Vergleich verschiedener Wachstumsarten

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Kurzinfo
Vorlage:Kurzinfo Nspire

Diese Seite dient nicht der Einführung der unterschiedlichen Wachstumsarten, sondern ihrem Vergleich untereinander anhand einer Beispielaufgabe. Dieser Vergleich soll größtenteils durch Diskussion der Schülerinnen und Schülern (SuS) untereinander stattfinden.

Trotzdem werden am Anfang kurz die verschiedenen Wachstumsarten vorgestellt.

Inhaltsverzeichnis

Was ist Wachstum?

Vor dem Einstieg in die Unterrichtsreihe "Vergleich verschiedener Wachstumsarten", sollte in einem Unterrichtsgespräch mit den SuS der Begriff Wachstum kurz wiederholt bzw. erläutert werden.

Definition

Als Wachstum bezeichnet man den zeitlichen Anstieg einer bestimmten Messgröße.

Erst dann kommt es zur Frage nach den unterschiedlichen Wachstumsarten.

Vier Wachstumsarten

Lineares Wachstum

Lineares Wachstum wird auch als gleichmäßiges Wachstum bezeichnet.

Es wird durch eine Lineare Funktion:
f(x)=mx+b
beschrieben, wobei b der Anfangswert und m die Wachstumsrate ist.

Ein von den SuS leicht zu erstellendes Bespiel wäre:

LinWachs.jpg

Exponentielles Wachstum

Bei exponentiellem Wachstum ist die momentane Wachstumsgeschwindigkeit f'(x) proportional zum Bestand f(x).

\Rightarrow f'(x)=c \cdot f(x)

Die Lösung dieser DGL ist gegeben durch:

f(x)=a \cdot exp(cx)

wobei a=f(0) der Anfangswert und c eine Konstante ist.

Eine von den SuS erstellte Funktion könnte z.B. so aussehen:

ExpWachs.jpg

Beschränktes Wachstum

Beim beschränkte Wachstum ist die momentane Wachstumsgeschwindigkeit f'(x) proportional zum Sättigungsmanko (K-f(x))

\Rightarrow f'(x)=c \cdot (K-f(x))

Die Lösung dieser DGL ist gegeben durch:

f(x)=K-(K-a) \cdot exp(-cx)

wobei K die Kapazität ist die den Wachstum beschränkt, a=f(0) der Anfangswert und c eine Konstante ist. Eine von den SuS mit dem Rechner aufgestellte Funktion könnte dann so aussehen:

BeschWachs.jpg

Logistisches Wachstum

Beim logistischen Wachstum ist die momentane Wachstumsgeschwindigkeit f'(x) proportional zum Produkt aus Bestand f(x) und Sättigungsmanko (K-f(x)).

\Rightarrow f'(x)=c \cdot (f(x) \cdot (K-f(x)))

Die Lösung dieser DGL ist gegeben durch:

f(x)=\frac{aK }{a+(K-a)exp(-cKx)}

wobei K die Kapazität ist die den Wachstum beschränkt, a=f(0) der Anfangswert und c eine Konstante ist.

Von den SuS mit dem Rechner erstellt könnte dies dann so aussehen:

LogiWachs.jpg

Aufgabe zur Schweinegrippe

Stift.gif   Aufgabe

Schaut euch gemeinsam die vorliegenden Daten an und besprecht in der Gruppe, um was für ein Wachstum es sich euer Meinung nach handeln könnte.

Folgende Fragen können euch hierbei als Leitfaden helfen:

  • Welche Wachstumsarten kennen wir und wie werden diese charakterisiert?
  • Welche Faktoren könnten bei dem vorliegendem Wachstum eine Rolle spielen?
  • Kann man den Wachstum graphisch darstellen?
  • Gebt eine Prognosen zum Verlauf der Krankheit.
  • Wir werden in einigen Wochen die Möglichkeit haben unsere Ergebnisse zu kontollieren.


Hier einige Daten zur Schweinegrippe:

Die Angaben berufen sich auf Artikel der Ärztezeitung und sind als weltweite Angaben zu sehen.

