Bestimmung von Pi mit der Monte-Carlo-Methode

{{Kurzinfo-1|Nspire}}

== Thematik ==

Die Kreiszahl <math>\pi</math> kann auf verschiede Weise angenähert werden. Ein besonderer Weg ist die Monte-Carlo-Methode, bei der stochastische Mittel zum Lösen des analytischen Problems benutzt werden. Mithilfe des TI-Nspire lässt sich diese Methode leicht simulieren und visualisieren. Ohne technische Hilfsmittel ist die Monte-Carlo-Methode nur bedingt geeignet, um <math>\pi</math> zu bestimmen, da die Ausführung sehr mühselig und mit einigen Problemen verbunden ist.

Die Basis der Monte-Carlo-Simulation sind Zufallsexperimente, wodurch das Ergebnis sehr abweichen kann. Dieser Fehler kann aber durch wiederholtes Durchführen des Algorithmus minimiert werden. Die Grundlage dieser Methode ist das [http://de.wikipedia.org/wiki/Gesetz_der_gro%C3%9Fen_Zahlen Gesetz der großen Zahlen].                           

== Theoretischer Hintergrund ==
Betrachtet wird ein Einheitsquadrat mit Einheitsviertelkreis, indem n zufällige Punkte erzeugt werden. Dabei verhält sich die Anzahl Punkte im Viertelkreis zur Gesamtanzahl Punkte genauso wie der Flächeninhalt des Viertelkreis zur Quadratfläche:
[[Datei:Kristin.png|thumb|300px|center]]


<math> \frac{\text{Punkte im Viertelkreis}}{\text{Gesamtanzahl Punkte}} = \frac{\text{Flaecheninhalt Viertelkreis}}{\text{Quadratflaeche}} = \frac{\frac{1}{4}\pi r^2}{r^2} = \frac{1}{4}\pi </math>


<math>\pi = 4*\frac{\text{Punkte im Viertelkreis}}{\text{Gesamtanzahl Punkte}}</math>

== Lehrplan / Ideen ==

Folgende zentrale Ideen werden bei der Durchführung dieser Unterrichtsreihe besonders betont:
*Idee des funktionalen Zusammenhangs
*Idee der Wahrscheinlichkeit
*Idee des mathematischen Modellierens
*Idee des Algorithmus

== Notwendige Voraussetzungen ==

Schülerinnen und Schüler
*haben Grundkenntnisse in der Flächenberechnung (Quadrat, Kreis)
*kennen die Formel zur Überprüfung, ob ein Punkt im (Einheits-)kreis liegt
*verfügen über die notwendigen Kenntnisse im Umgang mit dem Taschenrechner TI-Nspire CAS.

== Handlungsorientierter Einstieg ==

=== Aufgabenstellung ===
{{Aufgabe|1=

[[Datei:Monte Carlo Methode.png|thumb|300px|]]

Die Durchführung der Monte-Carlo-Methode per Hand könnte beispielsweise mit Dartpfeilen, Reißzwecken, Erbsen usw. geschehen:

* Wirf - wie auf dem Bild dargestelllt - 36 kleine Nudeln in einen quadratischen Karton.
* Zähle anschließend, wie viele Nudeln innerhalb bzw. außerhalb des Einheitsviertelskreises landen.
* Überlege dir, welche Probleme bei einer derartigen Aufgabenstellung zu Tage treten!}}

'''Beispiel''': ''Beim obigen Bild wurden 36 kleine Nudeln in einem quadratischen Karton geworfen. Dabei landeten 29 Nudeln innerhalb und 7 außerhalb des Einheitsviertelkreis. Rechnerisch ergibt sich damit der folgende Näherungswert für <math>\pi</math>: ''

<math>\pi =4*\frac{29}{36}=3,22</math>

=== Lösung ===

{{Lösung|1=
<popup name="Lösung der dritten Teilaufgabe">

*Wo die Nudeln zum Liegen kommen, ist nicht zu 100% zufällig, wie es bei der Monte-Carlo-Methode verlangt wird.
*Was ist, wenn eine Nudel genau auf der Hälfte liegt?
[[Datei:Monte Carlo.png|200px|center]]
*Da die Monte-Carlo-Methode ein stochastisches Mittel ist, muss sie immer wiederholt werden, um ein gutes Ergebnis zu bekommen. Außerdem müsste die Anzahl der geworfenen Nudeln auch deutlich erhöht werden, wodurch das Zählen sehr mühsam wird.

