Lineare Gleichungssysteme

Einführung in das Thema

Gleichungssyteme werden eingesetzt, um Zusammenhänge zu modellieren und interessierende Größen zu bestimmen. Eine besondere Form dieser Gleichungssysteme sind die linearen Gleichungssysteme.

Definition

Als lineares Gleichungssystem bezeichnet man ein System aus linearen Gleichungen, die mehrere unbekannte Größen (Variable) enthalten.

Ein Beispiel für ein solches System ist:

$\begin{matrix}3x_{1} & + & 2x_{2} & - & x_{3} & = & 1\\ 2x_{1} & - & 2x_{2} & + & 4x_{3} & = & -2\\ -x_{1} & + & \frac{1}{2}x_{2} & - & x_{3} & = & 0\end{matrix}$

Die Definition impliziert bereits, dass wir es mit mehreren Variablen zu tun haben, die durch die Gleichungen in Beziehung gesetzt sind. Das führt zu einem weiteren Punkt, nämlich der Lösbarkeit solcher Systeme.

Lösbarkeit

Im Folgenden wird erläutert, wie Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe 8 lineare Gleichungssysteme lösen können. Dabei wird auf die Vorkenntnisse der SuS Rücksicht genommen. Die Verfahren sind auf Systemen mit zwei Gleichungen und zwei Variablen abgestimmt.

Die algebraischen Lösungsmethoden können natürlich auch auf Systeme mit endlich vielen Variablen und Gleichungen angewandt werden.

Graphische Lösungsmethode

Hier handelt es sich um eine Lösungsmethode, die sich sehr gut zur Einführung des Themas in der achten Jahrgangsstufe eignet, da so das neue Thema auf ein bereits behandeltes Thema zurückgeführt wird, nämlich die linearen Funktionen.

In dem Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen wird nun jeweils eine Variable x genannt und die andere y, um die Verbindung zum Thema lineare Funktionen zu erhalten.

Die graphische Lösungsmethode bezieht sich auf das Bestimmen des Schnittpunktes zweier Geraden. Zunächst werden die Gleichungen jeweils nach derselben Variablen (idealerweise y) aufgelöst. Anschließend werden die so veränderten Gleichungen als lineare Funktionen interpretiert und gezeichnet. So lässt sich sofort feststellen, ob das Gleichungssystem eine Lösung hat. Es können sich drei Fälle ereignen:

1. Die Geraden besitzen einen Schnittpunkt:

In diesem Fall besitzt das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung. Die x-Koordinate des Schnittpunktes ist das Ergebnis für x und entsprechend ist die y-Koordinate das Ergebnis für y.

2. Die Geraden sind parallel:

Das Gleichungssystem besitzt keine Lösung. Die Lösungsmenge ist leer.

3. Die Geraden sind identisch:

Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen. Jeder Punkt auf der Geraden ist eine Lösung.

Ein Beispiel für eine solche Lösungsmethode findet man unter Aufgaben.

Algebraische Lösungsmethoden

Im Wesentlichen gibt es drei verschiedene Lösungsmethoden. Die SuS sollten mit der Umformung linearer Gleichungen vertraut sein, dann können sie diese Methoden auch anwenden.

1. Gleichsetzungsverfahren

Beide Gleichungen werden nach der selben Variablen aufgelöst. Anschließend werden die Gleichungen gleichgesetzt und die verbleibende Variable wird bestimmt. Falls es eine Lösung für die Variable gibt, kann nun durch Einsetzen in eine der Ausgangsgleichungen die verbleibende Variable bestimmt werden.

Beispiel:

$\begin{matrix}3x & + & 2 & = & y\\ y & - & 3 & = & 2x\end{matrix}\Rightarrow\begin{matrix}3x & + & 2 & = & y\\ 2x & + & 3 & = & y\end{matrix}\Rightarrow3x+2=2x+3\Rightarrow x=1,\, y=5$

2. Einsetzungsverfahren

Eine Gleichung wird nach einer Variablen aufgelöst, diese wird in die andere Gleichung eingesetzt. Schließlich wird die so erhaltene Gleichung nach der Variablen aufgelöst. Das Ergebnis kann wieder in eine der Ausgangsgleichungen eingesetzt werden, um die verbleibende Größe zu bestimmen.

Beispiel:

$\begin{matrix}(1) & 3x & + & 2 & = & y\\ (2) & y & - & 3 & = & 2x\end{matrix}\underset{\,\,\,\,((1)\,\mbox{in}\,(2))}{\,\,\,\,\Rightarrow}3x+2-3=2x\Rightarrow x=1,\, y=5$

3. Additionsverfahren Es werden geschickt Vielfache der einen Gleichung zu der anderen addiert, sodass eine Variable eliminiert wird.

Lehrplan

Die folgenden Informationen sind ebenfalls auszugsweise aus dem Kernlehrplan für das Gymnasium - Sekundarstufe I (G8) in Nordrhein-Westfalen im Fach Mathematik sowie einem schulinternen Curriculum, welcher an den Kernlehrplan angepasst ist, entnommen.

