Achsen- und Punktsymmetrie

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Kurzinfo
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Abb.1 :Beispiele der Achsensymmetrie
Abb.2 :Beispiele der Punktsymmetrie

Das Wort „Symmetrie“ kommt ursprünglich aus dem Griechischen und bedeutet allgemein verwendet Gleich- oder Regelmäßigkeit. Das bedeutet, dass mehrere Teile eines Ganzen harmonisch zueinander angeordnet sind. In der Geometrie bedeutet das „die Eigenschaft eines ebenen oder räumlichen, gegebenenfalls aus mehreren Figuren oder Körpern zusammengesetzten Gebildes, so geformt zu sein, dass es durch eine bestimmte Bewegung (Symmetrieoperation) in sich selbst übergeht...“ (vgl. Meyers Neues Lexikon). Die Art der Bewegung bestimmt die Symmetrieart. Handelt es sich um eine Spiegelung, so spricht man von ‚Spiegelsymmetrie’.

Im Falle einer geometrischen Abbildung in der Ebene handelt es sich dann um eine Zuordnung, die jedem Punkt der Ebene genau einen Punkt der Ebene zuordnet, der nicht notwendig vom Ursprungspunkt verschieden sein muss. Man spricht von einer ‚Deckabbildung’, wenn eine geometrische Abbildung eine Figur auf sich selbst abbildet, das heißt mit sich selbst zur Deckung bringt. Wenn es sich dabei um eine ‚Achsenspiegelung’ handelt, spricht man von einer achsensymmetrischen Figur bzw. von einer Achsensymmetrie. Die Spiegelachse dieser Figur heißt ‚Symmetrieachse’. Hat die Figur mehrere Spiegelachsen, wie beispielsweise das Quadrat, welches vier Spiegelachsen besitzt, so ist sie mehrfach achsensymmetrisch.

Genauso wichtig ist eine andere Form der Symmetrie, nämlich die sog. Punktsymmetrie. Ein geometrisches Objekt (z. B. ein Viereck) heißt (in sich) punktsymmetrisch, wenn es eine Punktspiegelung gibt, die dieses Objekt auf sich abbildet. Der Punkt, an dem diese Spiegelung erfolgt, wird als Symmetriezentrum bezeichnet. Obwohl eine solche Punktspiegelung einer Drehung um 180° entspricht, ist die Punktsymmetrie von der Drehsymmetrie zu unterscheiden. Sie bildet lediglich den Spezialfall einer Drehsymmetrie.


In der Theorie der bildenden Kunst, sowohl der Antike als auch der Klassik, wird Symmetrie auch als Proportionalität bezeichnet. Dies meint das proportionale Verhältnis von Teilen einer Figur zueinander, als auch zum Ganzen. Dieses ist in Zahlenverhältnissen konkret mess- und darstellbar. Symmetrie wird als „Ausdruck überzeitlicher, absoluter Schönheit normativ gedeutet.“ Ornamente, Amphoren, Skulpturen, Gebäude und Gebäudeansichten zeugen davon. Einige Beispiele hierzu finden Sie im nachfolgenden Teil.

In der Natur begegnen wir beispielsweise immer wieder symmetrischen Formen, die wir als besonders schön und harmonisch empfinden, wie etwa Kristalle (Edelsteine, Eiskristalle…), Schmetterlinge, Blattformen, Seeigel, Blüten, etc. Aber nicht nur in der Natur begegnen uns symmetrische Formen, sondern auch in unserem restlichen Alltag. Hierzu zählen zum Beispiel einige Buchstaben, einige Verkehrsschilder und andere Gegenstände. Besonders ist auch die mathematische Bedeutung sehr wichtig, da einige Funktionen diese Eigenschaften der Symmetrie aufweisen.



Inhaltsverzeichnis

Aufgabenstellung für die Schülerinnen und Schüler

Abb. 3: Viereck
Abb. 4: Stern und Dreieck
Abb. 5: Figur von Max


(a) Punktsymmetrie (Abb.3)


(i) Spiegele das Viereck an dem Punkt.
(ii) Wie ändert sich das gespiegelte Viereck, wenn der Punkt auf dem gestichelten Pfad variabel ist? Überprüfe dies.



(b) Achsensymmetrie (Abb.4)


(i) Spiegele das folgende Objekt an der angegebenen Gerade.
(ii) Wie könnte man spiegeln, damit ein Quadrat entsteht? Probiere verschiedene Möglichkeiten aus.



(c) Punkt- und Achsensymmetrie (Abb.5)


Max ist ein Schüler in der 7. Klasse. Heute hat der Lehrer früher Schluss gemacht und die Schüler können ausnahmsweise eher nach Hause. Da freut sich Max natürlich besonders. Als er zu Hause ankommt, sieht er im Briefkasten eine Postkarte. Auf der Postkarte ist eine Figur abgebildet. Leider kann Max diese nicht zu einem logischen Bild zuordnen. So entscheidet er sich herauszufinden um welches Bild es sich tatsächlich handeln könnte.
Spiegele das Objekt so, dass du drei unterschiedliche Figuren erhältst.



Notwendige Voraussetzungen

Schülerinnen und Schüler...

  • ...sind allgemein mit geometrischen Vorstellungen vertraut (2D genügen)
  • ...verfügen über elementare geometrische Kenntnisse, insbesondere Punkt- und Achsensymmetrie
  • ...haben umfangreiche Erfahrungen mit der Funktion "Graphs & Geometry" und können mit dem TI-Nspire umgehen



Bezug zum Lehrplan / Kompetenzen, die gefördert werden können

Aus Sicht der an 'SINUS-Transfer NRW Projekt 2' beteiligten Schulen werden zwei Kompetenzbereiche erwähnt, die die "Ergebnisse der aktuellen didaktischen Diskussion mit praktischen Erfahrungen der Lehrerinnen und Lehrer" verknüpfen (siehe Näheres hier). Es handelt sich hierbei um die prozessbezogenen und inhaltsbezogenen Kompetenzbereiche. Diese werden hier mit dem Thema "Achsen- und Punktsymmetrie" verglichen, analysiert und als Vorschlag aufgeführt. Als Ergebnis kann man dann folgende Kompetenzen beschreiben:


Prozessbezogene Kompetenzbereiche:

Begriffsbilden Argumentieren/Bewerten Modellbildung Problemlösen Werkzeuge
visualisieren
darstellen
strukturieren
verbalisieren
überprüfen
strukturieren
Bezug zur Realität
erkunden
lösen
praktische (spielerische) Erkundung


Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche kann man wie folgt darstellen:


Die Schülerinnen und Schüler...

  • ...verwenden die Begriffe punkt- und achsensymmetrisch zur Beschreibung von Objekten (Darstellung, Beschreibung)
  • ...arbeiten mit bekannten Objekten bzw. mathematischen Begriffen und übertragen sie auf Alltagsbeispiele
  • ...führen Punkt- und Achsenspiegelungen durch und müssten zum Teil entscheiden welche Spiegelung am Sinnvollsten ist
  • ...führen einfache Verschiebungen durch (Bewerten, Interpretieren)



Rolle der Technologie

  • Konstruieren bzw. Rekonstruieren von geometrischen Objekten
  • Visualisieren eines praktischen Problems als geometrische Problemstellung auf dem TI-Nspire
  • Nutzung der Dynamisierung durch die Geometriesoftware, z.B. Übertragung auf Alltagsbeispiele



Vorschlag zur Umsetzung

Folgt noch ...