Lineare Gleichungssysteme

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Inhaltsverzeichnis

Einführung in das Thema

Gleichungssyteme werden eingesetzt um Zusammenhänge zu modellieren und interessierende Größen zu bestimmen. Eine besondere Form dieser Gleichungssysteme sind die linearen Gleichungssysteme.

Definition

Als lineares Gleichungssystem bezeichnet man ein System aus linearen Gleichungen, die mehrere unbekannte Größen (Variable) enthalten.

Ein Beispiel für ein solches System ist:


\begin{matrix}3x_{1} & + & 2x_{2} & - & x_{3} & = & 1\\
2x_{1} & - & 2x_{2} & + & 4x_{3} & = & -2\\
-x_{1} & + & \frac{1}{2}x_{2} & - & x_{3} & = & 0\end{matrix}


Die Definition impliziert bereits, dass wir es mit mehreren Variablen zu tun haben, die durch die Gleichungen in Beziehung gesetzt sind. Das führt zu einerem weiteren Punkt, nämlich der Lösbarkeit solcher Systeme.

Lösbarkeit

Es sind drei Fälle möglich:

1. Das Gleichungssystem besitzt eine eindeutige Lösung.

2. Das Gleichungssystem besitz keine Lösung.

3. Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

Welcher Fall vorliegt ist davon abhängig, wieviele linear unabhängige Gleichungen und Variablen vorliegen. Allgemein gilt: Ist die Anzahl der Variablen gleich der Anzahl der linear unabhängigen Gleichungen, so ist das Gleichungssystem lösbar. Für eine eindeutige Lösung werden für k Variablen auch mindestens k Gleichungen benötigt.

Für eine ausführlichere Betrachtung dieses Thema verweise ich auf den Wikipedia Artikel. Hier soll es im folgenden darum gehen, Lösungsstrategien für Schüler aufzuzeigen.

Zielgruppe

Die Aufgabenstellungen richten sich an Schülerinnen und Schüler der Jahrgangstufe 8 des Gymnasiums. Hier werden im wesentlichen lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen bzw. zwei Gleichungen betrachtet. Als Erweiterung können auch Gleichungssysteme mit drei Gleichungen thematisiert werden. Deshalb beziehen sich die im folgenden thematisierten Lösungstrategien für die Aufgaben auch auf den Unterricht der achten Klasse. Natürlich können lineare Gleichungssysteme durch beliebig viele Variablen und Gleichungen ergänzt werden und es können komplexere Lösungstratiegien eingeführt werden, die mehr Vorkenntnisse benötigen, sodass solche Gleichungssysteme auch für Schülerinnen und Schüler höherer Jahrgangsstufen von Interesse sind.

Vorkenntnisse\Kompetenzerwartungen

Die nachfolgenden Information sind aus dem Kernlehrplan für das Gymnasium - Sekundarstufe I (G8) in Nordrhein-Westfalen im Fach Mathematik entnommen. Es sind nur die am Thema lineare Gleichungssysteme gemessenen wichtigsten Kompetenzerwartungen aufgelistet.

Prozessbezogene Erwartungen: Es ist wichtig, dass die Schülerinnenn und Schüler (SuS) Begriffe miteinander in Beziehung setzen. Dies ist insbesondere notwendig, wenn die SuS Sachaufgaben in mathematische Modelle übersetzen müssen. Hier geht es insbesondere darum, reale Sachverhalte durch Terme auszudrücken. Dazu ist es notwendig, dass die SuS Informationen aus einfachen mathematikhaltigen Darstellungen kondensieren können und mit eigenen Worten wiedergeben können.

Inhaltsbezogene Erwartungen: Es ist elementar, dass die SuS mit rationalen Zahlen und reellen Zahlen rechnen können. Sie müssen die wichtigsten Rechenregeln beherschen und Terme auf sinnvolle Weise umformen können. Es wird erwartet, dass die SuS mit linearen Gleichungen arbeiten können. Wichtig ist außerdem, dass die SuS mit linearen Funktionen vertraut sind, d.h. sie müssen die notwendigen Definitionen kennen und ebenfalls in der Lage sein, die zugehörigen Graphen zu konstruieren und zu interpretieren. Ebenfalls wird erwartet, dass die SuS dir Probe zur Kontrolle ihrer Ergebnisse anwenden.

Lehrplan

Die folgenden Informationen sind ebenfalls auszugsweise aus dem Kernlehrplan für das Gymnasium - Sekundarstufe I (G8) in Nordrhein-Westfalen im Fach Mathematik, sowie einem schulinternen Curriculum, was an den Lehrplan angepasst ist, entnommen.

Prozessbezogene Kompetenzen

1. Argumentieren/Kommunizieren

Schülerinnen und Schüler

  • ziehen Informationen aus mathematikhaltigen Darstellungen (Text, Bild Tabelle), strukturieren und bewerten sie.
  • setzen Begriffe und Erfahrungen miteinander in Beziehung.
  • präsentieren Lösungswege und Problembearbeitungen.

2. Problemlösen

Schülerinnen und Schüler

  • untersuchen Muster und Beziehungen bei Zahlen und stellen Beziehungen auf
  • wenden die Problemlösestrategie "Zurückführen auf Bekanntes an".

3. Modellieren

Schülerinnen und Schüler

  • übersetzen einfache Realsituationen in mathematische Modelle.
  • überprüfen die gewonnenen Lösungen an der Realsituation.

