Lineare Funktionen/Station 2 und Lineare Funktionen: Unterschied zwischen den Seiten

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__NOTOC__
{{Lernpfad|
== Steigung einer Geraden  ==
In diesem Lernpfad '''erarbeitest du dir''' unter anderem


[[Datei:Steigung 01.png|right|150px|Steigung einer Gerade]]
*den Funktionsterm einer proportionalen Funktion und deren Darstellung als Graph
In Station 1 hast du dir noch einmal bewusst gemacht, dass Geraden im Koordinatensystem unterschiedlich steil verlaufen können.
*wie man die Steigungeiner Geraden im Koordinatensystem bestimmen kann
*mit welcher Funktionsgleichung man allgemein Geraden im Koordinatensystem beschreiben kann
*was man unter einer linearen Funktion versteht
*auf welche Art und Weise man lineare Funktionen erkennen, beschreiben und darstellen kann
*wie man den  Funktionsterm aus gegebenen Graphen ermitteln kann


Wie steil eine Gerade verläuft, gibt die sogenannte '''Steigung der Geraden''' an.


Wie du ebenfalls in Station 1 gesehen hast, enthält die Steigung einer Geraden wichtige Informationen darüber, wie schnell bzw. wie stark sich Größen in einer betrachteten Situation ändern.
'''Das solltest du bereits können''':
 
*Zuordnungen von Größen
'''In dieser Station lernst du, wie man die Steigung einer Geraden bestimmen und Geraden mit einer gewünschten Steigung zeichnen kann.'''
*direkte Proportionalität von Größen
 
*Verständnis für den Funktionsbegriff
=== 2.1 Für's Gefühl ===
Folgende App soll dir helfen, zunächst ein Gefühl dafür zu entwickeln, wie der Wert der Steigung mit der Lage der Geraden zusammenhängt.
 
{{Box|Anleitung|Bewege den Schieberegler um die Steigung der Geraden zu verändern. Beobachte genau, wie zu einem Wert der Steigung die Gerade im Koordinatensystem verläuft! Wenn du fertig bist, scrolle nach unten, dann geht es weiter im Lernpfad.|Hervorhebung1}}
 
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/G24kK3Eg/width/1280/height/887/border/888888" width="800px" height="500px" style="border:0px;"> </iframe>
 
Überprüfe, ob du die richtigen Erkenntnisse gezogen hast!
 
 
<iframe src="//LearningApps.org/watch?v=pi5g2shxc01" style="border:0px;width:70%;height:330px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 
 
== 2.2 Wie bestimmt man die Steigung einer Geraden? ==
Nachdem du nun erfahren hast, wie der Wert der Steigung und die Lage einer Geraden im Koordinatensystem zusammenhängen, stellt sich jetzt die Frage, wie man denn den Wert der Steigung bestimmen kann!
 
{{Frage|
[[Datei:Verkehrsschild Steigung.png|100px|right|Steigung von 100%]]
Dein Cousin zeigt dir auf seinem Smartphone das unten dargestellte Foto. <br>Er behauptet: "Diesen Berg bin ich gestern mit meinem Mountainbike hochgefahren!"
 
Was sagst du dazu? 
}}
}}


Wie stehst du zur Aussage deines Cousins?
=== Erklärung der verwendeten Symbole===
Damit du den Lernpfad ohne Probleme durchführen kannst ist es wichtig, <br>
dass du die verwendeten Symbole und Grafiken kennst und weißt, was sie für dich bedeuten.
{{Box|Merke|Hierbei handelt es sich um einen Merksatz. '''Merksätze''' musst du grundsätzlich '''immer in dein Schulheft übertragen''', inklusive einer farbigen Umrahmung.|Merksatz}}
{{Box|Aufgabe|Immer wenn du diesen Kasten mit dem Stiftsymbol siehst, gibt es eine '''Aufgabe schriftlich im Schulheft zu bearbeiten!'''|Arbeitsmethode}}
{{Box|Üben|Übungsaufgaben werden entweder '''online oder im Übungsheft''' bearbeitet. Genaueres steht jeweils mit dabei.|Üben}}
{{Box|Frage|So werden Fragestellungen gekennzeichnet, über die du dir '''besonders Gedanken machen''' solltest.|Unterrichtsidee}}
{{Box|Info|In diesen Kästen werden meist Hinweise gegeben, wie eine App zu bedienen ist. '''Lies dir diese Anweisungen sorgfältig durch und befolge sie!'''|Kurzinfo}}