Prozessbezogene Kompetenzen

1. Argumentieren/Kommunizieren

Schülerinnen und Schüler

• ziehen Informationen aus mathematikhaltigen Darstellungen (Text, Bild, Tabelle), strukturieren und bewerten sie.

• setzen Begriffe und Erfahrungen miteinander in Beziehung.

• präsentieren Lösungswege und Problembearbeitungen.

2. Problemlösen

Schülerinnen und Schüler

• untersuchen Muster und Beziehungen bei Zahlen und stellen Beziehungen auf

• wenden die Problemlösestrategie "Zurückführen auf Bekanntes an".

3. Modellieren

Schülerinnen und Schüler

• übersetzen einfache Realsituationen in mathematische Modelle.

• überprüfen die gewonnenen Lösungen an der Realsituation.

Inhaltsbezogene Kompetenzen

1. Arithmetik/Algebra

Schülerinnen und Schüler

• nutzen binomische Formeln.

Aufgaben

Aufgabe 1: Die graphische Lösungsmethode

Aufgabenstellung

Aufgabe Prüfe graphisch, ob das folgende Gleichungssystem eine Lösung hat. Löse dazu zunächst jede Gleichung nach y auf und skizziere anschließend die Graphen. Falls vorhanden, lies den Schnittpunkt ab und bestimme eine rechnerische Lösung des Gleichungssystems. Gleichungssystem: $\begin{matrix}y & - & 5 & & & = & 3x\\ 7x & - & 3 & - & y & = & 0\end{matrix}$

Lösung

Lösung Nachdem beide Gleichungen nach y umgeformt wurden, erhalten wir das System: $\begin{matrix}3x & + & 5 & = & y\\ 7x & - & 3 & = & y\end{matrix}$ Mit Hilfe der Applikation Graphs and Geometry des TI-Nspire CAS zeichnen wir nun die Graphen. Veranschaulichung anzeigen Veranschaulichung verstecken . Wir stellen fest: Die Geraden besitzen einen Schnittpunkt $\Rightarrow \exists!$ Lösung des Gleichungssystems. Im Menüpunkt Punkte & Geraden wird Schnittpunkt(e) ausgewählt und anschließend die beiden Geraden markiert. Veranschaulichung anzeigen Veranschaulichung verstecken Ablesen der x- und y-Koordinate liefert: $x=2 \wedge y=11$. Es folgt die rechnerische Lösung: Man öffne die Applikation Calculator. Nun wähle man unter mathematische Vorlagen das enstprechende System aus. Zum Lösen des Systems muss der Befehl solve vor das System gesetzt werden. Veranschaulichung anzeigen Veranschaulichung verstecken Hier sehen wir also $x=2 \wedge y=11$. Die Lösungen sollten anschließend mit der Probe überprüft werden.

Aufgabe 2: Modellieren

Aufgabenstellung

Klaus und Sabine vergleichen ihr Taschengeld. Klaus sagt: "Würdest du mir 10 Euro von deinem Taschengeld abgeben, hätten wir beide das gleiche Taschengeld!" Darauf Sabine: "Würdest du mir 10 Euro überlassen, hätte ich drei Mal so viel wie du!" Wie viel Taschengeld erhält jeder? - Entwickle ein passendes Gleichungssystem und löse es! Gebe dabei deine Rechenbefehle an!

Lösung

Sei $x=\mbox{Taschengeld von Klaus, }y=\mbox{Taschengeld von Sabine}$. Man kommt zu folgendem Gleichungssystem:

$\begin{matrix}(1) & x+10 & = & y-10\\ (2) & y+10 & = & 3(x-10)\end{matrix}$

Mit Hilfe der Applikation Calculator des TI-Nspire CAS und des solve-Befehls ist das Gleichungssystem schnell gelöst. Da wir aber Rechenbefehle angeben sollen, formen wir das Gleichungssystem um. Nachdem wir mathematische Vorlagen geöffnet haben und das Gleichungssystem eingetragen haben, können wir mit dem Befehl Ans und der jeweiligen Rechenoperation das System umformen.

Eingabe des Gleichungssystems. Anschließend soll in Gleichung (1) auf jeder Seite 10 addiert werden und in Gleichung (2) 10 subtrahiert.

Veranschaulichung anzeigen

Veranschaulichung verstecken

Nun werden die Gleichungen manuell gleichgesetzt und anschließend 40 auf beiden Seiten addiert.

Veranschaulichung anzeigen

Veranschaulichung verstecken

Die nachfolgenden Schritte sind wie folgt: Zunächst Subtraktion von x auf beiden Seiten. Anschließend Division durch 2.

Veranschaulichung anzeigen

Veranschaulichung verstecken

Wir sehen $x=30$. Nun kann x in eine der Ausgangsgleichungen (oder in eine Gleichung nach dem ersten Umformungsschritt, da y bereits isoliert ist) eingesetzt werden und wir erhallten $y=50$.

Klaus erhält somit 30 Euro Taschengeld und Sabine bekommt 50 Euro.

