Einführung in quadratische Funktionen/Bremsweg und Trigonometrische Funktionen/Einfluss von b: Unterschied zwischen den Seiten
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# Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von <math> \ b </math> ändern. <br> | |||
# Stelle den Schieberegler auf <math> \ b = 2 </math> ein. Wie ändert sich der Graph? <br> | |||
# Überlege dir, wie sich die Werte <math> \ b = 3 </math> und <math> \ b = -1 </math> sowie <math> \ b = 0,5 </math> auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung. <br> | |||
# Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen. <br> | |||
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Man erhält den Graph der Funktion | |||
:<math> x \rightarrow \sin ( b\cdot x ) </math> | |||
aus dem Graph der Sinusfunktion durch Streckung oder Stauchung in Richtung der <math>\ x</math>-Achse. Genauer: | |||
* <span style="background-color:yellow;"> Ist der Betrag von <math>\ b</math> größer als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in <math>\ x</math>-Richtung mit dem Faktor Betrag von <math> \frac{1}{b} </math> gestaucht. | |||
* <span style="background-color:yellow;"> Ist der Betrag von <math>\ b</math> kleiner als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in <math>\ x</math>-Richtung mit dem Faktor Betrag von <math> \frac{1}{b} </math> gestreckt. | |||
* <span style="background-color:yellow;"> Falls <math> \ b </math> negativ ist, so wird der Graph zusätzlich an der <math>\ y</math>-Achse gespiegelt. | |||
Die Periode der Funktion ist <math>\frac{2\pi}{|b|}</math>.</span> | |||
D.h., wenn man z.B. <math>\ b </math> verdoppelt, so halbiert sich die Periode. |3=Merksatz}} | |||
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Versuche nun die beobachteten Veränderungen auch mathematisch zu begründen! | |||
|3=Arbeitsmethode}} | |||
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Hier genügt es, wenn du diese Aufgabe mit Hilfe von Plausibilitätsüberlegungen gelöst hast. Eine formale Begründung war nicht notwendig. | |||
Eine mögliche formale Begründung: | |||
:Es gilt: | |||
::<math>\sin(x)=\sin\left(b\cdot\frac{x}{b}\right)</math> | |||
:Dies bedeutet, dass die Funktion <math> x \rightarrow \sin ( b\cdot x ) </math> schon an der Stelle <math>\frac{x}{b}</math> den Funktionswert von <math> x \rightarrow \sin (x ) </math> annimmt. | |||
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Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen! | |||
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| <math>\ b<-1; </math> | <math> -1<\ b<0; </math> | <math> 0<\ b<1; </math> | <math> 1<\ b</math> | |||
---- Verschiebung nach oben | |||
---- Verschiebung nach unten | |||
---- Verschiebung nach rechts | |||
---- Verschiebung nach links | |||
-++- Streckung in <math> \ x </math>- Richtung / Verkleinerung der Frequenz | |||
+--+ Stauchung in <math> \ x </math>- Richtung / Vergrößerung der Frequenz | |||
---- Streckung in <math> \ y </math>- Richtung / Vergrößerung der Amplitude | |||
---- Stauchung in <math> \ y </math>- Richtung / Verkleinerung der Amplitude | |||
---- Spiegelung an <math> \ x </math>- Achse | |||
++-- Spiegelung an <math> \ y </math>- Achse | |||
</quiz> | |||
|3=Arbeitsmethode}} | |3=Arbeitsmethode}} | ||
Nun betrachten wir den Einfluss von <math> \ b </math> in | |||
:<math> x \rightarrow \cos ( b\cdot x ) </math>. | |||
{{Box|1=Aufgabe B4|2= | |||
<ggb_applet height="450" width="900" id="kvuvfcnp" /> <br> | |||
Öffne dieses GeoGebra-Applet und bearbeite damit die Aufgabe B1 noch einmal für <math>cos</math>. | |||
|3=Arbeitsmethode}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Die allgemeine Kosinusfunktion verhält sich bei Variation von <math> \ b </math> genauso wie die allgemeine Sinusfunktion. | |||
[[Bild:N_cos_b.jpg|center]] | |||
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<span style="background-color:yellow;">Hefteintrag:</span> Beachte, dass in der Lösung zur Aufgabe B1 ein Hefteintrag "versteckt" ist! | |||
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{{Fortsetzung|weiter=Zurück zu Station 1: Einfluss der Parameter|weiterlink=Trigonometrische Funktionen/Einfluss der Parameter}} | |||
[[Kategorie:ZUM2Edutags]] | |||
[[Kategorie:Mathematik]] | |||
[[Kategorie:Interaktive Übung]] | |||
[[Kategorie:GeoGebra]] |
Version vom 23. November 2018, 14:16 Uhr
FAQ
Hier kannst du die Bedeutung der verwendeten Begriffe nachschlagen.
Einfluss von b
Wir betrachten nun den Einfluss von in
- .
- Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von ändern.
- Stelle den Schieberegler auf ein. Wie ändert sich der Graph?
- Überlege dir, wie sich die Werte und sowie auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung.
- Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen.
Man erhält den Graph der Funktion
aus dem Graph der Sinusfunktion durch Streckung oder Stauchung in Richtung der -Achse. Genauer:
- Ist der Betrag von größer als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in -Richtung mit dem Faktor Betrag von gestaucht.
- Ist der Betrag von kleiner als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in -Richtung mit dem Faktor Betrag von gestreckt.
- Falls negativ ist, so wird der Graph zusätzlich an der -Achse gespiegelt.
Die Periode der Funktion ist .
D.h., wenn man z.B. verdoppelt, so halbiert sich die Periode.
Hier genügt es, wenn du diese Aufgabe mit Hilfe von Plausibilitätsüberlegungen gelöst hast. Eine formale Begründung war nicht notwendig.
Eine mögliche formale Begründung:
- Es gilt:
- Dies bedeutet, dass die Funktion schon an der Stelle den Funktionswert von annimmt.
Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen!
Nun betrachten wir den Einfluss von in
- .
Öffne dieses GeoGebra-Applet und bearbeite damit die Aufgabe B1 noch einmal für .
Die allgemeine Kosinusfunktion verhält sich bei Variation von genauso wie die allgemeine Sinusfunktion.
Hefteintrag: Beachte, dass in der Lösung zur Aufgabe B1 ein Hefteintrag "versteckt" ist!