Bestimmung von Pi mit der Monte-Carlo-Methode

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Kurzinfo
Vorlage:Kurzinfo Nspire

Inhaltsverzeichnis

Thematik

Die Kreiszahl \pi kann auf verschiede Weise angenähert werden. Ein besonderer Weg ist die Monte-Carlo-Methode, bei der stochastische Mittel zum Lösen des analytischen Problems benutzt werden. Mithilfe des TI-Nspire lässt sich diese Methode leicht simulieren und visualisieren. Ohne technische Hilfsmittel ist die Monte-Carlo-Methode nur bedingt geeignet, um \pi zu bestimmen, da die Ausführung sehr mühselig und mit einigen Problemen verbunden ist.

Die Basis der Monte-Carlo-Simulation sind Zufallsexperimente, wodurch das Ergebnis sehr abweichen kann. Dieser Fehler kann aber durch wiederholtes Durchführen des Algorithmus minimiert werden. Die Grundlage dieser Methode ist das Gesetz der großen Zahlen.

Theoretischer Hintergrund

Betrachtet wird ein Einheitsquadrat mit Einheitsviertelkreis, indem n zufällige Punkte erzeugt werden. Dabei verhält sich die Anzahl Punkte im Viertelkreis zur Gesamtanzahl Punkte genauso wie der Flächeninhalt des Viertelkreis zur Quadratfläche:


 \frac{\text{Punkte im Viertelkreis}}{\text{Gesamtanzahl Punkte}} = \frac{\text{Flaecheninhalt Viertelkreis}}{\text{Quadratflaeche}} = \frac{\frac{1}{4}\pi r^2}{r^2} = \frac{1}{4}\pi


\pi = 4*\frac{\text{Punkte im Viertelkreis}}{\text{Gesamtanzahl Punkte}}

Lehrplan / Ideen

Folgende zentrale Ideen werden bei der Durchführung dieser Unterrichtsreihe besonders betont:

  • Idee des funktionalen Zusammenhangs
  • Idee der Wahrscheinlichkeit
  • Idee des mathematischen Modellierens
  • Idee des Algorithmus

Notwendige Voraussetzungen

Schülerinnen und Schüler

  • haben Grundkenntnisse in der Flächenberechnung (Quadrat, Kreis)
  • kennen die Formel zur Überprüfung, ob ein Punkt im (Einheits-)kreis liegt
  • verfügen über die notwendigen Kenntnisse im Umgang mit dem Taschenrechner TI-Nspire CAS.

Handlungsorientierter Einstieg

Aufgabenstellung

Stift.gif   Aufgabe
Monte Carlo Methode.png

Die Durchführung der Monte-Carlo-Methode per Hand könnte beispielsweise mit Dartpfeilen, Reißzwecken, Erbsen usw. geschehen:

  • Wirf - wie auf dem Bild dargestelllt - 36 kleine Nudeln in einen quadratischen Karton.
  • Zähle anschließend, wie viele Nudeln innerhalb bzw. außerhalb des Einheitsviertelskreises landen.
  • Überlege dir, welche Probleme bei einer derartigen Aufgabenstellung zu Tage treten!

Beispiel: Beim obigen Bild wurden 36 kleine Nudeln in einem quadratischen Karton geworfen. Dabei landeten 29 Nudeln innerhalb und 7 außerhalb des Einheitsviertelkreis. Rechnerisch ergibt sich damit der folgende Näherungswert für \pi:

\pi =4*\frac{29}{36}=3,22

Lösung

Information icon.svg Lösung

Aufgaben

Stift.gif   Aufgabe

Datei:PI Monte Carlo.tns

Erzeuge n zufällige Punkte im Einheitsquadrat und ermittel die Anzahl Punkte k die im Einheitsviertelkreis liegen. Bestimme dann \pi mithilfe der oben erklärten Näherung:

\pi=4*\frac{k}{n}

Hinweise zum Lösen der Aufgaben

  • Konstruiere einen Kreisbogen im ersten Quadranten mit Radius 1 und ein Einheitsquadrat mit Seitenlänge 1.
  • Füge den Schieberegler ein, um die Gesamtanzahl der Punkte, die anschließend im Einheitsquadrat liegen sollen, zu variieren.
  • Erzeuge nun zufällige Punkte, deren Koordinaten zwischen 0 und 1 liegen.
  • Prüfe, ob die Punkte im Kreis liegen.
  • Versuche abschließend die zufälligen Punkte im Kreis auf der ersten Seite zu visualisieren und den Wert von \pi direkt auf dieser Seite anzeigen zu lassen.

Didaktischer Kommentar

Mithilfe dieser Methode lernen SuS, dass analytische Probleme auch mit stochastischen Mitteln angenähert bzw. gelöst werden. Zusätzlich können sie ihre Berechnung auf dieser Weise auch visuell darstellen und es werden keine Programmierkenntnisse benötigt. Lediglich der sichere Umgang mit dem Taschenrechner TI Nspire ist erforderlich. Durch die dynamische Darstellung kann sogar die Anzahl zufälliger Punkte verändert und die Auswirkungen auf die Kreiszahl \pi beobachtet werden. Als Einführung könnte man eine quadratische Dartscheibe wählen und die SuS Dartpfeile auf diese werfen lassen. Die Punkte dieser Pfeile könnte man als zufällige Punkte im Einheitsquadrat wählen, um \pi anzunähern.

Literaturverzeichnis

http://www.ti-unterrichtsmaterialien.net

http://www.fh-friedberg.de/users/mlutz/JavaKurs/applets/MonteCarloMethode/MonteCarloMethode.htm

http://dennis-koch.de/schule/informatik/refferat/

http://matheplanet.com

http://de.wikipedia.org/wiki/Monte-Carlo-Simulation

http://www.chem.unl.edu/zeng/joy/mclab/mcintro.html