<div class="multiplechoice-quiz" >


Mein Cousin ... (!...ist ein großer Lügner!) (...fährt oft Mountainbike, schon möglich, dass er so einen Berg raufgekommen ist.) (!... wäre höchstens da raufgekommen, wenn er geklettert wäre!)
<div class="grid">
<div class="width-1-6">[[Datei:Time-1019921 1920.jpg|150px|Zeitwächter]]</div>
<div class="width-5-6">Vergiss nicht, dass du die Zeit im Auge behältst. <br>Oberstes Ziel ist zwar, dass du alles verstehst, trotzdem solltest du nicht trödeln!</div>
</div>
</div>
<div class="grid">
<div class="width-1-6">[[Datei:Help-1013699 1920.jpg|150px|Teamwork]]</div>
<div class="width-5-6">
Hast du '''Fragen oder Probleme''' zu einer Station oder verstehst du eine Aufgabe nicht?


Um das Verkehrsschild zu verstehen, ist es wichtig zu wissen, '''wie denn eine Steigung überhaupt festgelegt''' ist.  
Kein Problem, hinterlasse einfach eine Nachricht auf der Pinnwand. Ein Mitschüler kann dir dann helfen, wenn er selbst schon fertig ist. Klicke einfach auf [http://LearningApps.org/watch?v=p35pzujjc16 '''Hilfe-Station'''].</div>
 
</div>
 
<div class="grid">
{{Aufgabe|'''4.'''Betrachte die "versteckte" Grafik.  
<div class="width-1-6">[[Datei:Communication-1015376 1920.jpg|150px|Feedback]]</div>
*'''Erkläre in einem Satz''', was eine Steigung von 100% ausdrückt und notiere diesen Satz in dein '''Schulheft'''.  
<div class="width-5-6">Hast du irgendwelche netten oder kritischen Anmerkungen zum Lernpfad? Hinterlasse einen Zettel an der
}}
[http://LearningApps.org/watch?v=pr21dzxh316 '''Pinnwand''']. Natürlich anonym!</div>
</div>


<popup name="Grafik">


[[Datei:Steigung_Straße.png|700px|left|Steigung]]
</popup>


{{clear}}
<div class="grid">
 
<div class="width-7-8"> '''Nun kann es aber endlich losgehen! Viel Erfolg! Beginne doch gleich mit der ersten Station!'''</div>
Die Steigung von Geraden bestimmt man allgemein genauso wie die Steigung von Straßen, nämlich mithilfe von '''Steigungsdreiecken.'''
<div class="width-1-8"> [[Datei:Pfeil weiter.png|30px]][[/Station 1| '''Hier geht es weiter''']]'''...'''</div>
 
Um das genauer zu erforschen, bearbeite bitte folgende App:
 
{{Anleitung|
#Bewege die Punkte P und Q auf der Geraden. Beobachte, wie sich der Quotient zur Berechnung der Steigung dabei verändert.
#Verändere mit dem Schieberegler die Steigung der Geraden und versuche das Steigungsdreieck so einzustellen, dass die Koordinaten der Punkte P und Q gut abzulesen sind.}}
 
 
<iframe scrolling="no" src="https://tube.geogebra.org/material/iframe/id/1981855/width/810/height/797/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/false/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="810px" height="797px" style="border:0px;"> </iframe>
 
[[Datei:Search-1013910 1920.jpg|160px|Untersuchen]]
 
 
{{Aufgabe|Prüfe dich!}}
 
<div class="multiplechoice-quiz">
Welche Antworten sind richtig? (!Die Steigung hängt davon ab, wo die Punkte P und Q auf der Geraden liegen.) (Je größer <math>\Delta y</math> bei gleichem <math>\Delta x</math> ist, desto größer ist die Steigung.) (Zur Berechnung der Steigung ist es vollkommen egal, wo auf der Gerade das Steigungsdreieck liegt.) (Das Steigungsdreieck ist immer rechtwinklig!)
</div>
</div>


{{Merke|1=Die Steigung einer Geraden bestimmt man mithilfe eines '''Steigungsdreiecks'''.


