Lineare Funktionen

Station 1: Proportionale Funktionen

Das Thema der linearen Funktionen ist eng verwandt mit einem Thema, das du bereits kennst: Direkt proportionale Funktionen sind nämlich ganz spezielle lineare Funktionen. In dieser Station kannst du dein Wissen über direkt proportionale Zuordnungen bzw. Funktionen auffrischen und vertiefen, um eine gute Grundlage zum Verständnis der weiteren Stationen zu legen.

Im Bergwerk

In tief gelegene Bergwerke dringt im Betrieb laufend Grundwasser ein. Daher benutzt man große Pumpen, um das Grundwasser wieder aus dem Berkwerk zu befördern und damit den Bergleuten ein Arbeiten im Trockenen zu ermöglichen.

In der Regel treten pro Stunde etwa 120m³ Grundwasser ein, die ständig abgepumpt werden müssen.

Plötzlich fallen die Pumpen aus! Die Kumpel werden sichtlich nervös, denn der Aufzug ist langsam und kann immer nur wenige Leute nach oben in Sicherheit bringen. Und jeder weiß, sobald 850m³ Wasser ins Bergwerk eindringen, fällt der Strom und damit der Aufzug aus. Doch ihr seid kühle Mathematiker und könnt herausfinden, wie lange für die Evakuierung noch Zeit bleibt.

Um auch sicherzugehen, dass ihr euch nicht verrechnet, wärmt ihr euch zunächst mit ein paar einfachern Aufgaben auf. Es geht ja schließlich um das Leben der Bergleute!

Aufgabe 1

a) Wie viel Wasser dringt in einer halben Stunde in das Bergwerk ein? Begründe dein Ergebnis! Gib eine Zuordnungsvorschrift an, die die Situation beschreibt.

b) Berechne in einer Wertetabelle die eingedrungene Wassermenge nach 1,2,5 und 6 Stunden.
   Bestimme die Proportionalitätskonstante m.

c) Nutze den Wert m, um die eingedrungene Wassermenge nach 4h, 5,5h und 1,63h zu berechnen.

    Gib eine Funktionsgleichung bzw. einen Funktionsterm an,
    wie man mit der Proportionalitätskonstante m die Wassermenge zu jeder Zeit t berechnen kann.

Aufgrund der direkten Proportionalität gilt:

1h $\widehat{=}$ 120m³

0,5h $\widehat{=}$ 60m³

Zuordnungsvorschrift: f: Zeit t (in h) --> Wassermenge w (in m³

Zeit in h

Heißt die Proportionalitätskonstante nicht c?

<popup name="Erklärung">PS: Wir nennen die Proportionalitätskonstante ab jetzt $m$. Das hat den Hingergrund, dass der Augenmerk in Zukunft weniger bei der Quotientengleichheit liegt, sondern auf einem weiteren Gesichtspunkt, die durch die Proportionalitätskonstante bestimmt wird. </popup>

<popup name="Tipp"> Wassermenge zur Zeit t: $w=f(t) = ...$ </popup>

<popup name="Lösung"> allgemeine Funktionsgleichung: $w = m\cdot t$ oder $f(t)=m\cdot t$

f(4h) = 120 m³ /h * 4h = 480 m³

f(5,5h) = 120 m³/h * 5,5h = 660m³

f(1,63h) = 120 m³/h * 1,63h = 195,6 m³

</popup>

Merke

Bei direkt proportionalen Zuordnungen $f: x \mapsto y$   gilt   $\frac{y}{x}=m$  mit konstantem  $m$  (Proportionalitätskonstante).

Direkt proportionale Zuordnungen können also durch die Funktionsgleichung $\color{blue}y=m\cdot x$ bzw. $\color{blue}f(x)=m\cdot x$ beschrieben werden.
Man nennt sie deshalb auch proportionale Funktionen.

