Zentrische Streckung/Eigenschaften der zentrischen Streckung: Unterschied zwischen den Versionen
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Main>Leonie Porzelt (7. Station) |
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==3. Station: Längentreue | ==3. Station: Winkeltreue, Längentreue und Flächeninhaltstreue== | ||
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*''' | *'''Winkeltreue''' bedeutet, wenn alle Bildwinkel genauso groß sind wie die Urbildwinkel. | ||
*Ebenso gilt für die ''' | *Ebenso gilt für die '''Längentreue''', dass alle Bildstrecken genauso lang sind wie die Urbildstrecken. | ||
*'''Flächeninhaltstreue''' liegt vor, wenn der Flächeninhalt des Bildes genauso groß ist, wie der Flächeninhalt des Urbildes. | *'''Flächeninhaltstreue''' liegt vor, wenn der Flächeninhalt des Bildes genauso groß ist, wie der Flächeninhalt des Urbildes. | ||
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:In diesem Applet siehst du ein Dreieck, dass um k= 3.5 zentrisch gestreckt wurde. Lass dir das Winkelmaß, | :In diesem Applet siehst du ein Dreieck, dass um k= 3.5 zentrisch gestreckt wurde. Lass dir das Winkelmaß, | ||
:die Streckenlängen und den Flächeninhalt nacheinander anzeigen. Vergleiche die Werte und überlege, welche | :die Streckenlängen und den Flächeninhalt nacheinander anzeigen. | ||
:'''Arbeitsauftrag:''' | |||
:'''Vergleiche die Werte und überlege, welche Eigenschaften zutreffen.''' | |||
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<ggb_applet height="400" width="750" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Winkel_Flächen_Längentreu.ggb" /> | <ggb_applet height="400" width="750" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Winkel_Flächen_Längentreu.ggb" /> | ||
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<div class="multiplechoice-quiz"> | |||
: | '''Welche Eigenschaften treffen auf die zentrische Streckung zu?''' | ||
:Setze dafür die richtigen Aussagen in die passenden Lücken ein: | (Winkeltreue) (!Längentreue) (!Flächeninhaltstreue) | ||
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:Nur wie kann man jetzt den Flächeninhalt des zentrisch gestreckten Dreiecks berechnen? | |||
:Finde es durch Umformung heraus! Setze dafür die richtigen Aussagen in die passenden Lücken ein: | |||
{| | |||
|[[Bild:Porzelt_Dreiecke.jpg ]]|| | |||
<div class="lueckentext-quiz"> | <div class="lueckentext-quiz"> | ||
A<sub><math>\Delta</math>ABC</sub> = 0,5 ∙ <span style="text-decoration: overline;">AB</span> ∙ h <br> | A<sub><math>\Delta</math>ABC</sub> = 0,5 ∙ <span style="text-decoration: overline;">AB</span> ∙ h <br> | ||
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A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = '''|k|²''' ∙ '''A<sub><math>\Delta</math>ABC</sub>''' | A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = '''|k|²''' ∙ '''A<sub><math>\Delta</math>ABC</sub>''' | ||
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|} | |||
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:'''Längenverhältnistreue''' liegt vor, wenn das Längenverhältnis der Bildstrecke gleich dem der Urstrecke ist. | :'''Längenverhältnistreue''' liegt vor, wenn das Längenverhältnis der Bildstrecke gleich dem der Urstrecke ist. | ||
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{| | |||
|[[Bild:Porzelt_Verhältnistreu.jpg]]|| '''Arbeitsauftrag:''' | |||
#Berechne den Streckungsfaktor k. | |||
#Berechne <span style="text-decoration: overline;">A'P'</span> und <span style="text-decoration: overline;">P'B'</span>. | |||
#Berechne <math>{\overline{AP}\over\overline{PB}}</math> und <math>{\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}</math>. Runde auf 2 Nachkommastellen. | |||
|} | |||
<br> | |||
:Um herauszufinden ob deine Lösungen richtig sind, klicke hier die Lösung an: | |||
<quiz display="simple"> | |||
{'''Der Streckungsfaktor k beträgt:'''} | |||
+2.0 | |||
-1.5 | |||
-3.0 | |||
{'''<span style="text-decoration: overline;">A'P'</span> beträgt:'''} | |||
+1.4 cm | |||
-1.5 cm | |||
-1.3 cm | |||
{'''<span style="text-decoration: overline;">P'B'</span> beträgt:'''} | |||
+3.0 cm | |||
-2.0 cm | |||
-2.5 cm | |||
