Historische Stichworte/Asylbewerber und Zentrische Streckung/Eigenschaften der zentrischen Streckung: Unterschied zwischen den Seiten
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{{Lernpfad-M| | |||
===Eigenschaften der zentrischen Streckung=== | |||
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[[Bild:Porzelt_Eigenschaften.jpg|center]] | |||
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''' | ==1. Station: Fixelemente== | ||
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:Für k<math>\not=</math>1 gilt: | |||
:Das Streckungszentrum Z ist '''Fixpunkt''', da es immer auf sich selbst abgebildet wird. | |||
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:'''Betrachte das Bild und überleg dir, wie die Geraden f' und g' verlaufen, wenn man f und g an dem Zentrum Z zentrisch streckt.''' | |||
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[[Bild:Porzelt_Fixgerade.jpg]] | |||
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:Hier kannst du deine Lösung mit der von Dia vergleichen: | |||
:{{Lösung versteckt|1= | |||
:f' wird auf f und g' wird auf g abgebildet. Geometrisch bedeutet dies: f=f' und g=g'.}} | |||
:Panto will auch etwas dazu sagen. Lass es dir anzeigen: | |||
:{{Versteckt|1= | |||
<div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;"> | |||
:Alle Geraden die durch den Punkt Z verlaufen sind '''Fixgeraden'''. Sie werden bei einer zentrischen | |||
:Streckung auf sich selbst abgebildet. | |||
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==2. Station: Geradentreue und Parallelentreue== | |||
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*'''Geradentreue''' bedeutet, wenn das Bild einer Geraden ebenfalls auf eine Gerade abgebildet wird. | |||
*'''Parallelentreue''' liegt vor, wenn das Bild einer parallelen Geraden wieder auf eine parallele Gerade abgebildet wird. | |||
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:Hier siehst du einen Punkt P der auf der Geraden g verläuft. P wird durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z | |||
:auf den Punkt P' abgebildet. | |||
:'''Arbeitsauftrag''' | |||
:'''Schritt 1: Bewege den Punkt P auf der Geraden g und beobachte die Spur die der Punkt P' hinterlässt.''' | |||
:'''Schritt 2: Änder den Streckungsfaktor und wiederhole Schritt 1.''' | |||
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|<ggb_applet height="400" width="450" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Geradentreue.ggb" />|| | |||
<quiz display="simple"> | |||
{'''Was zeigen die roten Spuren, die du gezeichnet hast?'''} | |||
+Geraden | |||
-Dreiecke | |||
-Ich sehe keine Spuren. | |||
{'''Ist die zentrische Streckung geradentreu?'''} | |||
+Ja | |||
-Nein | |||
</quiz> | |||
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</div> | |||
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:Um herauszufinden bei einer zentrische Streckung, ob eine Urstrecke auf eine parallele Bildstrecke mit | |||
:|k|-facher Länge abgebildet wird, musst du dir das nächste Applet anschauen. | |||
:'''Arbeitsauftrag:''' | |||
:'''Klicke Schritt 1 an. Es wird eine Hilfsstrecke [ZP] mit [ZP] || [AB] und <span style="text-decoration: overline;">AB</span> = <span style="text-decoration: overline;">A'B'</span> eingezeichnet.''' | |||
:'''Klicke Schritt 2 an. [ZH] wird zentrisch gestreckt, so dass gilt: <span style="text-decoration: overline;">ZP'</span> = |k| ∙ <span style="text-decoration: overline;">ZP</span> ''' | |||
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<div style="border: 2px solid #00CD00; background-color:#ffffff; padding:7px;"> | |||
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|<ggb_applet height="260" width="550" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Parallelentreue.ggb" />||'''Setze in die Lücken richtig ein:''' | |||
<div class="lueckentext-quiz"> | |||
Das Viereck ZA'B'P' ist ein '''Parallelogramm'''. <br> | |||
Mit <span style="text-decoration: overline;">ZP'</span> = '''<span style="text-decoration: overline;">A'B'</span>''' und '''<span style="text-decoration: overline;">ZP</span>''' = <span style="text-decoration: overline;">AB</span>. Daraus folgt durch einsetzen in die Gleichung zur in Schritt 2: <span style="text-decoration: overline;">A'B'</span> = '''|k|''' ∙ '''<span style="text-decoration: overline;">AB</span>''' | |||
