Vergleich verschiedener Wachstumsarten

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Inhaltsverzeichnis

Vorwort

Diese Seite dient nicht der Einführung der unterschiedlichen Wachstumsarten, sondern ihrem Vergleich untereinander anhand einer Beispielaufgabe. Trotzdem werden am Anfang kurz die verschiedenen Wachstumsarten vorgestellt.

Was ist Wachstum?

Vor dem Einstieg in die Unterrichtsreihe "Vergleich verschiedener Wachstumsarten", sollte in einem Unterrichtsgespräch mit den Schülerinnen und Schülern (SuS) der Begriff Wachstum wiederholt bzw. erläutert werden.
Als Wachstum bezeichnet man den zeitlichen Anstieg einer bestimmten Messgröße.
Erst dann kommt es zur Frage nach den unterschiedlichen Wachstumsarten.

Wachstumsarten

Zu unterscheiden gibt es vier Typen von Wachstum:

Lineares Wachstum

Lineares Wachstum wird auch als gleichmäßiges Wachstum bezeichnet.
Es wird durch eine Lineare Funktion:
f(x)=mx+b
beschrieben, wobei b der Anfangswert und m die Wachstumsrate ist.
Ein von den SuS leicht zu erstellendes Bespiel wäre:

LinWachs.jpg

Exponentielles Wachstum

Bei exponentiellem Wachstum ist die momentane Wachstumsgeschwindigkeit f'(x) proportional zum Bestand f(x).
\Rightarrow f'(x)=c \cdot f(x)
Die Lösung dieser DGL ist gegeben durch:
f(x)=a \cdot exp(cx)
wobei a=f(0) der Anfangswert und c eine Konstante ist.
Eine von den SuS erstellte Funktion könnte z.B. so aussehen:

ExpWachs.jpg

Beschränktes Wachstum

Beim beschränkte Wachstum ist die momentane Wachstumsgeschwindigkeit f'(x) proportional zum Sättigungsmanko (K-f(x))
\Rightarrow f'(x)=c \cdot (K-f(x))
Die Lösung dieser DGL ist gegeben durch:
f(x)=K-(K-a) \cdot exp(-cx)
wobei K die Kapazität ist die den Wachstum beschränkt, a=f(0) der Anfangswert und c eine Konstante ist. Eine von den SuS mit dem Rechner aufgestellte Funktion könnte dann so aussehen:

BeschWachs.jpg

Logistisches Wachstum

Beim logistischen Wachstum ist die momentane Wachstumsgeschwindigkeit f'(x) proportional zum Produkt aus Bestand f(x) und Sättigungsmanko (K-f(x)).
\Rightarrow f'(x)=c \cdot (f(x) \cdot (K-f(x)))
Die Lösung dieser DGL ist gegeben durch:
f(x)=\frac{aK }{a+K-(K-a)exp(-cKx)}
wobei K die Kapazität ist die den Wachstum beschränkt, a=f(0) der Anfangswert und c eine Konstante ist.
Von den SuS mit dem Rechner erstellt könnte das so aussehen:

LogiWachs.jpg