{'''<math>{\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}</math> beträgt:'''} | |||
+0.47 | |||
-0.50 | |||
-1.00 | |||
{'''<math>{\overline{AP}\over\overline{PB}}</math> beträgt:'''} | |||
+0.47 | |||
-0.52 | |||
-0.45 | |||
</quiz> | |||
<br> | <br> | ||
:Warum ist <math>{\overline{AP}\over\overline{PB}}</math> = <math>{\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}</math>? | |||
<div class="lueckentext-quiz"> | |||
Für <math>\overline{AP}</math> kann man auch '''|k| ∙ <math>\overline{A'P'}</math>''' und für <math>\overline{PB}</math> kann man '''|k| ∙ <math>\overline{P'B'}</math>''' einsetzen. <br> | |||
Daraus folgt: <math>{\overline{AP}\over\overline{PB}}</math> = '''<math>{{|k|}\over{|k|}}</math>''' ∙ '''<math>{\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}</math>'''. | |||
|k| kann man rauskürzen, so dass '''<math>{\overline{AP}\over\overline{PB}}</math>''' = <math>{\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}</math> gilt. | |||
</div> | |||
<br> | |||
<div class="multiplechoice-quiz"> | |||
'''Ist die zentrische Streckung längenverhältnistreu?''' | |||
(Ja) (!Nein) | |||
</div> | |||
<br> | |||
==5. Station: Kreistreue== | ==5. Station: Kreistreue== | ||
Zeile 117: | Zeile 178: | ||
</div> | </div> | ||
<br> | <br> | ||
:Mit Hilfe dieses Applets kannst du einen Kreis zentrisch strecken. Finde heraus, ob die zentrische Streckung kreistreu ist. | :Mit Hilfe dieses Applets kannst du einen Kreis zentrisch um den Faktor m = 3 strecken. Finde heraus, | ||
:ob die zentrische Streckung kreistreu ist. | |||
<ggb_applet height="350" width="650" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Kreistreue.ggb" /> | <ggb_applet height="350" width="650" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Kreistreue.ggb" /> | ||
<br> | |||
<div class="lueckentext-quiz"> | |||
Es gilt: <math>\overline{PM}</math> = r <br> | |||
Deshalb kann man schreiben: <math>\overline{P'M'}</math> = '''|m|''' ∙ '''<math>\overline{PM}</math>''' = r' <br> | |||
Der Bildpunkt P' liegt auf einem '''Kreis k'''' um M' mit Radius r' = |m| ∙ '''r'''. | |||
</div> | |||
<br> | |||
<div class="multiplechoice-quiz"> | |||
'''Ist die zentrische Streckung kreistreu?''' | |||
(Ja) (!Nein) | |||
</div> | |||
<br> | |||
==6. Station: Zusammenfassung== | ==6. Station: Zusammenfassung== | ||
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==7. Station: Übung== | ==7. Station: Übung== | ||
:Mit Hilfe der Eigenschaften Geradentreue und Parallelentreue kann man Figuren wie folgt konstruieren: | |||
:Zeichne ein Koordinatensystem (0 <math>\le</math> x <math>\le</math> 14;-3 <math>\le</math> y <math>\le</math> 6) mit dem Dreieck PQR und dem Zentrum Z in dein Heft. | |||
:(Die Koordinaten für die Punkte kannst du im Bild ablesen.) | |||
:#Bilde den Punkt R wie gewohnt auf R' ab. | |||
:#Zeichne die Parallele zu RP durch R' ein. Sie schneidet [ZP im Punkt P'. | |||
:#Jetzt kennst du 2 Möglichkeiten um Bildpunkte zu konstruieren. Entscheide selbst, wie du den Punkt Q' konstruierst. | |||
:Hier kannst du deine Lösung mit der von Dia vergleichen: |
Version vom 3. Juli 2009, 10:58 Uhr
1. Station: Fixelemente
- Für k1 gilt:
- Das Streckungszentrum Z ist Fixpunkt, da es immer auf sich selbst abgebildet wird.
- Betrachte das Bild und überleg dir, wie die Geraden f' und g' verlaufen, wenn man f und g an dem Zentrum Z zentrisch streckt.
- Hier kannst du deine Lösung mit der von Dia vergleichen:
- f' wird auf f und g' wird auf g abgebildet. Geometrisch bedeutet dies: f=f' und g=g'.
- Panto will auch etwas dazu sagen. Lass es dir anzeigen:
- Vorlage:Versteckt
2. Station: Geradentreue und Parallelentreue
- Geradentreue bedeutet, wenn das Bild einer Geraden ebenfalls auf eine Gerade abgebildet wird.
- Parallelentreue liegt vor, wenn das Bild einer parallelen Geraden wieder auf eine parallele Gerade abgebildet wird.
- Hier siehst du einen Punkt P der auf der Geraden g verläuft. P wird durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z
- auf den Punkt P' abgebildet.
- Arbeitsauftrag
- Schritt 1: Bewege den Punkt P auf der Geraden g und beobachte die Spur die der Punkt P' hinterlässt.
- Schritt 2: Änder den Streckungsfaktor und wiederhole Schritt 1.