|} | |||
</div> | |||
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<div class="multiplechoice-quiz"> | |||
'''Ist die zentrische Streckung parallelentreu?''' | |||
(Ja) (!Nein) | |||
</div> | |||
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==3. Station: Längentreue, Winkeltreue und Flächeninhaltstreue== | |||
<div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;"> | |||
*'''Längentreue''' bedeutet, wenn alle Bildstrecken genauso lang sind wie die Urbildstrecken. | |||
*Ebenso gilt für die '''Winkeltreue''', wenn alle Bildwinkel genauso groß sind wie die Urbildwinkel. | |||
*'''Flächeninhaltstreue''' liegt vor, wenn der Flächeninhalt des Bildes genauso groß ist, wie der Flächeninhalt des Urbildes. | |||
</div> | |||
<br> | |||
:In diesem Applet siehst du ein Dreieck, dass um k= 3.5 zentrisch gestreckt wurde. Lass dir das Winkelmaß, | |||
:die Streckenlängen und den Flächeninhalt nacheinander anzeigen. Vergleiche die Werte und überlege, welche | |||
:Eigenschaft zutrifft. | |||
<ggb_applet height="400" width="750" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Winkel_Flächen_Längentreu.ggb" /> | |||
<br> | |||
:Durch Umformung kannst du herausfinden, wie der Flächeninhalt des zentrisch gestreckten Dreiecks zu berechnen ist. | |||
:Setze dafür die richtigen Aussagen in die passenden Lücken ein: | |||
<div class="lueckentext-quiz"> | |||
A<sub><math>\Delta</math>ABC</sub> = 0,5 ∙ <span style="text-decoration: overline;">AB</span> ∙ h <br> | |||
A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = 0,5 ∙ <span style="text-decoration: overline;">A'B'</span> ∙ h' <br> | |||
A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = 0,5 ∙ |k| ∙ '''<span style="text-decoration: overline;">AB</span>''' ∙ '''|k|''' ∙ '''h''' <br> | |||
A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = '''|k|²''' ∙ 0,5 ∙ <span style="text-decoration: overline;">AB</span> ∙ h <br> | |||
A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = '''|k|²''' ∙ '''A<sub><math>\Delta</math>ABC</sub>''' | |||
</div> | |||
<br> | |||
==4. Station: Längenverhältnistreue== | |||
<div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;"> | |||
:'''Längenverhältnistreue''' liegt vor, wenn das Längenverhältnis der Bildstrecke gleich dem der Urstrecke ist. | |||
</div> | |||
<br> | |||
==5. Station: Kreistreue== | |||
<div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;"> | |||
:'''Kreistreue''' bedeutet, wenn das Bild eines Kreises ebenfalls ein Kreis ist. | |||
</div> | |||
<br> | |||
:Mit Hilfe dieses Applets kannst du einen Kreis zentrisch strecken. Finde heraus, ob die zentrische Streckung kreistreu ist. | |||
<ggb_applet height="350" width="650" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Kreistreue.ggb" /> | |||
==6. Station: Zusammenfassung== | |||
:Hier ist alles was du bisher herausgefunden hast zusammengefasst. Übertrage diese Zusammenfassung in dein Heft. | |||
<div style="border: 2px solid #FF0000; background-color:#ffffff; padding:7px;"> | |||
'''Eigenschaften der zentrischen Streckung'''<br> | |||
Jede Gerade die durch das Zentrum Z verläuft, wird auf sich selbst abgebildet. Sie ist eine '''Fixgerade'''. <br> | |||
Jede Gerade, die nicht durch das Zentrum Z verläuft, wird auf eine parallele Bildgerade abgebildet. Sie ist '''parallelentreu'''.<br> | |||
Die Bildstrecke ist |k|-mal so lang wie die Urstrecke. Sie ist also '''nicht''' längentreu. <br> | |||
Jedoch ist sie '''längenverhältnistreu'''. <br> | |||
Die zentrische Streckung ist '''geradentreu''', '''winkeltreu''' und '''kreistreu'''. <br> | |||
Der Flächeninhalt der Bildfigur beträgt das '''|k|²-fache''' des Flächeninhalts der Urfigur. ('''A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = |k|² ∙ A<sub><math>\Delta</math>ABC</sub>''') <br> | |||
Die zentrische Streckung ist deshalb '''nicht''' flächeninhaltstreu. | |||
</div> | |||
==7. Station: Übung== |
Version vom 3. Juli 2009, 06:53 Uhr
1. Station: Fixelemente
- Für k1 gilt:
- Das Streckungszentrum Z ist Fixpunkt, da es immer auf sich selbst abgebildet wird.
- Betrachte das Bild und überleg dir, wie die Geraden f' und g' verlaufen, wenn man f und g an dem Zentrum Z zentrisch streckt.
