Lineare Funktionen

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Inhaltsverzeichnis

Was man darüber wissen sollte

Funktionsgleichung

Eine Funktion f(x)\, mit f(x)=a_1x+a_0\, heißt ganzrationale Funktion 1. Grades oder lineare Funktion.
Der Funktiongraph stellt eine Gerade dar.

Achsenschnittpunkte

Schnittpunkt mit der y - Achse: P_y(0|y_s)\Rightarrow y_s=f(0)\,
Schnittpunkt mit der x - Achse: P_x(x_s|0)\Rightarrow f(x_s)=0\,

Steigung

Zlinfkt 01.gif
Die Steigung des Graphen einer linearen Funktion mit der Funktionsgleichung f(x)\, mit f(x)=a_1x+a_0\, lässt sich am Koeffizienten a_1\, ablesen.
Berechnet wird sie mit:
a_1=\frac{f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=\frac{y_2-y_1} {x_2-x_1}=\frac{\Delta y} {\Delta x}=\tan\alpha\, In Kurzform: a_1=\frac{y_2-y_1} {x_2-x_1}\,

Funktionsgleichung aufstellen

  • Die Steigung a_1=a\, und ein Punkt P_1(x_1|y_1)\, der auf der Geraden liegt seien bekannt.
Ansatz: f(x)=ax+a_0\,
P_1(x_1|y_1):\Rightarrow f(x_1)=y_1\Leftrightarrow ax_1+a_0=y_1 \Leftrightarrow a_0=y_1-ax_1\,


  • Die Koordinaten zweier Punkte P_1(x_1|y_1)\, und P_2(x_2|y_2)\, die auf der Geraden liegen, seien bekannt.
Zuerst wird der Steigungsfaktor berechnet: a_1=\frac{y_2-y_1} {x_2-x_1}\Rightarrow f(x)=a_1x+a_0\,
P_1(x_1|y_1):\Rightarrow f(x_1)=y_1\Leftrightarrow ax_1+a_0=y_1 \Leftrightarrow a_0=y_1-ax_1\,
oder
P_2(x_2|y_2):\Rightarrow f(x_2)=y_2\Leftrightarrow ax_2+a_0=y_2 \Leftrightarrow a_0=y_2-ax_2\,

Schnittpunkt zweier Geraden

Ansatz: f(x)=g(x)\Leftrightarrow f(x)-g(x)=0 \Rightarrow x_s\, x - Wert vom Schnittpunkt der beiden Geraden.
y_s=f(x_s)=g(x_s) \Rightarrow S(x_s|y_s)\, als Schnittpunkt der beiden Geraden.


Orthogonale Geraden

Steigung einer Geraden

Ursprungsgeraden

Gleichung einer Geraden

Orthogonale Geraden

Anwendungsorientierte Aufgaben zur Linearen Funktion

Eine ausführliche Beschreibung des Unterrichtsverlaufs mit Lernzielen, einem didaktischen Kommentar und dem kompletten Download aller Materialien finden Sie unter Lo 20x20.gif Lineare Funktionen interaktiv erkunden.

Siehe auch