Die Mittelsenkrechte und Einführung in quadratische Funktionen/Bremsweg: Unterschied zwischen den Seiten

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__NOTOC__
{{Quadratische Funktionen}}
{{Box|1=Lernpfad|2=<h4>2. Streich: [[Mathematik-digital/Die Mittelsenkrechte|Die Mittelsenkrechte]]</h4>
|Lernschritte einblenden
===<u>Material:</u>===
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*{{pdf|AB2_Mittelsenkrechte.pdf|Arbeitsblatt zur Mittelsenkrechten}}|3=Lernpfad}}
}}
 
=== Einstieg ===
[[Bild:YouTube_Bremsentest.jpg|right|300px]]
'''Ist bei doppelter Geschwindigkeit auch der Bremsweg doppelt so lang?''' Was meinst du?
 
Diese Frage wurde im Fernsehen bei Kopfball.de untersucht. In dem [https://www.planet-schule.de/sf/filme-online.php?reihe=1023&film=8218 Video aus der Sendung] findest du eine Antwort!!


{|
|[[bild:sägen.jpg|170px]]
| width="30px" | <br>
|''In der schönen Maienzeit,''<br>
''wenn die bayerischen Dorfesleut''<br>
''viele große Stämme krachen''<br>
''schmücken und zurechte machen,''<br>
''wünschen Max und Moritz auch''<br>
''sich einen Maibaum zum Gebrauch.''<br>
''Max und Moritz, gar nicht träge,''<br>
''Sägen heimlich mit der Säge,''<br>
''Ritzeratze! voller Tücke,''<br>
''In die Birke eine Lücke.''<br>
''Max und Moritz heimlich geh'n''<br>
''wo der Maibaum nun soll steh'n''<br>
''Dieser wird nun aufgestellt''<br>
''wo es allen Leut' gefällt,''<br>
''wo die Katzen oft 'rumschleichen''<br>
''mittig zwischen den zwei Eichen''
| width="30px" |<br>
| [[Bild:eichen.jpg|310px]]
|}


<br><br>
=== Tabelle, Graph und Formel ===


{{Box|1=Aufgabe|2=
Die Polizei hat Messungen durchgeführt, um den Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit eines Autos und seinem Bremsweg zu erkunden. Klar ist: Je schneller eine Auto fährt, desto länger ist sein Bremsweg. Aber ist das wirklich so einfach...?
Betrachte die obige Skizze der beiden Eichen.
# Überlege zunächst, welche besonderen Eigenschaften der Maibaum von Max und Moritz besitzen muss.
# Welche besonderen Eigenschaften besitzt die rote Gerade? Überlege wie man aufgrund ihrer geometrischen Eigenschaft diese konstruieren kann! <br>
# Konstruiere (auf einem Notizblatt) zwischen zwei beliebigen Punkten eine Mittelsenkrechte!
# Überprüfe Deine Konstruktionsschritte anhand folgender animierten '''[http://www.hirnwindungen.de/wunderland/grundkons/mittelsenk.html Konstruktion]'''!
# Formuliere die einzelnen Konstruktionsschritte schriftlich auf einem Übungszettel! Überprüfe die Konstruktionsschritte mit Deinem Nachbarn!|3=Arbeitsmethode}}


==Was ist eine Mittelsenkrechte?==
Du kannst den Zusammenhang selbst untersuchen. Hier sind die Daten, die die Polizei gesammelt hat:


{|
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|{{blau |<font>'''Definition der Mittelsenkrechten'''</font>
!Geschwindigkeit <br />(in km/h)
----
|10
Eine Gerade heißt '''Mittelsenkrechte''' '''auf eine Strecke [AB]''', wenn sie durch den '''Mittelpunkt'''
|20
der Strecke verläuft (die Strecke halbiert) und '''auf ihr senkrecht''' steht.
|30
Sie wird mit '''m[AB]''' oder '''m<sub>AB</sub>''' bezeichnet.
|40
Die Mittelsenkrechte auf eine Strecke ist eine '''Symmetrieachse''' dieser Strecke.}}
|50
| width="30px" |
|80
| <span> </span>
|100
<span></span><div id="ggbContainer8d5965df99de6308d863215177bf1033"></div><span></span>
|120
|-
!Bremsweg <br />(in m)
|1
|4
|9
|16
|25
|64
|100
|144
|}
|}


