Erweiterung: Binomische Formeln dritten Graden

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Inhaltsverzeichnis

Aufgaben

Gedankenexperiment

Man stelle sich einen Würfel mit Kantenlänge 10 cm vor, der einen Inhalt von \left( 10 cm \right)^3 = 1000 cm^3 , also einem Liter, hat:
Bin3 1.png
Behauptung:
Wenn jede Seite um genau 10 cm verlängert - also verdoppelt - wird, verdoppelt sich auch das Volumen des Würfels.
Es gilt also: \left( 10 cm + 10 cm\right)^3 = \left( 10 cm\right)^3 + \left( 10 cm \right)^3 = 2000 cm^3 = 2l.
Jetzt hat der Würfel einen Inhalt von 2 Litern.
Man stelle sich die Situation vor und beweise oder widerlege die Behauptung.

Veranschaulichung:
Bin3 2.png

Vorkenntnisse

  • Volumenberechnung beim Würfel
  • Distributivgesetz

Weiterführung

Aufgabe 0

TODO: Bastelbogen mit Würfeln erstellen.

Aufgabe 1

Screenshot: bin3_3.geosave

Man lade die Datei bin3_3.geosave für Archimedes Geo3D herunter und mache sich mit dem erweiterten Würfel vetraut.
Wieviele Volumina sind hinzugekommen?

Aufgabe 2

Warum ist die Rechnung von oben nicht korrekt?

Aufgabe 3

Man berechne das tatsächliche Volumen. Um wieviel größer ist es geworden?

Aufgabe 4

Der hier betrachtete Würfel ist nur ein Spezialfall.
Man führe die Berechnung für eine beliebige Seitenlänge a durch, die um b verlängert wird, so dass die neue Seitenlänge \left( a+b \right) beträgt:
\left( a+b \right)^3 = \left( a+b\right) \cdot \left( a+b \right) \cdot \left( a+b\right) = ?

Aufgabe 5

Screenshot: bin3_4.geosave

Die obige Situation ist in der Datei bin3_4.geosave für Archimedes Geo3D gespeichert.
Man konstruiere davon ausgehend den Würfel mit den verlängerten Seitenlängen und füge auch die Unterteilungen hinzu.
Lösung

Handlungsprodukt

Man lade den Pdf20.gif Bastelbogen ohne Beschriftung oder den Pdf20.gif Bastelbogen mit Beschriftung herunter, bastele die Würfel und Quader und setze einen Würfel mit Seitenlänge \left( a+b \right) zusammen.

Ausblick

Es kann auf den Binomischen Lehrsatz
 (x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} x^{n-k}y^{k}
hingewiesen werden und damit auf die Möglichkeit, eine Summe beliebiger Potenz einfach zu berechnen.

PascalTriangleAnimated2.gif
Weiterhin kann das Pascalsche Dreieck und auf seinen Zusammenhang mit den Koeffizienten der Potenzen (auch getrennt vom Binomischen Lehrsatz) thematisiert werden.

Siehe auch

Links im Zusammenhang mit dem Thema:

Eher für ältere Schüler oder Lehrer:

Lehrplan/Kompetenzen

Folgende von den Kernlehrplänen geforderten Kompetenzen am Ende der Jahrgangsstufe 9 können durch Verwendung dieses Entwurfes gefördert werden:

Prozessbezogen

  • Argumentieren/Kommunizieren:

SuS überprüfen und bewerten Problembearbeitungen und nutzen mathematisches Wissen für Begründungen und Argumentationsketten.

  • Problemlösen:

SuS vergleichen Lösungswege und Problemlösestrategien und bewerten sie.

Inhaltsbezogen

  • Geometrie:

SuS benennen und charakterisieren Körper und stellen sie her. Sie schätzen und bestimmen Volumina.

Didaktischer Kommentar

Binomische Formeln höheren als zweiten Grades kommen normalerweise im Unterreicht der Sekundarstufe nicht vor. Trotzdem ist es reizvoll, sich zumindest mit dem dritten Grad zu beschäftigen, da man sich sowohl den dreidimensionalen Raum gut vorstellen, als auch die unwahre Behauptung des Gedankenexperimentes sofort als solche erkennen kann.