Aufgabe

d) Nutze die Funktionsgleichung, um die Wassermenge zu den Zeitpunkten 0h, 3h, 1,5h und 8h zu berechnen.
    Trage diese Punkte in ein Koordinatensystem ein, um den Graphen der Funktion zu zeichnen.

    Ist es sinnvoll, die Punkte zu verbinden? Begründe!

Verwende folgende Vorgaben:

x-Achse: 1cm $\widehat{=}$ 2h

y-Achse: 1cm$\widehat{=}$ 200m³

<popup name="Lösung"> mit $f(t)=m\cdot t$ und m=120m³/h folgt:

• f(0h) = 120 m³/h * 0h = 0 m³

• f(1,5h) = 120 m³/h * 1,5h = 180 m³

• f(3h) = 120 m³/h * 3h = 360 m³

• f(8h) = 120 m³/h * 8h = 960 m³

Ja, es macht Sinn, die Punkte zu verbinden, da zu jeder Zeit zwischen den gegebenen ebenfalls eine beistimmte Wassermege eingetreten ist.

</popup>

Genug aufgewärmt, die Kumpel wollen endlich wissen, wie lange sie noch Zeit haben!!

Aufgabe

Ermittle mithilfe deines gezeichneten Funktionsgraphen graphisch, wann 850m³ Wasser ins Bergwerk eingedrungen sind und es kein Entrinnen mehr für die Bergleute gibt.

<popup name="Lösung">

Nach ca. 7,1 Stunden muss spätestens der letzte Bergmann den Stollen verlassen haben, da dann der Aufzug ausfällt. </popup>

Ah, kein Stress,das ist ja noch genug Zeit. Bis du an der Reihe bist kannst du in aller Ruhe noch eine kleine Aufgabe lösen...

Aufgabe

Nach einem regnerischen Herbstmonat dringen pro Stunde sogar 240m³ in das Bergwerk ein, in trockenen Sommermontaten hingegen nur 50m³.

• Gib für die beiden Fälle eine Funktionsgleichung an, die die Situation richtig beschreibt.

<popup name="Lösung">

• Herbst: $f(t)=240 \frac{m^3}{h}\cdot t$

• Sommer: $f(t)=50 \frac{m^3}{h}\cdot t$

</popup>

• Zeichne die Graphen zu den beiden Funktiongleichungen in dein Koordinatensystem aus Aufgabe 2.

<popup name="Tipp">

• Um die Graphen zu zeichnen musst du mithilfe der Funktionsgleichung zunächst Wertepaare berechnen (z.B. in einer Wertetabelle)
• Überlege: Wie viele Wertepaare/Punkte benötigst du, um den Graphen zeichnen zu können?

</popup>

• Beschreibe, was dir auffällt, wenn du die Graphen miteinander vergleichst.
• Erkläre in einem Satz, wie sich die Unterschiede erklären lassen!

<popup name="Lösung">

• Alle drei Graphen sind Ursprungsgeraden
• Die Geraden verlaufen unterschiedlich steil

Je größer die Zuflussmenge pro Zeit ist, also je größer die Proportionalitätskonstante ist, desto steiler verläuft die Gerade des zugehörigen Graphen.

</popup>

Merke

Allgemein:

Die Funktion $f:x \mapsto m\cdot x$ mit der Funktionsgleichung $f(x)=m\cdot x$ beschreibt die direkte Proportionalität der beiden Variablen x und y.
Der Graph dieser Funktion $f(x)=m\cdot x$ ist eine Gerade durch den Ursprung des KS; dabei ist m die Steigung dieser Geraden.

Super, du hast die erste Station geschafft! Überprüfe in der Übungsstation doch gleich, ob du alles verstanden hast!

Datei:Binoculars-1015267 1920.jpg

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Lineare Funktionen

• Station 1: Proportionalität
• Übung 1
• Station 2: Steigung
• Übung 2
• Station 3: Beschreibung allgemeiner Geraden
• Übung 3
• Station 4: Aufstellen eines Funktionterms
• Übung 4
• Abschluss

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