Vergleich verschiedener Wachstumsarten: Unterschied zwischen den Versionen

aus ZUM-Wiki, dem Wiki für Lehr- und Lerninhalte auf ZUM.de
Wechseln zu: Navigation, Suche
(Aufgabe zur Schweinegrippe)
(Notwendige Voraussetzungen)
Zeile 137: Zeile 137:
  
 
==Notwendige Voraussetzungen==
 
==Notwendige Voraussetzungen==
 +
*Kennen Funktionen, Ableitungen und deren Bedeutung.
 +
*Kennen die unterschiedlichen Wachstumsarten.
 +
*Können mit dem Taschenrechner umgehen, speziell mit Tabellen und deren graphische Auswertung.
  
 
==Bezug zum Lehrplan==
 
==Bezug zum Lehrplan==

Version vom 9. Juni 2009, 00:56 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Vorwort

Diese Seite dient nicht der Einführung der unterschiedlichen Wachstumsarten, sondern ihrem Vergleich untereinander anhand einer Beispielaufgabe. Dieser Vergleich soll größtenteils durch Diskussion der Schülerinnen und Schülern (SuS) untereinander stattfinden. Trotzdem werden am Anfang kurz die verschiedenen Wachstumsarten vorgestellt.

Was ist Wachstum?

Vor dem Einstieg in die Unterrichtsreihe "Vergleich verschiedener Wachstumsarten", sollte in einem Unterrichtsgespräch mit den SuS der Begriff Wachstum wiederholt bzw. erläutert werden.

Als Wachstum bezeichnet man den zeitlichen Anstieg einer bestimmten Messgröße.

Erst dann kommt es zur Frage nach den unterschiedlichen Wachstumsarten.

Wachstumsarten

Zu unterscheiden gibt es vier Typen von Wachstum:

Lineares Wachstum

Lineares Wachstum wird auch als gleichmäßiges Wachstum bezeichnet.

Es wird durch eine Lineare Funktion:
f(x)=mx+b
beschrieben, wobei b der Anfangswert und m die Wachstumsrate ist.

Ein von den SuS leicht zu erstellendes Bespiel wäre:

LinWachs.jpg

Exponentielles Wachstum

Bei exponentiellem Wachstum ist die momentane Wachstumsgeschwindigkeit f'(x) proportional zum Bestand f(x).

\Rightarrow f'(x)=c \cdot f(x)

Die Lösung dieser DGL ist gegeben durch:

f(x)=a \cdot exp(cx)

wobei a=f(0) der Anfangswert und c eine Konstante ist.

Eine von den SuS erstellte Funktion könnte z.B. so aussehen:

ExpWachs.jpg

Beschränktes Wachstum

Beim beschränkte Wachstum ist die momentane Wachstumsgeschwindigkeit f'(x) proportional zum Sättigungsmanko (K-f(x))

\Rightarrow f'(x)=c \cdot (K-f(x))

Die Lösung dieser DGL ist gegeben durch:

f(x)=K-(K-a) \cdot exp(-cx)

wobei K die Kapazität ist die den Wachstum beschränkt, a=f(0) der Anfangswert und c eine Konstante ist. Eine von den SuS mit dem Rechner aufgestellte Funktion könnte dann so aussehen:

BeschWachs.jpg

Logistisches Wachstum

Beim logistischen Wachstum ist die momentane Wachstumsgeschwindigkeit f'(x) proportional zum Produkt aus Bestand f(x) und Sättigungsmanko (K-f(x)).

\Rightarrow f'(x)=c \cdot (f(x) \cdot (K-f(x)))

Die Lösung dieser DGL ist gegeben durch:

f(x)=\frac{aK }{a+(K-a)exp(-cKx)}

wobei K die Kapazität ist die den Wachstum beschränkt, a=f(0) der Anfangswert und c eine Konstante ist.

Von den SuS mit dem Rechner erstellt könnte das so aussehen:

LogiWachs.jpg

Aufgabe zur Schweinegrippe

Schaut euch gemeinsam die vorliegenden Daten an und besprecht in der Gruppe, um was für ein Wachstum es sich euer Meinung nach handeln könnte.