Datum Infizierte weltweit Infizierte in Europa Infizierte in Mexiko Infizierte in den USA
30.04.2009 236 27 - -
03.05.2009 782 51 476 160
08.05.2009 2496 157 1204 896
11.05.2009 5134 197 2064 2532
14.05.2009 6497 222 2446 3352
20.05.2009 10215 276 3648 5569
22.05.2009 11173 297 3892 5764
27.05.2009 13000 390 4541 6764
04.06.2009 19301 711 5563 10054
09.06.2009 26035 1164 5717 13217

Hier die Tabelle nochmal als Datei:TabelleSchweinegrippe.tns für den TI-Nspire CAS zum runterladen.

Lösungsvorschlag

Information icon.svg Lösung

Manuelles Eingeben der Funktionen mit Schiebereglern

Zum Anfang können die Werte der Tabelle in [ c,3 ]Lists&Spreadsheet übernommen werden.

List.jpg

Über die Applikation: Data&Statistics [ c,5 ] lassen sich die Werte graphisch darstellen:

Graphalle.jpg

Auf den ersten Blick scheint der Wachstum linear zu sein.

Zum genaueren Betrachten nimmt man sich nun einen einzelnen Graphen heraus. Mit [ b,4,4 ] kann nun eine Funktion erstellt werden und über [ b,3,4 ] mit Schiebereglern verändert werden.
Wie gut die Funktion den Graphen fittet kann man mit [ b,4,7 ] den Residuen die Abstände der Punkte von der Funktion anzeigen.

Hier beispielhaft an den Infektionen in Europa vorgestellt:

BeispielEuropa.jpg

Hier wurde exponentielles Wachstum vermutet und mit der oben vorgestellten Funktion: f(x)=a \cdot exp(cx) und den Schiebereglern angenähert. Zur Diskussion bliebe, ob diese Funktion tatsächlich optimal ist oder eher doch eine andere Wachstumsfunktion dem Graphen besser angefittet werden könnte. Was hieße exponentielles Wachstum für die Ausbreitung der Krankheit?

Anzumerken wäre, dass bei den Werten noch keine Sättigung eingetreten zu seinen scheint, sich die Krankheit also noch in der Ausbreitungsphase befindet. Es scheint am sinnvollsten, sich das Land anzuschauen, wo die Krankheit ausgebrochen ist und daher auch schon am längsten gewütet hat. Daher wollen wir nun am Beispiel von Mexiko prüfen ob eventuell auch beschränktes Wachstum oder logistisches Wachstum in Frage kommt. Für das überleben der Menschheit wäre dies zumindest wünschenswert.

Hier beispielhaft für logistisches Wachstum:

LogiMex.jpg

Natürlich hängt das Wachstum bzw. die Ausbreitung einer Krankheit von viel mehr Faktoren ab als wir sie hier auch nur ansatzweise berücksichtigen könnten, doch ist es für die Schüler sicherlich interessant auf diese Weise eine Art Prognose abgeben zu können.


Information icon.svg Lösung

Eingeben der Werte und die Funktion erstellen lassen

Zum Anfang können die Werte der Tabelle wieder in [ c,3 ]Lists&Spreadsheet übernommen werden.
Nun kann mit [ b,4,1,1 - F ] eine Regression vom Taschenrechner erstellt werden.


Aufgabe

Stift.gif   Aufgabe

Wie Ihr sicher alle mitbekommen habt, steigt die Zahl der Schweinegrippe Erkrankten immer mehr an. Grade in den Sommerferien haben durch den Tourismus die H1N1 Neuinfektionen rasant zugenommen. Das Robert Koch Institut hat uns für diesen Zeitraum die aktuellen Zahlen über Neuerkrankungen in Deutschland zur verfügung gestellt. In der Tabelle sind die Anzahl der Neuerkrankungen pro Bundesland angegeben, wobei der Zeitraum in Kallenderwochen gegeben ist. Die Tabelle gibt nicht an wieviele Erkrankte es zu einem Zeitpunkt insgesamt gibt, sondern nur die Neuerkrankten in einer Woche!


Schaut euch nun gemeinsam die vorliegenden Daten an und besprecht in der Gruppe, um was für ein Wachstum es sich euer Meinung nach handeln könnte.