</popup>
}}
== Aufgaben ==

{{Aufgabe|1=

[[Datei:PI Monte Carlo.tns]]

Erzeuge n zufällige Punkte im Einheitsquadrat und ermittel die Anzahl Punkte k die im Einheitsviertelkreis liegen. Bestimme dann <math>\pi</math> mithilfe der oben erklärten Näherung:                                               

<math>\pi=4*\frac{k}{n}</math>

}}

== Hinweise zum Lösen der Aufgaben ==

*Konstruiere einen Kreisbogen im ersten Quadranten mit Radius 1 und ein Einheitsquadrat mit Seitenlänge 1. 
*Füge den Schieberegler ein, um die Gesamtanzahl der Punkte, die anschließend im Einheitsquadrat liegen sollen, zu variieren. 

<popup name="Lösung 1">
[[Datei:PI 1b.png|thumb|300px|right|]]



*Graphen hinzufügen
*4 Punkte einfügen (1|1),(1|0),(0|0),(0|1).
*Kreisbogen einfügen
*Schieberegler einfügen
*Fenster einstellen 
*Schieberegler einstellen 
*Schieberegler richtig benennen (n), z.B.: Anfangswert 100, Endwert 1000, Schrittweite 50, Stil vertikal, Skala ausblenden, minimieren






</popup>

*Erzeuge nun zufällige Punkte, deren Koordinaten zwischen 0 und 1 liegen.
*Prüfe, ob die Punkte im Kreis liegen.

<popup name="Lösung 2">
*Lists & Spreadsheets hinzufügen
*Mit Hilfe der rand-Funktion können zufällige Zahlen zwischen 0 und 1 erzeugt werden (eine Spalte für die x-Koordinate und eine Spalte für die y-Koordinate. An dieser Stelle muss natürlich der Name des Schieberegler genommen werden, da dieser die Anzahl Punkte beschreibt.
*Mit Hilfe von treffer:=iffn(x^2+y^2≤1,1,0) kann überprüft werden, ob der Punkt im Kreis liegt
[[Datei:PI 2.png|thumb|300px|center|]] 
*Mit Hilfe von countif(treffer,1) werden alle Punkte gezählt die im Kreis liegen
*Nun kann mit der Formel unten im Bild pi berechnet werden. Je nachdem wie man n auf der ersten Seite mit dem Schieberegler wählt, verändert sich sich der Wert für <math>\pi</math>
[[Datei:PI 3.png|thumb|300px|center|]]







</popup>

*Versuche abschließend die zufälligen Punkte im Kreis auf der ersten Seite zu visualisieren und den Wert von <math>\pi</math> direkt auf dieser Seite anzeigen zu lassen.

<popup name="Lösung 3">
[[Datei:PI 4.png|thumb|300px|left|]] 
[[Datei:PI5.png|thumb|300px|right|]]






*Dazu füge hier zuerst p ein, über die Funktion "Berechnen" wird der Wert für <math>\pi</math> angezeigt. Hier muss am besten noch die Anzahl der Nachkommastellen erhöht werden (im Hauptmenu unter "Einstellungen")
*Zur Visualisierung gehe über die untere Betreffzeile und wähle den Grafiktyp "Streudiagramm"








</popup>

== Didaktischer Kommentar ==

Mithilfe dieser Methode lernen SuS das analytische Probleme auch mit stochastischen Mitteln angenähert bzw. gelöst werden. 
Zusätzlich können sie ihre Berechnung auf dieser Weise auch visuell darstellen und es werden keine Programmierkenntnisse benötigt. Lediglich der sichere Umgang mit dem Taschenrechner TI Nspire ist erforderlich. Durch die dynamische Darstellung kann sogar die Anzahl zufälliger Punkte verändert und die Auswirkungen auf die Kreiszahl <math>\pi</math> beobachtet werden.
Als Einführung könnte man eine quadratische Dartscheibe wählen und die SuS Dartpfeile auf diese werfen lassen. Die Punkte dieser Pfeile könnte man als zufällige Punkte im Einheitsquadrat wählen, um <math>\pi</math> anzunähern.

== Literaturverzeichnis ==

http://www.ti-unterrichtsmaterialien.net

http://www.fh-friedberg.de/users/mlutz/JavaKurs/applets/MonteCarloMethode/MonteCarloMethode.htm

http://dennis-koch.de/schule/informatik/refferat/

http://matheplanet.com

http://de.wikipedia.org/wiki/Monte-Carlo-Simulation

http://www.chem.unl.edu/zeng/joy/mclab/mcintro.html


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[[Kategorie:Materialien aus Mathematik-Seminaren]]