- Hier kannst du deine Lösung mit der von Dia vergleichen:
- f' wird auf f und g' wird auf g abgebildet. Geometrisch bedeutet dies: f=f' und g=g'.
- Panto will auch etwas dazu sagen. Lass es dir anzeigen:
- Vorlage:Versteckt
2. Station: Geradentreue und Parallelentreue
- Geradentreue bedeutet, wenn das Bild einer Geraden ebenfalls auf eine Gerade abgebildet wird.
- Parallelentreue liegt vor, wenn das Bild einer parallelen Geraden wieder auf eine parallele Gerade abgebildet wird.
- Hier siehst du einen Punkt P der auf der Geraden g verläuft. P wird durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z
- auf den Punkt P' abgebildet.
- Arbeitsauftrag
- Schritt 1: Bewege den Punkt P auf der Geraden g und beobachte die Spur die der Punkt P' hinterlässt.
- Schritt 2: Änder den Streckungsfaktor und wiederhole Schritt 1.
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
|
- Um herauszufinden bei einer zentrische Streckung, ob eine Urstrecke auf eine parallele Bildstrecke mit
- |k|-facher Länge abgebildet wird, musst du dir das nächste Applet anschauen.
- Arbeitsauftrag:
- Klicke Schritt 1 an. Es wird eine Hilfsstrecke [ZP] mit [ZP] || [AB] und AB = A'B' eingezeichnet.
- Klicke Schritt 2 an. [ZH] wird zentrisch gestreckt, so dass gilt: ZP' = |k| ∙ ZP
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. | Setze in die Lücken richtig ein:
Das Viereck ZA'B'P' ist ein Parallelogramm. |
Ist die zentrische Streckung parallelentreu? (Ja) (!Nein)
3. Station: Längentreue, Winkeltreue und Flächeninhaltstreue
- Längentreue bedeutet, wenn alle Bildstrecken genauso lang sind wie die Urbildstrecken.
- Ebenso gilt für die Winkeltreue, wenn alle Bildwinkel genauso groß sind wie die Urbildwinkel.
- Flächeninhaltstreue liegt vor, wenn der Flächeninhalt des Bildes genauso groß ist, wie der Flächeninhalt des Urbildes.
- In diesem Applet siehst du ein Dreieck, dass um k= 3.5 zentrisch gestreckt wurde. Lass dir das Winkelmaß,
- die Streckenlängen und den Flächeninhalt nacheinander anzeigen. Vergleiche die Werte und überlege, welche
- Eigenschaft zutrifft.
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.
- Durch Umformung kannst du herausfinden, wie der Flächeninhalt des zentrisch gestreckten Dreiecks zu berechnen ist.
- Setze dafür die richtigen Aussagen in die passenden Lücken ein:
AABC = 0,5 ∙ AB ∙ h
AA'B'C' = 0,5 ∙ A'B' ∙ h'
AA'B'C' = 0,5 ∙ |k| ∙ AB ∙ |k| ∙ h
AA'B'C' = |k|² ∙ 0,5 ∙ AB ∙ h
AA'B'C' = |k|² ∙ AABC
4. Station: Längenverhältnistreue
- Längenverhältnistreue liegt vor, wenn das Längenverhältnis der Bildstrecke gleich dem der Urstrecke ist.
5. Station: Kreistreue
- Kreistreue bedeutet, wenn das Bild eines Kreises ebenfalls ein Kreis ist.
- Mit Hilfe dieses Applets kannst du einen Kreis zentrisch strecken. Finde heraus, ob die zentrische Streckung kreistreu ist.
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.
6. Station: Zusammenfassung
- Hier ist alles was du bisher herausgefunden hast zusammengefasst. Übertrage diese Zusammenfassung in dein Heft.
Eigenschaften der zentrischen Streckung
Jede Gerade die durch das Zentrum Z verläuft, wird auf sich selbst abgebildet. Sie ist eine Fixgerade.
Jede Gerade, die nicht durch das Zentrum Z verläuft, wird auf eine parallele Bildgerade abgebildet. Sie ist parallelentreu.
Die Bildstrecke ist |k|-mal so lang wie die Urstrecke. Sie ist also nicht längentreu.
Jedoch ist sie längenverhältnistreu.
Die zentrische Streckung ist geradentreu, winkeltreu und kreistreu.
Der Flächeninhalt der Bildfigur beträgt das |k|²-fache des Flächeninhalts der Urfigur. (AA'B'C' = |k|² ∙ AABC)
Die zentrische Streckung ist deshalb nicht flächeninhaltstreu.