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
|
- Um herauszufinden bei einer zentrische Streckung, ob eine Urstrecke auf eine parallele Bildstrecke mit
- |k|-facher Länge abgebildet wird, musst du dir das nächste Applet anschauen.
- Arbeitsauftrag:
- Klicke Schritt 1 an. Es wird eine Hilfsstrecke [ZP] mit [ZP] || [AB] und AB = A'B' eingezeichnet.
- Klicke Schritt 2 an. [ZH] wird zentrisch gestreckt, so dass gilt: ZP' = |k| ∙ ZP
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. | Setze in die Lücken richtig ein:
Das Viereck ZA'B'P' ist ein Parallelogramm. |
Ist die zentrische Streckung parallelentreu? (Ja) (!Nein)
3. Station: Winkeltreue, Längentreue und Flächeninhaltstreue
- Winkeltreue bedeutet, wenn alle Bildwinkel genauso groß sind wie die Urbildwinkel.
- Ebenso gilt für die Längentreue, dass alle Bildstrecken genauso lang sind wie die Urbildstrecken.
- Flächeninhaltstreue liegt vor, wenn der Flächeninhalt des Bildes genauso groß ist, wie der Flächeninhalt des Urbildes.
- In diesem Applet siehst du ein Dreieck, dass um k= 3.5 zentrisch gestreckt wurde. Lass dir das Winkelmaß,
- die Streckenlängen und den Flächeninhalt nacheinander anzeigen.
- Arbeitsauftrag:
- Vergleiche die Werte und überlege, welche Eigenschaften zutreffen.
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.
Welche Eigenschaften treffen auf die zentrische Streckung zu? (Winkeltreue) (!Längentreue) (!Flächeninhaltstreue)
- Nur wie kann man jetzt den Flächeninhalt des zentrisch gestreckten Dreiecks berechnen?
- Finde es durch Umformung heraus! Setze dafür die richtigen Aussagen in die passenden Lücken ein:
AABC = 0,5 ∙ AB ∙ h |
4. Station: Längenverhältnistreue
- Längenverhältnistreue liegt vor, wenn das Längenverhältnis der Bildstrecke gleich dem der Urstrecke ist.
Arbeitsauftrag:
|
- Um herauszufinden ob deine Lösungen richtig sind, klicke hier die Lösung an:
- Warum ist = ?
Für kann man auch |k| ∙ und für kann man |k| ∙ einsetzen.
Daraus folgt: = ∙ .
|k| kann man rauskürzen, so dass = gilt.
Ist die zentrische Streckung längenverhältnistreu? (Ja) (!Nein)
5. Station: Kreistreue
- Kreistreue bedeutet, wenn das Bild eines Kreises ebenfalls ein Kreis ist.
- Mit Hilfe dieses Applets kannst du einen Kreis zentrisch um den Faktor m = 3 strecken. Finde heraus,
- ob die zentrische Streckung kreistreu ist.
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.
Es gilt: = r
Deshalb kann man schreiben: = |m| ∙ = r'
Der Bildpunkt P' liegt auf einem Kreis k' um M' mit Radius r' = |m| ∙ r.
Ist die zentrische Streckung kreistreu? (Ja) (!Nein)
6. Station: Zusammenfassung
- Hier ist alles was du bisher herausgefunden hast zusammengefasst. Übertrage diese Zusammenfassung in dein Heft.
Eigenschaften der zentrischen Streckung
Jede Gerade die durch das Zentrum Z verläuft, wird auf sich selbst abgebildet. Sie ist eine Fixgerade.
Jede Gerade, die nicht durch das Zentrum Z verläuft, wird auf eine parallele Bildgerade abgebildet. Sie ist parallelentreu.
Die Bildstrecke ist |k|-mal so lang wie die Urstrecke. Sie ist also nicht längentreu.
Jedoch ist sie längenverhältnistreu.
Die zentrische Streckung ist geradentreu, winkeltreu und kreistreu.
Der Flächeninhalt der Bildfigur beträgt das |k|²-fache des Flächeninhalts der Urfigur. (AA'B'C' = |k|² ∙ AABC)
Die zentrische Streckung ist deshalb nicht flächeninhaltstreu.
7. Station: Übung
- Mit Hilfe der Eigenschaften Geradentreue und Parallelentreue kann man Figuren wie folgt konstruieren:
- Zeichne ein Koordinatensystem (0 x 14;-3 y 6) mit dem Dreieck PQR und dem Zentrum Z in dein Heft.
- (Die Koordinaten für die Punkte kannst du im Bild ablesen.)
- Bilde den Punkt R wie gewohnt auf R' ab.
- Zeichne die Parallele zu RP durch R' ein. Sie schneidet [ZP im Punkt P'.
- Jetzt kennst du 2 Möglichkeiten um Bildpunkte zu konstruieren. Entscheide selbst, wie du den Punkt Q' konstruierst.
- Hier kannst du deine Lösung mit der von Dia vergleichen: