Das Stellenwertsystem

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Inhaltsverzeichnis

Lehrplan

Im schulinternen Curriculum , welches sich am NRW-Kernlehrplan Mathematik G8 für Gymnasien orientiert, wird das Thema der Stellenwertsysteme nicht zwingend gefordert. Gerade im Hinblick auf logische Verknüpfungen im Bereich der Informatik und allgemein in der heute allgegenwärtigen elektronischen Datenverarbeitung kann es jedoch sinnvoll sein, Schülerinnen und Schüler bereits frühzeitig mit dem Zweiersystem vertraut zu machen.

Zielgruppe

Die Aufgabenstellungen richten sich an Schülerinnen und Schüler der 5. Klasse des Gymnasiums.

Vorschlag für eine handlungsorientierte Einführung

Um Schülerinnen und Schüler den Zugang zu anderen Stellenwertsystemen zu erleichtern, sollen Schülerinnen und Schüler auf haptischem Wege zunächst mit dem Zweiersystem vertraut gemacht werden.

Anschließend sollen Umrechnungsmethoden eingeführt werden, die die Schülerinnen und Schüler zunächst auf dem Papier üben. Unter anderem erfahren Schülerinnen und Schüler, dass die Darstellung von Zahlen in Stellenwertsystemen mit weniger Ziffern als dem vertrauten Zehnersystem in der Regel mehr Stellen im Vergleich zum Zehnersystem erfordert.

Eine sinnvolle Weiterführung ist sicherlich die Verallgemeinerung der Umrechnungsmethoden. An dieser Stelle könnte der Nspire CAS zum Einsatz kommen.

Provokation

Man stelle sich eine Welt vor, in der jegliche Längen nur durch die Kombination von Stücken in den Längen 1cm ,2cm ,4cm ,8cm ,16cm usw gemessen werden können. Jedes Stück ist nur einmal vorhanden. Kann man beliebige Längen messen?


Man stelle sich vor, es gäbe nur eine einzige 1-Euro, 2-Euro, 4-Euro, 8-Euro, 16-Euro usw. Münze. Können wir mit diesen Münzen beliebige runde Geldbeträge bezahlen?


Lernumgebung

Hierzu eignet sich z.B. ein großes Lineal oder ein Zollstock, an dem verschiedene Längen durch Aneinanderreihen von Holzblöcken oder Pappstreifen der Längen 1cm ,2cm ,4cm ,8cm ,16cm usw. dargestellt bzw. abgemessen werden.

Datei:Lineal.jpg

Stift.gif   Aufgabe

Messt die folgenden Längen mit Hilfe der Pappstreifen auf dem großen Lineal ab. 5cm 11cm 16cm 29cm

Schülerinnen und Schülern soll hierbei klar werden, dass sich jede Länge durch Aneinanderreihen der Pappstreifen darstellen lässt, und diese Darstellung bis auf die Reihenfolge eindeutig ist.

Umrechungen

Vom Zweiersystem ins Zehnersystem

Stift.gif   Aufgabe

Ihr habt folgende Münzen in eurer Geldbörse: eine 16-Euro-Münze, keine 8-Euro Münze, eine 4-Euro-Münze, eine 2-Euro-Münze und eine 1-Euro-Münze. Der Inhalt eurer Geldbörse lässt sich schreiben als :10111_{(2)} Vergleicht diese Schreibweise mit dem Inhalt der Geldbörse.

Zeichnet zur Übung folgende Tabelle ab und tragt die Zahlen des Zweiersystems in die Tabelle ein. Anschließend könnt ihr sie ins Zehnersystem umrechnen. Die erste Zahl ist als Hilfestellung bereits eingetragen und umgerechnet.

10111_{(2)}
10101_{(2)}
101111_{(2)}
100001_{(2)}
111111_{(2)}
Stellenwerte
32 16 8 4 2 1
Zahl im 2er System 0 1 0 1 1 1 23 Zahl im 10er System
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .

Vom Zehnersystem ins Zweiersystem

Voraussetzungen: Für die hier beschriebene Methode müssen Schülerinnen und Schüler die Division mit Rest beherrschen.


Beispielrechnung

Die im Zehnersystem vorgebene Zahl (als Beispiel hier 29) kann durch die Division mit Rest ins Zweiersystem umgerechnet werden

\left.\begin{matrix}
 29 &: 2 &=& 14 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\
 14 &: 2 &=& 7 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{0}\\
  7 &: 2 &=& 3 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\
  3 &: 2 &=& 1 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\
  1 &: 2 &=& 0 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}
\end{matrix}\ \right\uparrow

Die Reste der Divisionen ergeben von unten nach oben gelesen die gesuchte Zahl im Zweiersystem: 11101


Stift.gif   Aufgabe

Rechnet folgende Zahlen des Zehnersystems ins Zweiersystem um. Die tiefgestellte 10 zeigt an, dass es sich um eine Zahl im Zehnersystem handelt.

a) 17_{(10)} b) 64_{(10)} c) 100_{(10)} d) 255_{(10)} e) 999_{(10)}

Verallgemeinerung mit Hilfe des Nspire CAS

Mit Hilfe der einfachen Tabellenkalkulation Lists & Spreadsheet sollen Schülerinnen und Schüler ein Dokument entwickeln, das beliebige Zahlen bis zu einer bestimmten vorgegebenen Größe umrechnet. Es ist denkbar eine der beiden Richtungen vorzugeben und Schülerinnen und Schüler die andere Richtung selbst entwickeln zu lassen.

Als Beispiel ein sehr einfacher Umrechner von Zahlen des 2er Systems ins 10er System. Je nach Interesse der Schülerinnen und Schüler sind auch schwierigere Aufgabestellungen (z.B. Eingabe der Zahl des 2er Systems in nur eine einzige Zelle, Verwendung des mod-Befehls usw.)

2erin10er.gif

Download der Datei für das Nspire CAS Datei:2er in 10er.tns

Eingabe der Zahl des 2er Systems in nur eine einzige Zelle unter Verwendung des mod- und int-Befehls

2erin10er int.gif

Download der Datei für das Nspire CAS Datei:2er in 10er int.tns

Quellen

http://www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/lehrplaene/upload/material/g8/G8_M_Curriculum1.pdf

http://de.wikipedia.org/wiki/Dualsystem