*Wähle zwei ''beliebige'' Punkte P und Q auf der Geraden aus, am besten so, dass man die Koordinaten gut ablesen kann.
{{Lernpfad Lineare Funktionen}}
*Lege das Steigungsdreieck in diesen Punkten an die Gerade an.
*Berechne die Steigung m:
:<math>m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}</math>
}}
 
Unterscheide drei Fälle:


{{3Spalten|
<math>m>0 </math> Gerade steigt nach rechts an<br>
[[Datei:Steigung positiv.png|200px|Steigung positiv]]
|
<math>m=0 </math> Gerade parallel zur x-Achse<br>
[[Datei:Steigung Null.png|200px|Steigung Null]]
|
<math>m<0</math> Gerade fällt nach rechts ab<br>
[[Datei:Steigung negativ.png|200px|Steigung negativ]]
}}


{{Aufgabe|Übernimm bitte auch folgende Beispiele in dein Schulheft!}}


<div style=" border: 2px solid darkred; background-color:#ffffff; align:center; padding:7px;">
<div style="background-color:#efefef;padding:7px;">
<br>
<small>'''''Autoren:''''' Florian Ferstl</small>  
{|
|'''Beispiel 1'''
|
|'''Beispiel 2'''
|-
|[[Datei:Steigungsdreieck.png|350px|left|Steigung]]
|style="text-align:center; width:100px"|
|[[Datei:Steigungsdreieck negativ.png|310px|left|Steigung]]
|-
|<math>m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}=\frac{3 - 1}{6 - 2}=\frac{2 }{4}=0,5</math>
|
|<math>m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}=\frac{-6 - (-2)}{3 - 1}=\frac{-4}{2}=-2</math>
|-
|style="height:80px"| oder
|
|
|-
|<math>m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{Q_1} - y_{P_1}}{x_{Q_1} - x_{P_1}}=\frac{5 - 4}{10 - 8}=\frac{1 }{2}=0,5</math>
|
|
|}
</div>
</div>


 
[[Kategorie:Lernpfad Lineare Funktionen|!]]
{{Aufgabe|Schätze doch mal ab, wie groß die Steigung war, die dieser Audi Quattro vor 30 Jahren bereits erkommen hat!
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
}}
<metakeywords>ZUM2Edutags,ZUM-Wiki,ZUM.de,OER,Lernpfad Lineare Funktionen,Lernpfad,Lineare Funktionen,Lineare Funktion</metakeywords>
 
[[Kategorie:Mathematik]]
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/3YJ1Nchw_v4" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
[[Kategorie:Mathematik-digital]]
 
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
<popup name="tatsächlichen Wert"> Die Steigung betrug 80% oder 0,8!</popup>
 
 
{{Aufgabe|'''Übung 4: Wie groß ist die Steigung?'''
 
Führe die Übung in der App durch. '''Notiere deine Überlegungen und Berechnungen ins Übungsheft!!'''}}
 
{{Achtung|
In der App musst du Dezimalzahlen nicht mit Komma, sondern''' mit Punkt eintragen'''! Wenn es dir hilft, kannst du die Darstellungen auch in dein Heft übernehmen, um dort das Steigungsdreieck einzuzeichnen.
}}
 
 
<iframe scrolling="no" src="https://tube.geogebra.org/material/iframe/id/1981631/width/792/height/866/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/false/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="792px" height="777px" style="border:0px;"> </iframe>
 
 
 
{|
|align = "left" width="260px"|[[Datei:Question-mark-1019922 1920.jpg|200px|Fragen über Fragen]]
|'''Probleme''' zu verstehen, wie man die Steigung bestimmt'''?''' Dann kannst du hier <br>[http://ggbtu.be/m2061805 <u>hier</u>] die Steigungsbestimmung nochmal Schritt für Schritt nachzuvollziehen! <br>
'''Keine Probleme?''' Dann kannst du einfach weitermachen! :)]  
|}
 
== 2.3 Zeichnen einer Geraden unter Ausnutzung der Steigung ==
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der umgehehrten Fragestellung:
 
{{Frage|
Überlege: Wie kannst du deine Kenntnisse nutzen, um eine Ursprungsgerade mit vorgegebener Steigung zu zeichnen, ohne dass du erste eine Wertetabelle anlegen musst?
}}
 
'''Beispiel:''' Zeichne eine Ursprungsgerade mit der Steigung <math>m=\frac{3}{5}</math>!
 
<popup name="Idee">
Gehe ganz grob umgekehrt vor wie oben:<br>
# Du musst zunächst einen Punkt kennen, der auf der Geraden liegt (Tipp: Ursprungsgerade!)
# Da die Steigung gegeben ist, kennst du <math>\Delta x</math> und <math>\Delta y</math>.
# Damit kannst du vom gegebenen Punkt aus das Steigungsdreieck zeichnen und erhältst so einen zweiten Punkt.
# Da eine Gerade durch zwei Punkte festgelegt ist, musst du jetzt nur noch die beiden Punkte verbinden.
</popup>
 
 
Du hast die Idee nicht verstanden? Kein Problem, in diesem Fall kannst du es dir [http://ggbtu.be/m2062563 hier] nochmal ausführlich erklären lassen!
 
{{Aufgabe|'''5.'''
 
