Potenzfunktionen - 1. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen
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<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"> | <div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"> | ||
[[Potenzfunktionen|Start]] -[[ | '''[[Potenzfunktionen|Start]] - [[Potenzfunktionen Einführung|Einführung]] - [[Potenzfunktionen 1. Stufe|1. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 2. Stufe|2. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 3. Stufe|3. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 4. Stufe|4. Stufe]] - [[Potenzfunktionen Test|Test]]'''</div> | ||
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== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, n< | == Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, n <small>∈</small> IN == | ||
=== Gerade Potenzen === | === Gerade Potenzen === | ||
Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine gerade Zahl ist, | '''Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...''' | ||
{| cellspacing="10" | {| cellspacing="10" | ||
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| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT= | |||
# Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf | |||
# Beschreibe | |||
#* Symmetrie | #* Symmetrie | ||
#* Monotonie | #* Monotonie | ||
#* größte und kleinste Funktionswerte | #* größte und kleinste Funktionswerte | ||
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. | # Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre> | ||
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>2</sup> zu f(x) = x<sup>4</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>4</sup> zu f(x) = x<sup>6</sup> usw.! | # Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>2</sup> zu f(x) = x<sup>4</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>4</sup> zu f(x) = x<sup>6</sup> usw.! | ||
# Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x<sup>n</sup>, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird? | # Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x<sup>n</sup>, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird? | ||
:{{Lösung versteckt| | |||
:zu 1.) Wir betrachten hier Exponenten <math>n \in \{0,2,4,6,...\}</math>. Dann gilt: | |||
:* Die Funktionen haben stets positive Funktionswerte. | |||
:* Die Graphen sind stets Achsensymmetrisch zur y-Achse. | |||
:* Für <math>n>1</math> sind alle Graphen im Intervall ]-∞,0[ streng monoton fallend, im Intervall ]0,∞[ streng monoton steigend; die Graphen verlaufen durch den Ursprung (0;0) und 0 ist der kleinste Funktionswert. Ein größter Funktionswert wird nicht angenommen.<br /> | |||
:zu 2.) Alle Graphen haben die Punkte (-1;1) und (1;1) gemeinsam. | |||
:* Begründung für Punkt (-1;1): Für den Fall <math>n=0</math> gilt <math>(-1)^0=1</math> nach Defition der Potenzen. Alle anderen Exponenten <math>\textstyle n \in \{2,4,6,8,10,...\}</math> sind Vielfache von 2, also von der Art <math>2 \cdot k</math> für alle <math>k \in {\Bbb N}</math>; dann gilt: <math>(-1)^n=(-1)^{2 \cdot k}= 1^k = 1</math> für alle <math>k \in {\Bbb N}.</math> | |||
:* Begründung für Punkt (1;1): Für beliebige <math>r \in {\Bbb R}</math> ist <math>1^r = r</math> und damit insbesondere für <math>r \in {\Bbb N}</math>. | |||
:zu 3.) Was will man denn hier hören? XXX | |||
:zu 4.) Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-k<sup>n</sup>-facht. <br> | |||
: Symbolisch <math>f(k \cdot x) = (kx)^n = k^n \cdot x^n = k^n \cdot f(x)</math>. | |||
}} | |||
}}<br> | }}<br> | ||
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true" | |||
filename="3_gerade_xn.ggb" /> | |||
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=== Ungerade Potenzen === | === Ungerade Potenzen === | ||
Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = x | '''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit <math>f(x) = x^n</math>, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..''' | ||
{| <!--class="prettytable sortable" --> | {| <!--class="prettytable sortable" --> | ||
|- | |- style="vertical-align:top;" | ||
| <ggb_applet height=" | | <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true" | ||
filename="3_ungerade_xn.ggb" /> | filename="3_ungerade_xn.ggb" /> | ||
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{{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT= | {{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT= | ||
# Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf | # Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf | ||
* Symmetrie | #* Symmetrie | ||
* Monotonie | #* Monotonie | ||
* größte und kleinste Funktionswerte | #* größte und kleinste Funktionswerte | ||
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! | # Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!<br><pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen</pre> | ||
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>1</sup> zu f(x) = x<sup>3</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>3</sup> zu f(x) = x<sup>5</sup> usw.! | # Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>1</sup> zu f(x) = x<sup>3</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>3</sup> zu f(x) = x<sup>5</sup> usw.! | ||
:{{Lösung versteckt| | |||
: zu 1) Wir betrachten hier Exponenten <math>n\in\{1,3,5,7,...\}</math>. Dann gilt: | |||
::* Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle Punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0) | |||
::* Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle monoton steigend; '''Beachte:''' für <math>n\in\{3,5,7,...\}</math> haben die Funktionen im Ursprung einen Terassen- bzw. Sattelpunkt, sind dort also nicht streng-monoton steigend. | |||
::* Der Wertebereich der Funktion ist ganz <math>{\Bbb R}</math>, alle Werte werden durchlaufen (die Funktion ist damit ''surjektiv''). | |||
: zu 2) Man findet die drei Punkte (-1;-1), (0;0) und (1;1) unabhängig von <math>n</math> in allen Graphen.<br /> | |||
:: '''Begründung''' für den Punkt (-1;-1): An der Stelle <math>x=-1</math> ist <math>f(x)=f(-1)=(-1)^n=(-1)\cdot(-1)^{n-1}.</math> Da <math>n</math> nach Voraussetzung ungerade ist, ist <math>n-1</math> eine gerade Zahl. Deswegen gilt weiter: <math>(-1)\cdot(-1)^{n-1}=(-1)\cdot 1 = -1.</math> | |||
:: '''Begründung''' für die Punkte (0;0) und (1;1): Es gilt <math>0^r = 0</math> und <math>1^r=1</math> für alle <math>r \in \mathbb{R}\backslash\{0 \}</math>. | |||
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}} | }} | ||
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=== Teste dein Wissen === | |||
{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT= | {{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT= | ||
Wir betrachten die Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, n eine natürliche Zahl | Wir betrachten die Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, n eine natürliche Zahl | ||
# Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)? | # Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)? | ||
# Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)? | # Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)? | ||
:{{Lösung versteckt| | |||
:Der Punkt P(2;32) wird für <math>n=5</math> durchlaufen: <math>f \left( 2 \right ) = 2^5 = 32</math>.<br> | |||
:Der Punkt Q(1,5;3,375) wird für <math>n=3</math> durchlaufen: <math>f \left( 1,\!5 \right ) = \left( 1,\!5 \right )^3 = 3,\!375</math>. | |||
}} | |||
}} | }} | ||
== Die Graphen von f(x) = a | == Die Graphen von f(x) = a x<sup>n</sup>, mit a <small>∈</small> IR == | ||
Wir betrachten jetzt die Funktionen mit f(x) = a | '''Wir betrachten jetzt die Funktionen mit <math>f(x) = a \cdot x^n</math>, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n <small>∈</small> IN, a <small>∈</small> IR .''' | ||
{| <!--class="prettytable sortable"--> | {| <!--class="prettytable sortable"--> | ||
|- | |- style="vertical-align:top;" | ||
| <ggb_applet height=" | | {{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT= | ||
# Es sei zunächst n = 2, also <math>f(x) = a \cdot x^2</math>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a! | |||
# Beschreibe die Veränderung der Graphen mit <math>f(x) = a \cdot x^n </math> bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten. | |||
}} | |||
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true" | |||
filename="4_axn.ggb" /> | filename="4_axn.ggb" /> | ||
|} | |} | ||
{| <!--class="prettytable sortable"--> | {| <!--class="prettytable sortable"--> | ||
|- | |- style="vertical-align:top;" | ||
| <ggb_applet height=" | | <ggb_applet height="350" width="450" showMenuBar="false" showResetIcon="true" | ||
filename="4_axn_test.ggb" /> | filename="4_axn_test.ggb" /> | ||
|| | || | ||
{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT= | {{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT= | ||
Wir betrachten wieder die Funktionen mit f(x) = a | Wir betrachten wieder die Funktionen mit <math>f(x) = a \cdot x^n</math>, n eine natürliche Zahl | ||
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A( | # Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-2;4) und B(1;-0,5) verläuft. Nebenstehende Graphik dient als Hilfe. Die Punkte A und B kannst du frei verschieben. | ||
# Bestimme a und n so, .... | # Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-1) und B(0,5;3) verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen. | ||
}} | :{{Lösung versteckt| | ||
: 1. <math>a = -0.5, n = 3</math><br> | |||
: 2. Es gibt keine Lösung, denn ...}} | |||
}}<br> | |||
|} | |} | ||
== | === Teste Dein Wissen === | ||
* [http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/ggbxhochn.html Betrachte den Graphen und finde die richtigen Aussagen!] | |||
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{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4" | |||
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]] | |||
|align = "left"|'''Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten.'''<br /> | |||
[[Bild:Pfeil.gif]] [[Potenzfunktionen_2._Stufe|'''Hier geht es weiter''']]'''.''' | |||
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Version vom 31. März 2009, 10:55 Uhr
Die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, n ∈ IN
Gerade Potenzen
Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...
| Vorlage:Arbeiten |
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
Ungerade Potenzen
Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit , wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..
| Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
Teste dein Wissen
Die Graphen von f(x) = a xn, mit a ∈ IR
Wir betrachten jetzt die Funktionen mit , wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n ∈ IN, a ∈ IR .
| Vorlage:Arbeiten | Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
| Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
Teste Dein Wissen
|
Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten. |
