Interaktive Übungen und Integralrechnung/Integrationsregeln: Unterschied zwischen den Seiten
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==Integrationsregeln== | |||
{{ | Im Folgenden wirst Du einige elementare Integrationsregeln kennenlernen, die Du beim Integrieren ständig benötigen wirst. | ||
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{{Aufgaben-M|11| | |||
Formuliere eine Hypothese aufgrund Deines bisherigen Wissens über Stammfunktionen und Integrale zu folgenden Punkten: | |||
# Welchen Wert hat das Integral einer Summe von Funktionen? Was gilt also z.B. für <math>\int\limits_a^b f(x) + g(x) \ \mathrm{d}x</math>? | |||
# Welchen Wert hat das Integral eines Produktes aus einer Zahl und einer Funktion? Was gilt also für <math>\int\limits_a^b c \cdot f(x) \ \mathrm{d}x</math>? | |||
}} | |||
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{{Aufgaben-M|12| | |||
< | Formuliere selbstständig eine '''allgemeine''' Regel dafür, wie das Integral einer Summe von Funktionen gebildet wird. Benutze dafür wieder die Software Geogebra, indem Du die Integrale zweier beliebiger Funktionen <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> in einem beliebigen Intervall <math>[a;b]</math> bestimmst und mit <math>\int\limits_a^b f(x) + g(x) \ \mathrm{d}x</math> vergleichst. | ||
}} | |||
< | <br> | ||
<div align="center"> | |||
<ggb_applet height="30" width="150" type=button useLocalJar="true" showMenuBar="true" showToolBar="true" showAlgebraInput="true" showResetIcon="true" filename="blank.ggb" /> | |||
'' | |||
( | |||
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{{Lösung versteckt|{{Lösung| | |||
Es gilt die ''Summenregel für Integrale'':<br> | |||
<math> | |||
\int\limits_a^b \left( f(x) + g(x) \right) \ \mathrm{d}x = \int\limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x + \int\limits_a^b g(x) \ \mathrm{d}x | |||
</math>. <br> | |||
Das Integral einer Summe von Funktionen ist gleich der Summe der einzelnen Integrale der jeweiligen Funktionen. Eine Summe wird also gliedweise integriert. | |||
}}}} | |||
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{{Aufgaben-M|13| | |||
Warum ist die Lösung von Aufgabe 12 plausibel? | |||
# Begründe anschaulich anhand der geometrischen Zusammenhänge! | |||
# Begründe anhand der Rechengesetze für Grenzwerte! | |||
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{{Lösung versteckt|{{Lösung| | |||
# Die Funktionswerte der Funktionen <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> addieren sich zu den Funktionswerten einer neuen Funktion <math>f(x) + g(x)</math>. Somit addieren sich auch die Flächeninhalte zwischen den Graphen von <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> und der x-Achse. | |||
# Der Grenzwert einer Summe ist gleich der Summe der einzelnen Grenzwerte, falls die Grenzwerte existieren: <math>\lim_{\Delta x \to 0} \ \sum_{i=0}^{\infty} \left( f(x_i)+g(x_i) \right) \cdot \Delta x = \lim_{\Delta x \to 0} \ \sum_{i=0}^{\infty} f(x_i) \cdot \Delta x + \lim_{\Delta x \to 0} \ \sum_{i=0}^{\infty} g(x_i) \cdot \Delta x</math> | |||
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Zur Schreibweise: <math>\sum</math> ist das Summenzeichen (großes griechisches Sigma), es gilt: <math>\sum_{i=0}^n f(x_i) = f(x_0) + f(x_1) + f(x_2) + \dots + f(x_n)</math>, d.h. der Index <math>i</math> durchläuft alle Zahlen von 0 (untere Summengrenze) bis <math>n</math> (obere Summengrenze). Es wird dann die Summe der einzelnen <math>f(x_i)</math> gebildet. | |||
}}}} | |||
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{{Aufgaben-M|14| | |||
Formuliere selbstständig eine '''allgemeine''' Regel dafür, wie das Integral eines Produktes einer Zahl <math>c</math> mit einer Funktion <math>f(x)</math> gebildet wird. Benutze dafür erneut Geogebra, indem Du das Integral einer beliebigen Funktion <math>c \cdot f(x)</math> in einem beliebigen Intervall <math>[a;b]</math> bestimmst und mit <math>c \cdot \int\limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x</math> vergleichst, wobei <math>c</math> irgendeine reelle Zahl ist. | |||
}} | |||
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<div align="center"> | |||
