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Inhaltsverzeichnis

Das Heron-Verfahren

Aufgabenstellung für die Schülerinnen und Schüler

„Die Seitenlänge eines Quadrates mit dem Flächeninhalt 2 ist \sqrt{2}“ „Ich kenne ein anderes Verfahren mit dem man die Seitenlänge eines Quadrates mit dem Flächeninhalt 2 berechnen kann: Man beginnt mit einem Rechteck der Breite 2 und der Höhe 1. Dann bildet man den Mittelwert aus Breite und Höhe. Das ist dann die neue Breite. Die neue Höhe erhält man, indem man 2 durch die neue Breite teilt. So entsteht wieder ein Rechteck mit dem Flächeninhalt zwei. Nach 6 Schritten erhält man ein Quadrat mit der Seitenlänge 1,41421356.“ „Aber das ist doch \sqrt{2}.“ „Ich dachte immer, dass \sqrt{2} nicht als Bruch geschrieben werden kann ... ?“

Führe die Rechnungen selbst durch. Kann man entscheiden wer Recht hat? Begründe deine Aussage.

Notwendige Voraussetzungen

Schülerinnen und Schüler

• verfügen über elementare geometrische Kenntnisse.

• nutzen Tabellenkalkulation, Taschenrechner und Funktionenplotter, um innermathematische Probleme zu lösen.

Bezug zum Lehrplan / Kompetenzen, die gefördert werden können

Das Heron-Verfahren kann im Rahmen der Behandlung der Differenzialrechnung ganzrationaler Funktionen (Einführungsphase der gymnasialen Oberstufe) behandelt werden. Besonders betont werden können dabei die folgenden zentralen Ideen:

  • Idee der Zahl
  • Idee des Algorithmus.

Dabei können insbesondere die folgenden Kompetenzen gefördert werden: Schülerinnen und Schüler

  • Argumentieren
  • Kommunizieren


Rolle der Technologie

Die eingesetzte Technologie TI-Nspire(TM) CAS unterstützt insbesondere das

  • Berechnen

Vorschlag zur Umsetzung

Hier angewendet wird das Heronverfahren. Wichtig ist bei den folgenden Schritten darauf zu achten, dass jeweils der richtige Rechenmodus eingestellt ist. In der Kopfzeile erscheint APPRX für Näherungsweises Rechnen, EXAKT für exaktes Rechnen und AUTO, wenn das System selbst entscheidet, ob es exakt oder nur näherungsweise rechnet.

Grenz01.jpg

Im ersten Schritt öffnen Sie eine Applikation Lists & Spreadsheet. In Spalte A werden jeweils die Breiten, in Spalte B die Längen eingetragen. Als Startwerte wählen Sie 2 und 1. In Zelle A2 geben Sie nun die Formel „=(a1+b1)/2“ ein. So wird der Mittelwert der beiden Zahlenwerte berechnet. In Zelle B2 fügen Sie die Formel „=2/a2“ ein. Diese Formeln können nun automatisiert nach unten kopiert werden. Wichtig ist, dass Sie bis maximal Zeile 12 kopieren. Im exakten Modus wird ansonsten eine Fehlermeldung angezeigt, da die Brüche zu umfangreich werden.

Grenz02.jpg

Tatsächlich ergeben es sich bei jedem Rechenschritt Brüche. Diese Brüche mit gewaltigen Zählern und Nennern kann man sich auch exakt anzeigen lassen, in dem man schlicht eine der Zellen auswählt. Dass der Algorithmus nicht abbricht, also Höhe und Breite identisch werden, kann man mit dem Argument begründen, dass Breite und Höhe eines jeden Rechtecks immer wieder eine rationale Zahl sein muss. Schüler in der Oberstufe können Schüler bereits nachrechnen, dass die Seitenlänge eines Quadrates mit dem Flächeninhalt 2 tatsächlich \sqrt{2} sein muss.

Grenz03.jpg

Die Berechnung im APPROX-Modus zeigt, dass der Algorithmus tatsächlich scheinbar abbricht. Ausgegeben wird eine gute Näherung für \sqrt{2}.

Grenz04.jpg

Im Unterricht ist es an dieser Stelle wichtig den Konflikt aufzuzeigen und besonders zu akzentuieren: Zwar kommt man mit dem Algorithmus einer Seitenlänge \sqrt{2} für viele Iterationsschritte beliebig nahe, in diesem Fall erreicht man sie aber nicht. Der Grenzwertbegriff kann an dieser Stelle so gut thematisiert werden. Auch eine „laxe“ aber exakte Verwendung der Limes-Schreibweise scheint angebracht, z. B.: \lim_{n\to\infty} s_n=\sqrt{2}

Didaktischer Kommentar

Der nordrhein-westfälische Lehrplan weist explizit darauf hin, dass der Grenzwertbegriff im Unterricht nicht (mehr) über die universitätslastige Epsilontik eingeführt werden soll: Schüler sollen über einen eher intuitiven, anschaulichen Grenzwertbegriff verfügen.

Eine Schwierigkeit solcher „intuitiven Begriffe“ ist, dass Fehlkonzeptionen nahe liegen: Ein Paradebeispiel ist das „Einsetzen“ von Werten bei der Grenzwertbildung, nachdem man Terme geschickt manipuliert hat. Die explizite Thematisierung von Folgen verschlingt jedoch viel Zeit und steht wohl in keinem angemessenen Verhältnis zum Aufwand. Dieser Vorschlag versucht einen Kompromiss nahe zu legen: An ausgesuchten Beispielen wird das Thema "Folgen und ihre Grenzwerte" behandelt.

Das Heron-Verfahren greift die Vorkenntnisse der Schüler aus der Sekundarstufe I auf: Hier wurde die Irrationalität von \sqrt{2} behandelt. In der Oberstufe erfahren Schülerinnen und Schüler nun, dass eine Folge rationaler Zahlen einen irrationalen Grenzwert haben kann.

Dieses Verständnis muss natürlich noch untermauert werden, z. B. durch eigene Formulierungen zum Grenzwert: "In der Nähe des Grenzwertes liegen alle bis auf endlich viele Folgenglieder."

Ein weiteres Beispiel in diesem Kontext, das im Unterricht gut behandelt werden kann, ist die Frage, ob "0,9999... = 1" ist.