{{Box|1=Notiere auf Deinem Arbeitsblatt|2=
{{Box|Aufgabe 1
# Übertrage die Definition der Mittelsenkrechten auf Dein Arbeitsblatt!
|
# Wann kommt in der Natur oder im Alltag eine Mittelsenkrechte vor? Überlege Dir mindestens drei weitere Beispiele!
#Stelle die Daten aus der Tabelle in einem Koordinatensystem dar. Trage dabei nach rechts die Geschwindigkeit (in km/h) und nach oben den Bremsweg (in m) ein.
|3=Arbeitsmethode}}
#Verbinde die Punkte zu einem Funktionsgraphen (der keine "Ecken" haben sollte).
#Ermittle anhand des Graphen einen Schätzwert für den Bremsweg bei 70 km/h.
|Arbeitsmethode}}


== Konstruktion der Mittelsenkrechten ==
'''Lösung:''' [[Datei:bremsweg01.ggb]]


{{Box|1=|2=
# Konstruieren mit Zirkel und Lineal die Mittelsenkrechte auf Deinem Arbeitsblatt!
# Notiere die besprochenen '''{{pdf|Konstruktion_Mittelsenkrecht.pdf|Konstruktionsschritte}}''' auf Dein Arbeitsblatt!
|3=Arbeitsmethode}}




{{Box|Aufgabe - Konstruktion mit Geogebra|2=
{{Box
# Öffne die '''{{Ggb|zweieichen.ggb|GeoGebra-Datei}}''' mit zwei Eichen, am Punkt A und am Punkt B.
|1= Aufgabe 2
# Konstruiere die Mittelsenkrechte auf die Strecke [AB], die beide Eichen miteinander verbindet!
|2=
# Speichere die Datei unter dem Namen "Mittelsenkrechte_<<DeinName>>" im Klassenverzeichnis auf der Festplatte ab!
#Zwischen den Daten der Wertetabelle besteht ein ganz bestimmter Zusammenhang. Versuche eine Formel zu finden, mit deren Hilfe man aus der Geschwindigkeit den Bremsweg berechnen kann.
<ggb_applet width="500" height="300" filename="Zweieichen2.ggb" showToolBar="true" />
#In der Fahrschule lernt man: BW = v/10 mal v/10 (Bremsweg = Geschwindigkeit durch 10 mal Geschwindigkeit durch 10).
Vergleiche diese Formel mit der von dir in a) gefundenen Formel.
{{Lösung versteckt|1=
#z.B. <math>s = 0,01 \cdot v^2</math> oder <math>s = \frac{v^2}{100}</math>(dabei ist s der Bremsweg in Metern und v die Geschwindigkeit in km/h)<br />
#Fahrschulformel: <math>s = \frac{v}{10} \cdot \frac{v}{10} = \frac{v^2}{100} = \frac{1}{100} \cdot v^2 = 0,01 \cdot v^2</math>. Die Formeln stimmen also überein.<br />
: ''Bemerkung: Die Formeln stimmen nur für gewöhnliche, nicht für "Gefahren"-bremsungen.''
}}
|3=Arbeitsmethode}}
|3=Arbeitsmethode}}




== Puzzle zur Mittelsenkrechten ==
{{Box
'''[http://inmare.cspsx.de/Mittelsenkrechte.htm Zuordungspuzzle]''': '''Ordne die jeweiligen "Schatzkarten" den Beschreibungen zu!'''<br><br>
| Aufgabe 3
 
|
== Wiederholung ==
[[Bild:Bundesarchiv Bild 183-J0710-0303-012, Wismar, Wendorf, Kinder mit Ball.jpg|200px|right]]
 
