bild:A3.b.png]] || <small> g(x) = -3x<sup>2</sup> - 4x + 1</small>
|-
| [[Bild:A3.c.png]] || <small> h(x) = (2x<sup>2</sup>)<sup>3</sup> - 1,6x<sup>5</sup></small>
|-
| [[Bild:A3.d.png]] || <small> i(x) = (-0,7 x)<sup>3</sup> + 0,2x<sup>2</sup> - 0,4</small>
|-
| [[Bild:A3.e.png]] || <small> j(x) = 3x<sup>7</sup> + x<sup>3</sup> + x</small>
|-
| [[Bild:A3.f.png]] || <small> k(x) = x (x<sup>2</sup> + 2x) + 0,5</small>
|-
| [[Bild:A3.g.png]] || <small> l(x) = -(2x<sup>4</sup> + 3,4x<sup>2</sup>)</small>
|-
| [[Bild:A3.h.png]] || <small> m(x) = 2x + 3</small>
|}
|}
</div>


----


== '''Bestimmung von Funktionstermen''' ==
{|
|
Nun hast du es wirklich geschafft und den ganzen Lernpfad bearbeitet. Du kannst stolz sein - gut gemacht!


=== Der y-Achsenabschnitt ===
<span style="background-color:yellow;">Hefteintrag:</span> Lies dir bitte deinen Hefteintrag durch und überprüfe kurz, ob du wirklich alles Wichtige notiert hast!


{| class="wikitable "
Ich wünsche dir noch einen schönen Tag!
|- style="background: #FFEC8B;"
||{{#ev:youtube|nbT16tnv2V4|150}}
|'''y-Achsenabschnitt'''
|- style="background: #FFF8CD;"
| Als y-Achsenabschnitt wird der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse genannt. Er ergibt sich, wenn für den x-Wert 0 eingesetzt wird. <br />Damit folgt aus der allgemeinen Funktionsgleichung <math>f(0)=a_n0^n + ... + a_10 + a_0 = a_0</math> <br /> 
Es ist also S<sub>y</sub> (0/ a<sub>0</sub>) und damit ist der y-Achsenabschnitt gerade a<sub>0</sub>.
|}
|}


{{Merken|MERK=Ist der Funktionsgraph gegeben, so lässt sich a<sub>0</sub> direkt ablesen.<br /> Ist der Schnittpunkt S<sub>y</sub> mit der y-Achse gegeben, so lässt sich a<sub>0</sub> direkt angeben. }}
----


=== Aufstellen eines linearen Gleichungssystems ===


{{Merken|MERK=
{{Autoren|[[Benutzer:Silvia Joachim|<b>Silvia Joachim</b>]], [[Benutzer:Karlo Haberl|<b>Karl Haberl</b>]] und [[Benutzer:Franz Embacher|<b>Franz Embacher</b>]]}}


* Die Anzahl der unbekannten Koeffizienten gibt an, wieviele Bedingungen (z.B. Punkte, die auf dem Graphen der Funktion liegen) bekannt sein müssen, um den Funktionsterm eindeutig bestimmen zu können.
* Gib immer zunächst den allgemeinen Funktionsterm an um dir einen Überblick über die gesuchten Koeffizienten zu verschaffen.
* Durch das Aufstellen von Gleichungen, mit Hilfe der Bedingungen, ergibt sich ein lineares Gleichungssystem, mit welchem sich die gesuchten Koeffizienten nach und nach bestimmen lassen. }}
{{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=Bestimme den Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion mit Hilfe der jeweiligen Bedingungen:
a) Der Graph der Funktion f vom Grad 4 verläuft durch die Punkte P(-2/6), und Q(1/-1,2) als auch durch den Ursprung. Der Funktionsterm besteht nur aus Potenzen mit geradzahligem Exponenten.
b) Die Punkte P(-1/3), Q(1/0) und S(2/4,5) liegen auf dem Funktionsgraph einer Funktion dritten Grades. Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt S<sub>y</sub>(0/1,5)
Lösungen: {{versteckt|
a) Allgemeiner Funktionsterm: <math>f(x)=a_4x^4+a_2x^2+a_0</math> <br /> (0/0) <math>\in G_f</math> <math>\rightarrow</math> <math>a_0=0</math> <br /> P, Q <math>\in G_f</math> <math>\rightarrow</math>
1.  <math> 6 = a_4(-2)^4 + a_2(-2)^2</math> <br /> 2. <math>-1,2 = a_4 + a_2</math>
Lösen des Gleichungssystems liefert: <br /> <math>f(x) = 0,9x^4-2,1x^2</math>
b) Allgemeiner Funktionsterm: <math>f(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0</math>  <br /> <math>f(x)=x^3-2,5x+1,5</math>
}}
}}


----


[[Kategorie:Funktionen]]
[[zw:Trigonometrische Funktionen]]
[[Kategorie:Lernpfade]]

Version vom 18. Januar 2011, 13:33 Uhr

Silvia Joachim, Karl Haberl und Franz Embacher


Quick-Links: Vorlage:Versteckt


Über diesen Lernpfad

Hier sollen sich die SchülerInnen mit der Variation von Parametern in Sinus- und Kosinusfunktionen beschäftigen und ihre Auswirkung erarbeiten und beschreiben können.

Didaktischer Kommentar


Kompetenzen  Vorlage:Versteckt




Datei:Hellsehen.jpg

Hallo! Wäre es nicht toll, wenn du hellsehen könntest? Wenn du den Graphen eines Funktionsterms auch ohne Wertetabelle direkt zeichnen könntest? Wenn du aus dem Graphen einer Funktion deren Term ablesen könntest?

Für die linearen und die quadratischen Funktionen beherrschst du diese Kunst wahrscheinlich schon. Dann wirst du vieles von deinem Wissen auf die allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion übertragen können.

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Hinweise:

  • Denke bitte daran die Hefteinträge in dein Heft zu übernehmen!
  • Bei den GeoGebra-Applets ist die -Achse mit Vielfachen von beschriftet. Indem man die -Achse mit der rechten Maustaste anklickt und "Eigenschaften" wählt, kann man auf die Einheit cm umstellen.
  • Zu den meisten Aufgaben gibt es Lösungen, diese befinden sich am Ende der jeweiligen Seite. Bearbeite zuerst die Aufgaben, mache dir Notizen und vergleiche diese erst zum Schluss mit den Lösungen!
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Dieser Lernpfad enthält zwei Stationen, die du am besten nacheinander bearbeitest. Klicke dazu einfach auf die gewünschte Station!

Wenn du vorher die Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen und ihrer Graphen wiederholen möchtest, rufe diese Seite auf.


<graphviz> digraph G { rankdir=RL; "Term" -> "Graph"[label=" "]; edge [color = white]; "Term" -> "Hellsehen"; "Hellsehen" -> "Graph"; edge [color = black]; rankdir=LR; "Graph" -> "Term"; } </graphviz>

Physik-Ecke

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Experimentier-Ecke

Vorlage:Arbeit

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Nun hast du es wirklich geschafft und den ganzen Lernpfad bearbeitet. Du kannst stolz sein - gut gemacht!

Hefteintrag: Lies dir bitte deinen Hefteintrag durch und überprüfe kurz, ob du wirklich alles Wichtige notiert hast!

Ich wünsche dir noch einen schönen Tag!

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Autoren: Silvia Joachim, Karl Haberl und Franz Embacher


zw:Trigonometrische Funktionen

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