Inhaltsbezogene Kompetenzen

1. Arithmetik/Algebra

Schülerinnen und Schüler

  • nutzen binomische Formeln.

Lösungsmethoden für Schülerinnen und Schüler der Jgst. 8

Im Folgenden wird erläutert, wie Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe 8 lineare Gleichungssysteme lösen können. Dabei wird auf die Vorkenntnisse der SuS Rücksicht genommen. Die Verfahren sind auf Systemen mit zwei Gleichungen und zwei Variablen abgestimmt.

Algebraische Lösungsmethoden

Im wesentlichen gibt es drei verschiedene Lösungsmethoden. Die SuS sollten mit der Umformung linearer Gleichungen vertraut sein, dann können sie diese Methoden auch anwenden.

1. Gleichsetzungsverfahren

Beide Gleichungen werden nach der selben Variablen aufgelöst. Anschließend werden die Gleichungen gleichgesetzt und die verbleibende Variable wird bestimmt. Falls es eine Lösung für die Variable gibt, kann nun durch Einsetzen in eine der Ausgangsgleichungen die verbleibende Variable bestimmt werden.

Beispiel: \begin{matrix}3x & + & 2 & = & y\\
y & - & 3 & = & 2x\end{matrix}\Rightarrow\begin{matrix}3x & + & 2 & = & y\\
2x & + & 3 & = & y\end{matrix}\Rightarrow3x+2=2x+3\Rightarrow x=1,\, y=5

2. Einsetzungsverfahren

Eine Gleichung wird nach einer Variablen aufgelöst, diese wird in die andere Gleichung eingesetzt. Schließlich wird die so erhaltene Gleichung nach der Variablen aufgelöst. Das Ergebnis kann wieder in eine der Ausgangsgleichungen eingesetzt werden, um die verbleibende Größe zu bestimmen.

Beispiel: \begin{matrix}I.\,\,3x & + & 2 & = & y\\
II.\,\, y & - & 3 & = & 2x\end{matrix}\underset{\,\,\,\,(I.\, in\, II.)}{\,\,\,\,\Rightarrow}3x+2-3=2x\Rightarrow x=1,\, y=5

3. Additionsverfahren Es werden geschickt Vielfache der einen Gleichung zu der anderen addiert, sodass eine Variable eliminiert wird.

Graphische Lösungsmethode

In dem Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen wird nun jeweils eine Variable x genannt und die andere y, um die Verbindung zum Thema lineare Funktionen zu erhalten.

Die graphische Lösungsmethode bezieht sich auf das bestimmen des Schnittpunktes zweier Geraden. Zunächst werden die Gleichungen jeweils nach der selben Variable (idealerweise y) aufgelöst. Anschließend werden die so veränderten Gleichungen als lineare Funktionen interpretiert und gezeichnet. So lässt sich sofort feststellen, ob das Gleichungssystem eine Lösung hat. Es können sich drei Fälle ereignen:

1. Die Geraden besitzen einen Schnittpunkt:

In diesem Fall besitzt das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung. Die x-Koordinate des Schnittpunktes ist das Ergebnis für x und entsprechend ist die y-Koordinate das Ergebnis für y.

2. Die Geraden sind parallel:

Das Gleichungssystem besitzt keine Lösung. Die Lösungsmenge ist leer.

3. Die Geraden sind identisch:

Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen. Jeder Punkt auf der Geraden ist eine Lösung.

Ein Beispiel für eine solche Lösungsmethode findet man unter Aufgaben.

Aufgaben

Aufgabe 1: Die graphische Lösungsmethode

Aufgabenstellung: Prüfe graphisch, ob das folgende Gleichungssystem eine Lösung hat. Löse dazu zunächst jede Gleichung nach y auf und skizziere anschließend die Graphen. Falls vorhanden, lese den Schnittpunkt ab und bestimmt ihn anschließend rechnerisch.

Gleichungssystem:

\begin{matrix}y & - & 5 &  &  & = & 3x\\
7x & - & 3 & - & y & = & 0\end{matrix}

Lösungsvorschlag

Nachdem beide Gleichungen nach y umgeformt wurden, erhalten wir das System:

\begin{matrix}3x & + & 5 & = & y\\
7x & - & 3 & = & y\end{matrix}

Mit Hilfe der Applikation Graphs and Geometry zeichnen wir nun die Graphen.

Aufgabe 1 grafik 1.jpg.

Wir stellen fest: Die Geraden besitzen einen Schnittpunkt \Rightarrow \exists! Lösung des Gleichungssystems.

Im Menüpunkt Punkte & Geraden wird Schnittpunkt(e) ausgewählt und anschließend die beiden Geraden markiert.

Schnittpunkt.jpg

Ablesen der x- und y-Koordinate liefert: x=2 \wedge y=11.

Es folgt die rechnerische Lösung:

Man öffne die Applikation "Calculator". Nun wählt man unter "mathematische Vorlagen" das enstprechende System aus. Zum Lösen des Systems muss der Befehl "solve" vor das System gesetzt werden.

A1 rechnerisch.jpg

Hier sehen wir also  x=\frac{9}{4}=2,25 \wedge y=\frac{47}{4}=11,75 .

Die Lösungen sollten anschließend mit der Probe überprüft werden.

Aufgabe 2: Modellieren

in Bearbeitung.

Aufgabe 3: Zusatzaufgabe: LGS mit drei Variablen und Modellieren

in Bearbeitung.

Didaktischer Kommentar

in Bearbeitung.