Kann man Mittelwertunterschieden trauen?

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Idee des Beitrags

Die Berechnung von Mittelwerten ist etwas alltägliches - die Medien reden fast täglich über den "Durchschnittsmenschen" und ihre "durchschnittlichen Einkommen". Doch verlassen wir uns auf diese Kenngröße nicht zu sehr?

In dieser Einheit führst du ein Experiment durch und reflektierst die Ergebnisse. Dabei wirst du Schritt für Schritt geführt. Trotzdem gibt es eine Menge zu entdecken: Es macht Sinn das Script an der einen oder anderen Stelle zu verlassen und darüber nachzudenken, wie der nächste Schritt aussehen sollte.

Froschweitsprung

Vorbereitung

Als erstes benötigst du einen Papierfrosch. Eine Video-Anleitung zum Bau findest du hier. Baue den Frosch so, dass er möglichst weit springt. Als Material werden noch ein Lineal sowie Papier zum Notieren der Ergebnisse benötigt. Alternativ kannst du auch direkt die zugehörige TI-Nspire Datei:Froschweitsprung.TNS verwenden. Markiere einen Frosch mit einer "0", den anderen mit einer "1".

Beginne in Partnerarbeit

Trete mit einem Partner in den Wettkampf. Jeder darf seinen Frosch 15mal springen lassen. Die Ergebnisse werden festgehalten. Die Wiederholung von Sprüngen ist ausgeschlossen.

So wird gemessen

Papierfrosch 1.jpg

Der Frosch startet vor der 0-cm Linie.


Papierfrosch 2.jpg

Gemessen wird die geringste Entfernung und in 0.5er Schritten, um strittige mm-Fragen zu umgehen . In diesem Beispiel würde also eine Weite von 29.5 cm angerechnet.

Die Daten übertragen

Im Dokument findest du eine Seite, auf der die Messwerte eingetragen werden können. Lösche dazu die Zahlen von 1-15 in Spalte B. Achte darauf, dass die Messwerte den richtigen Fröschen zugewiesen werden ("0-er" oder "1-er").

FroschWeiteErfassen.jpg


Berechne die mittleren Sprungweiten von Hand. Im TI-Nspire Dokument werden diese Kennwerte auch automatisch berechnet, so dass du deine Rechnung überprüfen kannst.

Auswertung 1 - Reflexion I

Überlege, ob der Siegerfrosch (also der, mit der größeren mittleren Sprungweite) tatsächlich besser war, oder ob sich die Abweichung auch zufällig ergeben könnte.

Stell dir dazu vor, dass alle 30 Versuche mit einem Frosch durchgeführt wurden. Auch in diesem Fall würde der Mittelwert der ersten 15 Sprünge von dem der letzten 15 Sprünge abweichen - obwohl es sich um den gleichen Frosch handelt.

Auswertung 2 - Simulation

Im Folgenden wird den Sprungweiten jeweils zufällig ein Frosch zugeordnet. Die folgende Tabelle übernimmt diese Aufgabe. Berechnet werden jeweils die Mittelwerte - berechnet und gespeichert wird ihre Differenz. Mit CTRL+R werden die Frösche neu zugeordnet und die zugehörige DIfferenz gespeichert.

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Untersuche und erprobe die Funktionsweise Tabelle.

Auswertung 3 - Reflexion II

Was kann man aus der Messreihe der Differenzen folgern? Führe die Simulation mehrere hundert mal durch (jedoch mindestens 100-mal). Was lässt sich aus den Messwerten ablesen, die hier für ein Beispiel exemplarisch graphisch dargestellt sind?

FroschDifferenzen.jpg


Auswertung 4 - Analyse der Simulation

Es ergab sich ein Ausreißer mit 4 cm. Entsprechend würde man Mittelwert-Abweichungen von mehr als 3 cm als signifikant bezeichnen, 99 % der Simulationsergebnisse ergaben kleinere Differenzen.

Wie ist es bei euch? Wurde ein "echter" Sieger gefunden?

Vorschläge für Erweiterungen

Dies sind Vorschläge zur Erweiterung der Fragestellungen:

  • Lasst die Frösche jeweils 30-mal springen und passt die Datei entsprechend an.
  • Überlegt euch ein anderes Experiment, bei dem man Mittelwertunterschiede untersuchen kann und führt es durch.
  • Untersucht, was bei gleichbleibender Leistung passiert (also z. B. ein Frosch schafft immer 10 cm, der andere immer 20 cm. Macht diese Analyse dann überhaupt Sinn?
  • Sind alle Ergebnisse von Messungen mit Fehlern behaftet - oder kann man z. B. dem Durchschnitt einer Klassenarbeit blind vertrauen.