<ggb_applet height="30" width="150" type=button useLocalJar="true" showMenuBar="true" showToolBar="true" showAlgebraInput="true" showResetIcon="true" filename="blank.ggb" /> | |||
</div> | </div> | ||
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Das ''' | {{Lösung versteckt|{{Lösung| | ||
Es gilt die '''Faktorregel für Integrale''': <br> | |||
<math> | |||
\int\limits_a^b c \cdot f(x) \ \mathrm{d}x = c \cdot \int\limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x | |||
</math>. <br> | |||
Das Integral eines Produktes aus einem konstanten Faktor und einer Funktion ist gleich dem Produkt des konstanten Faktors und des Integrals der Funktion. | |||
}}}} | |||
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{{Aufgaben-M|15| | |||
Führe wieder die Plausbilitätsüberlegungen zur Lösung von Aufgabe 14! | |||
# Begründe anschaulich anhand der geometrischen Zusammenhänge! | |||
# Begründe anhand der Rechengesetze für Grenzwerte! | |||
}} | |||
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{{Lösung versteckt|{{Lösung| | |||
# Die Funktionswerte der Funktion <math>f(x)</math> werden mit dem konstanten Faktor <math>c</math> gestreckt. Somit werden auch die Flächeninhalte zwischen dem Graphen von <math>f(x)</math> und der x-Achse mit dem konstanten Faktor <math>c</math> gestreckt. | |||
# Der Grenzwert eines Produkts aus einem konstanten Faktor und einer Funktion ist gleich dem Produkt des Faktors und des Grenzwertes, falls dieser existiert: <math>\lim_{\Delta x \to 0} \ \sum_{i=0}^{\infty} c \cdot f(x_i) \cdot \Delta x = \lim_{\Delta x \to 0} \ c \cdot \sum_{i=0}^{\infty} f(x_i) \cdot \Delta x = c \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \ \sum_{i=0}^{\infty} f(x_i) \cdot \Delta x</math> | |||
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Bemerkung: Das erste Gleichheitszeichen gilt aufgrund des Distributivgesetzes, das zweite aufgrund der Grenzwertsätze. | |||
}}}} | |||
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{{Aufgaben-M|16| | |||
# Arbeite zunächst im Buch S. 61 durch und überzeuge Dich dann von der Gültigkeit der '''Definition 1''' bzw. der '''allgemeinen Regel über die Intervalladditivität''' mit Hilfe von Geogebra, indem Du Funktionen <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> sowie Grenzen <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> so wählst, dass die Zusammenhänge ersichtlich werden! | |||
# Beschreibe Deine Vorgehensweise in 1. Schritt für Schritt in kurzen Stichpunkten! | |||
}} | |||
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{{Lösung versteckt|{{Lösung| | |||
# Individuelle Lösung. | |||
# Eine Lösung könnte beispielsweise folgendermaßen aussehen: | |||
## Definiere in Geogebra zwei beliebige Funktionen <math>f</math> und <math>g</math>. | |||
## Definiere beliebige Intervallgrenzen <math>a, \ b \ \mathrm{und} \ c</math>. | |||
## Verschiebe die Intervallgrenzen und beobachte die Werte der Integrale bzw. des Integrals. | |||
## Erkenne, dass ... | |||
}}}} | |||
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[[Benutzer:Dickesen/Integral9|<<Zurück<<]] [[Benutzer:Dickesen|Home]] [[Benutzer:Dickesen/Integral11|>>Weiter>>]] | |||
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INHALT= | |||
= | [[Benutzer:Dickesen|Home]] | | ||
[[Benutzer:Dickesen/Integral|Einführendes Beispiel]] | [[Benutzer:Dickesen/Integral2|Vorüberlegungen]] | | |||
[[Benutzer:Dickesen/Integral3|Ober- und Untersumme]] | | |||
[[Benutzer:Dickesen/Integral4|Flächen bestimmen]] | | |||
[[Benutzer:Dickesen/Integral5|Bestimmtes Integral]] | | |||
[[Benutzer:Dickesen/Integral6|Flächeninhaltsfunktion]] | | |||
[[Benutzer:Dickesen/Integral6a|Bestimmung der Flächeninhaltsfunktion]] | | |||
[[Benutzer:Dickesen/Integral7|Stammfunktion]] | | |||
| | [[Benutzer:Dickesen/Integral8|Aufgaben]] | | ||
[[Benutzer:Dickesen/Integral9|Hauptsatz]] | |||
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Version vom 19. November 2009, 15:42 Uhr
Integrationsregeln
Im Folgenden wirst Du einige elementare Integrationsregeln kennenlernen, die Du beim Integrieren ständig benötigen wirst.
Vorlage:Aufgaben-M
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