In einem ruhigen Wohnviertel in Niederbremsbach hat Herr Mütze fast ein kleines Mädchen angefahren, das ihrem auf die Straße rollenden Ball hinterher lief. Obwohl das Mädchen mit dem Schrecken davon kam, soll nun geklärt werden, ob sich Herr Mütze an die Geschwindigkeitsbegrenzung von 50 km/h gehalten hatte. Dem Unfallprotokoll ist zu entnehmen, dass Herr Mütze eine Bremsspur von 30,25 Metern erzeugt hat.
''Für kühles Eis in der Sommerzeit,''<br>
[[Bild:unfall1.gif|center]]
''sind Max und Moritz zu allem bereit.''<br>
''Rechts der Stadtplan ihrer Stadt,''<br>
''wo sie wohl eine Eisdiele hat?''<br>
 
<span> </span>
 
<span></span><div id="ggbContainer7fbe3d5612a3a17f81b143107cc32f1b"></div><span></span>
 
 
{{Box|1=Aufgabe|2=
'''Zeichne alle möglichen Eisdielen in den Stadtplan ein, die von Max und Moritz (Luftlinie!) gleich weit entfernt sind! '''
# Konstruiere die Menge aller Punkte, die von Max und Moritz (Luftlinie!) gleich weit entfernt sind!
# Weiß eingezeichnet sind die Straßen, braun mögliche Gebäudekomplexe. Trage in GeoGebra diejenigen Punkte ein, die (Luftlinie!) von Max und Moritz gleich weit entfernt sind und an denen sich eine Eisdiele befinden könnte!
# Wie weit ist die nächste Eisdiele (Luftlinie!) von beiden entfernt?
# Wer von beiden hat den weiteren Weg zur Eisdiele?|3=Arbeitsmethode}}
 
{{Lösung versteckt|1=[[Bild:Lösung Eisdiele.jpg|400px|center]]|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}


#Entscheide, ob sich Herr Mütze an die Geschwindigkeitsbegrenzung gehalten hatte.
#Berechne die Geschwindigkeit, die zu einem Bremsweg von 30,25 Metern führt.


{{Lösung versteckt|1=
#Nach obiger Tabelle hätte Herr Mütze, falls er sich an die Geschwindigkeitsbegrenzung gehalten hätte, allenfalls einen Bremsweg von 25 m haben dürfen.
#<math>30,25 = 0,01 \cdot v^2 \Leftrightarrow 3025 = v^2\Leftrightarrow v = \pm \,55</math>
:Nach der Formel aus Aufgabe 1 war Herr Mütze 55 km/h schnell.
:''Bemerkung: Tatsächlich ist der Bremsweg bei einer "Gefahrenbremsung" nur etwa halb so lang wie in der obigen Tabelle angegeben. Geht man von einer "Gefahrenbremsung" aus, so käme man auf eine Geschwindigkeit von fast 78 km/h!''
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
|Arbeitsmethode}}


== Weitere Aufgaben und Hausaufgabe ==
Schmid A., Weidig I. (Hrsg.): Lambacher Schweizer 7, Mathematik für Gymnasien, Stuttgart 2005:<br>
'''S. 20 / Nr. 22, 23 und 25a)'''


'''Als nächstes erfährst du, wie die Länge des Bremsweges von der "Bremsbeschleunigung" abhängig ist.'''


<div align="center"><font><b>''Dies nun war der zweite Streich und der dritte folgt zugleich!''</b></font></div>


{{Fortsetzung|weiter=Das Lot|weiterlink=Das_Lot}}


{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
{{Fortsetzung|weiter=Bremsbeschleunigung|weiterlink=../Bremsbeschleunigung}}
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Lernpfad]]
[[Kategorie:GeoGebra]]
[[Kategorie:Mathematik-digital]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
<metakeywords>ZUM2Edutags,ZUM-Wiki,Mathematik-digital,Die Mittelsenkrechte,Mittelsenkrechte,Mathematik,7. Klasse,Geometrie,Lernpfad,GeoGebra</metakeywords>

Version vom 23. November 2018, 13:42 Uhr

Vorlage:Quadratische Funktionen

Einstieg

YouTube Bremsentest.jpg

Ist bei doppelter Geschwindigkeit auch der Bremsweg doppelt so lang? Was meinst du?