Folgende Fragen können euch hierbei als Leitfaden helfen:

  • Welche Wachstumsarten kennen wir und wie werden diese charakterisiert?
  • Ist der oben angesprochene Faktor Sommerferien in den Zahlen wiederzuerkennen?
  • Wie kann man den Wachstum graphisch darstellen?
  • In wiefern sind Vergleiche und Prognosen unter den Bundesländern möglich?


Hier nun die angekündigte Tabelle zur Schweinegrippe:

Lösung

Information icon.svg Lösung

Eingeben der Werte und die Funktion erstellen lassen

Die Zahlen werden in [ c,3 ] Lists&Spreadsheet übernommen. Hierbei muss darauf geachtet werden, dass die Werte von Woche zu Woche aufaddiert werden um jeweils Gesamtwerte zu betrachten.

Bild

Nun kann mit [ b,4,1,1 - F ] eine Regression vom Taschenrechner erstellt werden. Hierbei kann der Schüler seine Vermutungen ausprobieren und z.B. exponentielles oder beschränktes Wachstum plotten lassen.

Bild


Notwendige Voraussetzungen

  • Kennen Funktionen, Ableitungen und deren Bedeutung.
  • Kennen die unterschiedlichen Wachstumsarten.
  • Können mit dem Taschenrechner umgehen, speziell mit Tabellen und deren graphische Auswertung.

Rolle der Technologie

  • Darstellung/ Veranschaulichung/ Visualisierung der gegebenen Werte.
  • Analyse und Auswertung von Graphen mit Hilfe von Funktionen.

Bezug zum Lehrplan

Funktionen sind ein zentrales Mittel zur mathematischen Beschreibung quantitativer Zusammenhänge. Mit ihnen lassen sich Phänomene der Abhängigkeit, der Veränderung, insbesondere des Wachstums erfassen und analysieren.
Ein weitere Aspekt ist das Formulieren und Diskutieren alternativer mathematischer Modellierungen hinsichtlich ihrer Vor- und Nachteile (z. B. Beschreibung von geradlinigen Bewegungen durch lineare Funktionen bzw. durch Vektoren, Modellieren von Wachstumsprozessen durch lineares, polynomiales, exponentielles, begrenztes Wachstum, diskrete und kontinuierliche Modelle für Veränderungsprozesse).

Prozessbezogene Kompetenzen:

Begriffsbilden Argumentieren Problemlösen Modellieren Gesellschaft Werkzeuge
Strukturieren
Vernetzen
Darstellen
Verbalisieren
Bewerten
Begründen
Erkunden
Lösen
Reflektieren
Strukturieren
Mathematisieren
Beurteilen
Erkunden
Berechnen

Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche:

Algebra Funktionen
Darstellen
Interpretieren
Anwenden

Didaktischer Kommentar

Die SuS sollen in dieser Unterrichtseinheit ein Verständnis für die unterschiedlichen Wachstumsarten und deren Bedeutung bekommen. Die Einheit mit Präsentation und Reflexion der Ergebnisse soll ca. 2-3 Stunden in Anspruch nehmen.
Durch das aktuelle Thema und den Realitätsbezug sollen die SuS motiviert werden selbständig eine Theorie zum Wachstum aufzustellen und diese anschließend mit Hilfe des Taschenrechners zu kontrollieren bzw. umzusetzen. Der Taschenrechner dient hier zu Veranschaulichung der Daten und deren Analyse.
Grundsätzlich könnte die Arbeitsphase in 3er-5er Gruppen durchgeführt werden, damit die SuS mögliche unterschiedliche Ansätze diskutieren und besprechen können. Bei der Umsetzung selbst glaube ich kann jeder SuS zumindest die ersten Schritte wie Daten in die Tabelle eingeben und diese graphisch darstellen durchführen. Erst bei dem anschließenden analytischen Teil wird es zu Problemen kommen, wo sich die Gruppenmitglieder aber sicherlich untereinander helfen können.
Ein besonderer Ansporn könnte es sein, dass die SuS ihre Ergebnisse und daraus abgeleitete Prognosen später mit den tatsächlichen Fakten vergleichen können.
Da nicht jede Gruppe jede Wachstumsart behandelt, ist es nötig nachdem die SuS ihre Ergebnisse vorgestellt haben, diese noch mal zu sammeln und nicht benutzte Wachstumsarten nachträglich zu diskutieren.

Quellen