*Zeichne in deinem Schulheft eine Ursprungsgerade mit der Steigung <math>m=\frac{3}{5}</math> in ein Koordinatensystem ein.
*Schreibe in deinen eigenen Worten stichpunktartig auf, wie du '''allgemein''' vorgehen musst. Wenn du dir nicht sicher bist, kannst du dir die "Idee" oben anzeigen lassen.
}}
 
Nicht sicher, ob deine Lösung stimmt? [http://ggbtu.be/m2062563 Hier] ist ein ähnliches Beispiel ausführlich dargestellt!
 
----
<!-- auskkommentiert: Rückmeldung zur Station
<div style="  width: 60%; border: 2px solid #c6d745; background-color:#c6d745; padding:7px;font-size:1px; height:1px; border-bottom:1px solid #c6d745;"></div>
<div style="  width: 60%; border: 2px solid #c6d745; background-color:#ffffff; align:center; padding:7px;">
{|
|Nimm dir bitte kurz Zeit, und gib eine Rückmeldung zu dieser Station. <br>
<br>
<iframe src="//LearningApps.org/watch?v=pga0dhq9201" style="border:0px;width:200px;height:110px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
|[[Datei:Information-1015297 1920.jpg|230px|Information]]
|}
<br>
</div>-->
 
 
'''Glückwunsch, du hast die zweite Station erfolgreich gemeistert! Es warten Aufgaben auf dich...! :)
 
[[Datei:Pfeil weiter.png|50px]]
|[[/Übung|'''Hier geht es weiter''']]
 
 
 
 
 
 
{{Lernpfad Lineare Funktionen}}

Version vom 12. Juni 2018, 18:52 Uhr

Lernpfad
Lineare Funktionen

In diesem Lernpfad erarbeitest du dir unter anderem

  • den Funktionsterm einer proportionalen Funktion und deren Darstellung als Graph
  • wie man die Steigungeiner Geraden im Koordinatensystem bestimmen kann
  • mit welcher Funktionsgleichung man allgemein Geraden im Koordinatensystem beschreiben kann
  • was man unter einer linearen Funktion versteht
  • auf welche Art und Weise man lineare Funktionen erkennen, beschreiben und darstellen kann
  • wie man den Funktionsterm aus gegebenen Graphen ermitteln kann


Das solltest du bereits können:

  • Zuordnungen von Größen
  • direkte Proportionalität von Größen
  • Verständnis für den Funktionsbegriff


Erklärung der verwendeten Symbole

Damit du den Lernpfad ohne Probleme durchführen kannst ist es wichtig,
dass du die verwendeten Symbole und Grafiken kennst und weißt, was sie für dich bedeuten.

Merke
Hierbei handelt es sich um einen Merksatz. Merksätze musst du grundsätzlich immer in dein Schulheft übertragen, inklusive einer farbigen Umrahmung.
Aufgabe
Immer wenn du diesen Kasten mit dem Stiftsymbol siehst, gibt es eine Aufgabe schriftlich im Schulheft zu bearbeiten!
Üben
Übungsaufgaben werden entweder online oder im Übungsheft bearbeitet. Genaueres steht jeweils mit dabei.
Frage
So werden Fragestellungen gekennzeichnet, über die du dir besonders Gedanken machen solltest.
Info
In diesen Kästen werden meist Hinweise gegeben, wie eine App zu bedienen ist. Lies dir diese Anweisungen sorgfältig durch und befolge sie!


Zeitwächter
Vergiss nicht, dass du die Zeit im Auge behältst.
Oberstes Ziel ist zwar, dass du alles verstehst, trotzdem solltest du nicht trödeln!
Teamwork

Hast du Fragen oder Probleme zu einer Station oder verstehst du eine Aufgabe nicht?

Kein Problem, hinterlasse einfach eine Nachricht auf der Pinnwand. Ein Mitschüler kann dir dann helfen, wenn er selbst schon fertig ist. Klicke einfach auf Hilfe-Station.
Feedback
Hast du irgendwelche netten oder kritischen Anmerkungen zum Lernpfad? Hinterlasse einen Zettel an der Pinnwand. Natürlich anonym!


Nun kann es aber endlich losgehen! Viel Erfolg! Beginne doch gleich mit der ersten Station!
Pfeil weiter.png Hier geht es weiter...


Steigung 01.png

Lineare Funktionen

Mathematik-digital.de



Autoren: Florian Ferstl

<metakeywords>ZUM2Edutags,ZUM-Wiki,ZUM.de,OER,Lernpfad Lineare Funktionen,Lernpfad,Lineare Funktionen,Lineare Funktion</metakeywords>

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