Diese Frage wurde im Fernsehen bei Kopfball.de untersucht. In dem Video aus der Sendung findest du eine Antwort!!


Tabelle, Graph und Formel

Die Polizei hat Messungen durchgeführt, um den Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit eines Autos und seinem Bremsweg zu erkunden. Klar ist: Je schneller eine Auto fährt, desto länger ist sein Bremsweg. Aber ist das wirklich so einfach...?

Du kannst den Zusammenhang selbst untersuchen. Hier sind die Daten, die die Polizei gesammelt hat:

Geschwindigkeit
(in km/h) 		10 20 30 40 50 80 100 120
Bremsweg
(in m) 		1 4 9 16 25 64 100 144


Aufgabe 1
  1. Stelle die Daten aus der Tabelle in einem Koordinatensystem dar. Trage dabei nach rechts die Geschwindigkeit (in km/h) und nach oben den Bremsweg (in m) ein.
  2. Verbinde die Punkte zu einem Funktionsgraphen (der keine "Ecken" haben sollte).
  3. Ermittle anhand des Graphen einen Schätzwert für den Bremsweg bei 70 km/h.

Lösung: Datei:Bremsweg01.ggb



Aufgabe 2
  1. Zwischen den Daten der Wertetabelle besteht ein ganz bestimmter Zusammenhang. Versuche eine Formel zu finden, mit deren Hilfe man aus der Geschwindigkeit den Bremsweg berechnen kann.
  2. In der Fahrschule lernt man: BW = v/10 mal v/10 (Bremsweg = Geschwindigkeit durch 10 mal Geschwindigkeit durch 10).

Vergleiche diese Formel mit der von dir in a) gefundenen Formel.

  1. z.B. oder (dabei ist s der Bremsweg in Metern und v die Geschwindigkeit in km/h)
  2. Fahrschulformel: . Die Formeln stimmen also überein.
Bemerkung: Die Formeln stimmen nur für gewöhnliche, nicht für "Gefahren"-bremsungen.


Aufgabe 3
Bundesarchiv Bild 183-J0710-0303-012, Wismar, Wendorf, Kinder mit Ball.jpg

In einem ruhigen Wohnviertel in Niederbremsbach hat Herr Mütze fast ein kleines Mädchen angefahren, das ihrem auf die Straße rollenden Ball hinterher lief. Obwohl das Mädchen mit dem Schrecken davon kam, soll nun geklärt werden, ob sich Herr Mütze an die Geschwindigkeitsbegrenzung von 50 km/h gehalten hatte. Dem Unfallprotokoll ist zu entnehmen, dass Herr Mütze eine Bremsspur von 30,25 Metern erzeugt hat.

Unfall1.gif
  1. Entscheide, ob sich Herr Mütze an die Geschwindigkeitsbegrenzung gehalten hatte.
  2. Berechne die Geschwindigkeit, die zu einem Bremsweg von 30,25 Metern führt.
  1. Nach obiger Tabelle hätte Herr Mütze, falls er sich an die Geschwindigkeitsbegrenzung gehalten hätte, allenfalls einen Bremsweg von 25 m haben dürfen.
Nach der Formel aus Aufgabe 1 war Herr Mütze 55 km/h schnell.
Bemerkung: Tatsächlich ist der Bremsweg bei einer "Gefahrenbremsung" nur etwa halb so lang wie in der obigen Tabelle angegeben. Geht man von einer "Gefahrenbremsung" aus, so käme man auf eine Geschwindigkeit von fast 78 km/h!


Als nächstes erfährst du, wie die Länge des Bremsweges von der "Bremsbeschleunigung" abhängig ist.


Bremsbeschleunigung
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