Daten erfassen und auswerten: Unterschied zwischen den Versionen

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(Möglichkeit 3: Verdeutlichung anhand der bedingten Wahrscheinlichkeit)
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====Das Bayes-Theorem====
 
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: <math>P\left(A\mid B\right) \; = \; \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \; = \; \frac{\frac{P(A\cap B)}{P(A)} \cdot P(A)}{P(B)} \; = \; \frac{P\left(B\mid A\right)\cdot P(A)}{P\left(B\right)}</math>}}
  
 
=Auswerten von Diagrammen=
 
=Auswerten von Diagrammen=

Version vom 21. Dezember 2011, 16:10 Uhr

In diesem Kapitel sollen zu drei Teilgebieten der Stochastik in der Sekundarstufe I "Daten erfassen und auswerten", "Auswerten von Diagrammen" und "alternative Diagrammformen" Möglichkeiten der Behandlung im Unterricht gegeben werden.

Inhaltsverzeichnis

Kompetenzerwartungen

am Ende der 6. Klasse:

Die Schülerinnen und Schüler

  • erheben Daten und fassen sie in Ur- und Strichlisten zusammen
  • stellen Häufigkeitstabellen zusammen und veranschaulichen diese mithilfe von Säulen- und Kreisdiagrammen
  • bestimmen relatvie Häufigkeiten, arithmetisches Mittel und Median
  • lesen und interpretieren statistische Darstellungen

am Ende der 8. Klasse:

Die Schülerinnen und Schüler

  • planen Datenerhebungen, führen sie durch und nutzen zur Erfassung auch eine Tabellenkalkulation
  • veranschaulichen ein- und zweistufige Zufallsexperimente mithilfe von Baumdiagrammen
  • nutzen Median, Spannweite und Quartile zur Darstellung von Häufigkeitsverteilungen als Boxplots
  • benutzen relative Häufigkeiten von langen Versuchsreihen zur Schätzung von Wahrscheinlichkeiten
  • verwenden ein- oder zweistufige Zufallsversuche zur Darstellung zufälliger Erscheinungen in alltäglichen Situationen
  • bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei einstufigen Zufallsexperimenten mithilfe der Laplace-Regel
  • bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei zweistufigen Zufallsexperimenten mithilfe der Pfadregeln
  • interpretieren Spannweite und Quartile in statistischen Darstellungen

am Ende der 9. Klasse

Die Schülerinnen und Schüler

  • analysieren grafische statistische Darstellungen kritisch und erkennen Manipulationen
  • nutzen Wahrscheinlichkeiten zur Beurteilung von Chancen und Risiken und Schätzung von Häufigkeiten

Daten erfassen und auswerten - Das Ziegenproblem

Was ist das Ziegenproblem?

Das Problem wurde 1990 in seiner bekannten Form in Marilyn vos Savants „Ask Marilyn“-Kolumne im 'Parade Magazine' publiziert und basierte auf einem Leserbrief, den vos Savant von Craig F. Whitaker aus Columbia, Maryland erhalten hatte.

„Nehmen Sie an, Sie wären in einer Spielshow und hätten die Wahl zwischen drei Toren. Hinter einem der Tore ist ein Auto, hinter den anderen sind Ziegen. Sie wählen ein Tor, sagen wir, Tor Nummer 1, und der Showmaster, der weiß, was hinter den Toren ist, öffnet ein anderes Tor, sagen wir, Nummer 3, hinter dem eine Ziege steht. Er fragt Sie nun: 'Möchten Sie das Tor Nummer 2?' Ist es von Vorteil, die Wahl des Tores zu ändern?"

Wir haben also folgende Gegebenheiten: 1 Moderator, 1 Gast, 3 Türen und 2 Ziegen und 1 Auto hinter diesen Türen verteilt Gesucht ist das Auto und es gelten folgende Regeln: 1. Der Gast wählt eine Tür 2. Der Moderator öffnet eine andere Tür, hinter der eine Ziege ist 3. Der Moderator fragt den Gast, ob er die andere Tür wählen will

Frage: Was sollte der Gast nun tun?

Vorschlag für eine Einführung im Unterricht

Der Lehrer sollte das Ziegenproblem vorstellen und mit den Schülerinnen und Schülern die Frage, was der Kandidat tun sollte, diskutieren.

Im Folgenden sollen die Schüler das Problem in Zweiergruppen selbst mehrfach nachspielen.

Aufgabenstellung

Stift.gif   Aufgabe

Das Ziegenproblem

Führt die Situation zweimal mit einem Partner 30-fach durch, das eine Mal ohne einen Wechsel, das andere Mal mit einem Wechsel der Tore. Notiert euch Eure Ergebnisse und berechnet jeweils den prozentualen Anteil der Spiele, in denen ihr das Auto gewonnen habt.

beispielhafte Lösung

weiteres Vorgehen

Im Folgenden soll probiert werden dieses (vermutlich für die meisten überraschende) Ergebnis zu erklären. Hierfür bieten sich verschiedene Möglichkeiten an.

Möglichkeit 1: Verdeutlichung anhand einer Tabelle

Die Schülerinnen und Schüler sollen alle Möglichkeiten des Spiels mit Wechsel und ohne Wechsel durchspielen und dies in einer Tabelle festhalten.

Man kann sich hierzu zunächst Folgendes überlegen:

- Der Kandidat wählt Tor 1. In diesem befindet sich das Auto. Der Moderator öffnet Tor 2 oder 3. Was passiert bei (k)einem Wechsel?

- Der Kandidat wählt Tor 1. In diesem befindet sich eine Ziege. Der Moderator öffnet das Tor, in dem eine weitere Ziege ist. Was passiert bei (k)einem Wechsel?

- ...

Dies muss man nun nur noch sinnvoll in eine Tabelle übertragen.


Möglichkeit 2: Verdeutlichung anhand eines Baumdiagramms

Die Schülerinnen und Schüler sollen sich überlegen, wie die Situation in einem Spiel in einem Baumdiagramm dargestellt werden kann.

Hierfür ist es hilfreich sich vorzustellen, dass der Kandidat bereits ein Tor gewählt hat und erst dann die Wahrscheinlichkeiten dafür zu berechnen, ob er das Auto gewinnt oder nicht. Dies verändert nichts an der Situation, da die Ziegen und das Auto zufällig hinter den drei Toren verteilt wurden.


Möglichkeit 3: Verdeutlichung anhand der bedingten Wahrscheinlichkeit

Es ist natürlich auch möglich, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Kandidat gewinnt, wenn er eins der drei Tore gewählt hat, zu berechnen. Man benötigt hierfür eine Folgerung der bedingten Wahrscheintlichkeit, das Bayes-Theorem.

Das Bayes-Theorem

Maehnrot.jpg
Merke:

Für zwei Ereignisse A und B mit P(B) > 0 lautet die bedingte Wahrscheinlichkeit

P(A|B) \; = \; \frac {P(B|A) \cdot P(A)} {P(B)}.

Hierbei ist

P(A) die A-priori-Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis A und
P(B|A) die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis B unter der Bedingung, dass A eingetreten ist und
P(B) die A-priori-Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis B


Der Satz folgt unmittelbar aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit:

P\left(A\mid B\right) \; = \; \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \; = \; \frac{\frac{P(A\cap B)}{P(A)} \cdot P(A)}{P(B)} \; = \; \frac{P\left(B\mid A\right)\cdot P(A)}{P\left(B\right)}

Auswerten von Diagrammen

alternative Diagrammformen

Quellen