Zentrische Streckung/Vierstreckensatz

Vorlage:Lernpfad-M

1. Station: Erster und zweiter Vierstreckensatz

Zoll ist eine Längeneinheit die im Alltag häufig zu finden ist, z.B. bei Laptops, Computern und Fernsehern.

Um sich die Größe besser vorstellen zu können, soll die Einheit Zoll in Zentimeter umgerechnet werden.

Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten:

• die algebraische Berechnung
• oder die geometrische.

Als Bepsiel nehmen wir die Umrechnung von einem 15 Zoll Laptop.

• Finde heraus wie du die Aufgabe algebraisch lösen kannst:

Gegeben: Der Laptop hat einen 15 Zoll Bildschirm. 1 Zoll entspricht 2,54 cm.

Gesucht: Umrechnung von 15 Zoll in cm.

Lösung: Berechne in deinem Heft und trage hier deine berechnete Lösung mit Angabe der Einheit (cm) ein!

15 Zoll entsprechen 38,1 cm (Tipp: Berechne mit Hilfe des Dreisatzes).

• Im Folgenden wird dir gezeigt, wie du die Aufgabe geometrisch lösen kannst:

Datei:Porzelt geometrisch.jpg

1. Schritt: Zeichne zwei Halbgeraden mit gemeinsamen Anfangspunkt Z.

2. Schritt: Trage auf diesen Halbgeraden die Längen 1 cm und 15 cm ab.

3. Schritt: Die Endpunkte der Strecken sind A und B.

4. Schritt: Verbinde Punkt A mit Punkt B.

5. Schritt: Trage in Z die Strecke [ZA'] mit ZA' = 2,54 cm ab.

6. Schritt: Zeichne Parallele durch A' zu [AB].

7. Schritt: Benenne Schnittpunkt mit B'.

8. Schritt: Miss ZB' ab.

Wenn AB || A'B' ist, gilt: ${\overline{ZA}\over\overline{ZA'}}$ = ${\overline{ZB}\over\overline{ZB'}}$.

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Begründung:

Vorrausgesetzt wird dass die Gerade A'B' zu AB parallel ist. Das Dreieck A'ZB' kann somit als das Bild des Dreiecks AZB

mit dem Streckungszentrum Z aufgefasst werden. Der Punkt A wurde also auf den Punkt A' und Punkt B wurde auf Punkt B' abgebildet.

Das Verhältnis von Strecken ist wegen der Eigenschaft der Verhältnistreue

gleich, so auch ${\overline{ZA}\over\overline{AA'}}$ = ${\overline{ZB}\over\overline{BB'}}$, oder ${\overline{ZA}\over\overline{ZA'}}$ = ${\overline{ZB}\over\overline{ZB'}}$.

Dies bedeutet, dass sich die Abschnitte auf der einen Halbgeraden genauso verhalten, wie die Abschnitte auf der anderen

Halbgeraden (erster Vierstreckensatz).

Weiterhin gilt aufgrund der Eigenschaft der Verhältnistreue:

${\overline{ZA}\over\overline{ZA'}}$ = ${\overline{AB}\over\overline{A'B'}}$

Dass heißt, dass sich die Längen der Abschnitte auf den Parallelen wie die vom Schnittpunkt aus gemessenen Längen der ::Abschnitte auf einer Geraden verhalten (zweiter Vierstreckensatz).

2. Station: Zusammenfassung

Hier siehst du alles noch einmal zusammengefasst. Trage den Kasten bitte in dein Heft ein!