Folgende Fragen können euch hierbei als Leitfaden helfen:

  • Welche Wachstumsarten kennen wir und wie werden diese charakterisiert?
  • Welche Faktoren könnten bei dem vorliegendem Wachstum eine Rolle spielen?
  • Kann man den Wachstum graphisch darstellen?
  • Gebt eine Prognosen zum Verlauf der Krankheit.
  • Wir werden in einigen Wochen die Möglichkeit haben unsere Ergebnisse zu kontollieren.


Hier einige Daten zur Schweinegrippe:

Die Angaben berufen sich auf Artikel der Ärztezeitung und sind als weltweite Angaben zu sehen.

Datum Infizierte weltweit Infizierte in Europa Infizierte in Mexiko Infizierte in den USA
30.04.2009 236 27 - -
03.05.2009 782 51 476 160
08.05.2009 2496 157 1204 896
11.05.2009 5134 197 2064 2532
14.05.2009 6497 222 2446 3352
20.05.2009 10215 276 3648 5569
22.05.2009 11173 297 3892 5764
27.05.2009 13000 390 4541 6764
04.06.2009 19301 711 5563 10054
08.06.2009 25664 1077 5717 13219

Lösungsvorschlag

Zum Anfang können die Werte der Tabelle in [ c,3 ]Lists&Spreadsheet übernommen werden um eine generelle graphische Vorstellung von den Daten zu bekommen.

List.jpg

Über die Applikation: Data&Statistics [ c,5 ] lassen sich die Werte graphisch darstellen:

Graphalle.jpg

Auf den ersten Blick scheint der Wachstum linear zu sein.

Zum genaueren Betrachten nimmt man sich nun einen einzelnen Graphen heraus. Mit [ b,4,4 ] kann nun eine Funktion erstellt werden und über [ b,3,4 ] mit Schiebereglern verändert werden.
Wie gut die Funktion den Graphen fittet kann man mit [ b,4,7 ] den Residuen die Abstände der Punkte von der Funktion anzeigen.

Hier beispielhaft an den Infektionen in Europa vorgestellt:

BeispielEuropa.jpg

Hier wurde exponentielles Wachstum vermutet und mit der oben vorgestellten Funktion: f(x)=a \cdot exp(cx) und den Schiebereglern angenähert. Zur Diskussion bliebe, ob diese Funktion tatsächlich optimal ist oder eher doch eine andere Wachstumsfunktion dem Graphen besser angefittet werden könnte. Was hieße exponentielles Wachstum für die Ausbreitung der Krankheit?

Anzumerken wäre, dass bei den Werten noch keine Sättigung eingetreten zu seinen scheint, sich die Krankheit also noch in der Ausbreitungsphase befindet. Es scheint am sinnvollsten, sich das Land anzuschauen, wo die Krankheit ausgebrochen ist und daher auch schon am längsten gewütet hat. Daher wollen wir nun am Beispiel von Mexiko prüfen ob eventuell auch beschränktes Wachstum oder logistisches Wachstum in Frage kommt. Für das überleben der Menschheit wäre dies zumindest wünschenswert.

Hier beispielhaft für logistisches Wachstum:

LogiMex.jpg

Natürlich hängt das Wachstum bzw. die Ausbreitung einer Krankheit von viel mehr Faktoren ab als wir sie hier auch nur ansatzweise berücksichtigen könnten, doch ist es für die Schüler sicherlich interessant auf diese Weise eine Art Prognose abgeben zu können.

Notwendige Voraussetzungen

  • Kennen Funktionen, Ableitungen und deren Bedeutung.
  • Kennen die unterschiedlichen Wachstumsarten.
  • Können mit dem Taschenrechner umgehen, speziell mit Tabellen und deren graphische Auswertung.

Bezug zum Lehrplan

Prozessbezogene Kompetenzen:

Begriffsbilden Argumentieren Problemlösen Modellieren Gesellschaft Werkzeuge
Strukturieren
Vernetzen
Darstellen
Verbalisieren
Bewerten
Begründen
Erkunden
Lösen
Reflektieren
Strukturieren
Mathematisieren
Beurteilen
Erkunden
Berechnen

Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche:

Algebra Funktionen
Darstellen
Interpretieren
Anwenden

Didaktischer Kommentar