Vergleich verschiedener Wachstumsarten: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 9. Juni 2009, 00:56 Uhr

Vorwort

Diese Seite dient nicht der Einführung der unterschiedlichen Wachstumsarten, sondern ihrem Vergleich untereinander anhand einer Beispielaufgabe. Dieser Vergleich soll größtenteils durch Diskussion der Schülerinnen und Schülern (SuS) untereinander stattfinden. Trotzdem werden am Anfang kurz die verschiedenen Wachstumsarten vorgestellt.

Was ist Wachstum?

Vor dem Einstieg in die Unterrichtsreihe "Vergleich verschiedener Wachstumsarten", sollte in einem Unterrichtsgespräch mit den SuS der Begriff Wachstum wiederholt bzw. erläutert werden.

Als Wachstum bezeichnet man den zeitlichen Anstieg einer bestimmten Messgröße.

Erst dann kommt es zur Frage nach den unterschiedlichen Wachstumsarten.

Wachstumsarten

Zu unterscheiden gibt es vier Typen von Wachstum:

Lineares Wachstum

Lineares Wachstum wird auch als gleichmäßiges Wachstum bezeichnet.

Es wird durch eine Lineare Funktion:
f(x)=mx+b
beschrieben, wobei b der Anfangswert und m die Wachstumsrate ist.

Ein von den SuS leicht zu erstellendes Bespiel wäre:

Exponentielles Wachstum

Bei exponentiellem Wachstum ist die momentane Wachstumsgeschwindigkeit f'(x) proportional zum Bestand f(x).

f'(x)=c f(x)

Die Lösung dieser DGL ist gegeben durch:

f(x)=a exp(cx)

wobei a=f(0) der Anfangswert und c eine Konstante ist.

Eine von den SuS erstellte Funktion könnte z.B. so aussehen:

Beschränktes Wachstum

Beim beschränkte Wachstum ist die momentane Wachstumsgeschwindigkeit f'(x) proportional zum Sättigungsmanko (K-f(x))

f'(x)=c (K-f(x))

Die Lösung dieser DGL ist gegeben durch:

f(x)=K-(K-a)

wobei K die Kapazität ist die den Wachstum beschränkt, a=f(0) der Anfangswert und c eine Konstante ist. Eine von den SuS mit dem Rechner aufgestellte Funktion könnte dann so aussehen:

Logistisches Wachstum

Beim logistischen Wachstum ist die momentane Wachstumsgeschwindigkeit f'(x) proportional zum Produkt aus Bestand f(x) und Sättigungsmanko (K-f(x)).

f'(x)=c (f(x) (K-f(x)))

Die Lösung dieser DGL ist gegeben durch:

f(x)=

wobei K die Kapazität ist die den Wachstum beschränkt, a=f(0) der Anfangswert und c eine Konstante ist.

Von den SuS mit dem Rechner erstellt könnte das so aussehen:

Aufgabe zur Schweinegrippe

Schaut euch gemeinsam die vorliegenden Daten an und besprecht in der Gruppe, um was für ein Wachstum es sich euer Meinung nach handeln könnte.

Folgende Fragen können euch hierbei als Leitfaden helfen:

• Welche Wachstumsarten kennen wir und wie werden diese charakterisiert?
• Welche Faktoren könnten bei dem vorliegendem Wachstum eine Rolle spielen?
• Kann man den Wachstum graphisch darstellen?
• Gebt eine Prognosen zum Verlauf der Krankheit.
• Wir werden in einigen Wochen die Möglichkeit haben unsere Ergebnisse zu kontollieren.

Hier einige Daten zur Schweinegrippe:

Die Angaben berufen sich auf Artikel der Ärztezeitung und sind als weltweite Angaben zu sehen.

Lösungsvorschlag

Zum Anfang können die Werte der Tabelle in [ c,3 ]Lists&Spreadsheet übernommen werden um eine generelle graphische Vorstellung von den Daten zu bekommen.

Über die Applikation: Data&Statistics [ c,5 ] lassen sich die Werte graphisch darstellen:

Auf den ersten Blick scheint der Wachstum linear zu sein.

Zum genaueren Betrachten nimmt man sich nun einen einzelnen Graphen heraus. Mit [ b,4,4 ] kann nun eine Funktion erstellt werden und über [ b,3,4 ] mit Schiebereglern verändert werden.
Wie gut die Funktion den Graphen fittet kann man mit [ b,4,7 ] den Residuen die Abstände der Punkte von der Funktion anzeigen.

Hier beispielhaft an den Infektionen in Europa vorgestellt:

Hier wurde exponentielles Wachstum vermutet und mit der oben vorgestellten Funktion: f(x)=a exp(cx) und den Schiebereglern angenähert. Zur Diskussion bliebe, ob diese Funktion tatsächlich optimal ist oder eher doch eine andere Wachstumsfunktion dem Graphen besser angefittet werden könnte. Was hieße exponentielles Wachstum für die Ausbreitung der Krankheit?

Anzumerken wäre, dass bei den Werten noch keine Sättigung eingetreten zu seinen scheint, sich die Krankheit also noch in der Ausbreitungsphase befindet. Es scheint am sinnvollsten, sich das Land anzuschauen, wo die Krankheit ausgebrochen ist und daher auch schon am längsten gewütet hat. Daher wollen wir nun am Beispiel von Mexiko prüfen ob eventuell auch beschränktes Wachstum oder logistisches Wachstum in Frage kommt. Für das überleben der Menschheit wäre dies zumindest wünschenswert.

Hier beispielhaft für logistisches Wachstum:

Natürlich hängt das Wachstum bzw. die Ausbreitung einer Krankheit von viel mehr Faktoren ab als wir sie hier auch nur ansatzweise berücksichtigen könnten, doch ist es für die Schüler sicherlich interessant auf diese Weise eine Art Prognose abgeben zu können.

Notwendige Voraussetzungen

• Kennen Funktionen, Ableitungen und deren Bedeutung.
• Kennen die unterschiedlichen Wachstumsarten.
• Können mit dem Taschenrechner umgehen, speziell mit Tabellen und deren graphische Auswertung.

Bezug zum Lehrplan

Prozessbezogene Kompetenzen:

Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche:

Didaktischer Kommentar