Aufgabe 3: Zusatzaufgabe: LGS mit drei Variablen und Modellieren

Aufgabenstellung

Aufgabe Petra erzählt: "Wir feiern in diesem Jahr ein dreifaches Jubiläum: Meine Mutter und ich sind zusammen 50 Jahre alt, mein Vater und ich 55 Jahre, und meine Eltern zusammen 75 Jahre!". Wie alt ist Petra, wie alt sind ihre Mutter und ihr Vater? Entwickle ein Gleichungssystem und löse es; verwende die Variablen p, m und v!

Lösung

Lösung Zunächst das Gleichungssystem: Seien $p=\mbox{Alter von Petra},\, m=\mbox{Alter der Mutter und }v=\mbox{Alter des Vaters.}$ $\begin{matrix}(1) & p & + & m & = & 50\\ (2) & p & + & v & = & 55\\ (3) & m & + & v & = & 75\end{matrix}$ Zum Lösen des Gleichungssystems kann man analog zu Aufgabe 1 oder 2 vorgehen. Der Einfachheit halber wird hier nur die Variante des solve-Befehls wie in Aufgabe 1 dargestellt. Veranschaulichung anzeigen Veranschaulichung verstecken Petra ist 15 Jahre alt, ihre Mutter 35, und ihr Vater 40 Jahre.

Handlungsorientierter Unterricht

Bevor die Einführung und die dazu geplante Aufgabe beginnt, wird an jeden Schüler und jede Schülerin ausreichend Streichholzschachteln und einzelne Streichhölzer verteilt. Dieses Material sollen die SuS beim selbstständigen Bearbeiten der folgenden Aufgaben verwenden. Im weiteren Verlauf werden sie ihre erhaltenen Lösungen mit dem TI-Nspire überprüfen.

Bei dieser Schachtelanordnung sind in jeder Schachtel gleich viele Hölzchen. Auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens sind insgesamt gleich viele Hölzchen.

Aufgabe 1

Aufgabenstellung

Aufgabe Wie kommst du von der ersten Gleichung zu dieser? Welche Gleichung passt dazu?

Lösung

Lösung Veranschaulichung anzeigen Veranschaulichung verstecken

Aufgabe 2

Aufgabenstellung

Aufgabe Wie hängt diese Anordnung mit der vorherigen zusammen? Welche Gleichung passt dazu?

Lösung

Lösung Veranschaulichung anzeigen Veranschaulichung verstecken

Aufgabe 3

Aufgabenstellung

Aufgabe Wie hängt diese Anordnung mit der vorherigen zusammen? Welche Gleichung passt dazu?

Lösung

Lösung Veranschaulichung anzeigen Veranschaulichung verstecken

Aufgabe 4

Aufgabenstellung

Aufgabe Jetzt weißt du, wie viele Hölzchen in der Schachtel sein müssen. Überprüfe die Lösung bei allen vier Gleichungen mit dem TI-Nspire.

Lösung

Lösung Veranschaulichung anzeigen Veranschaulichung verstecken

Aufgabe 5

Aufgabenstellung

Aufgabe Was passiert, wenn du bei der ersten Gleichung von beiden Seiten die Hälfte nimmst?

Lösung

Lösung Veranschaulichung anzeigen Veranschaulichung verstecken Merke: Das Umformen von linearen Gleichungen kann man auch mit TI-Nspire üben. Hier finden Sie die zugehörige Beschreibung: Datei:LinGlUmf Nspire.pdf

Aufgabe 6

Um die folgende Aufgabe bearbeiten zu können, werden die Schüler und Schülerinnen aufgefordert, 6 Streichholzschachteln rot und 4 Streichholzschachteln blau zu markieren. In den gleichfabigen Böxchen befinden sich gleich viele Hölzchen. Wie viele Hölzchen sind in den roten Böxchen enthalten und wie viele befinden sich in den blauen Böxchen?

Aufgabenstellung

Aufgabe Finde es durch Ausprobieren heraus, wie viele Hölzchen in den roten bzw. blauen Böxchen enthalten sind. Hierbei müssen alle Streichhölzerauf die roten und blauen Boxen verteilt werden. Überprüfe deine Lösung mit dem Taschenrechner.

Lösung

Lösung Veranschaulichung anzeigen Veranschaulichung verstecken Diese Möglichkeit ist falsch, denn es bleibt ein Streichhölzchen übrig. Das ist die Lösung.

Didaktischer Kommentar

Das Lösen von Gleichungssystemen ist in der Mathematik von fundamentaler Bedeutung. Insbesondere werden in anderen Naturwissenschaften, aber auch Gesellschaftswissenschaften (z.B. Sozialwissenschaften) Gleichungssysteme eingesetzt, um unbekannte Größen zu bestimmen. Es ist daher wichtig, dass den Schülerinnen und Schülern der Jahrgangsstufe 8 der Einstieg über die linearen Gleichungssysteme gelingt.

Da hier insbesondere Systeme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen behandelt werden, kann das Thema als Fortführung der linearen Funktionen betrachtet werden (siehe graphische Lösungsmethode). Das hat den Vorteil, dass das neue Thema auf bereits vorhandenes Wissen zurückgeführt wird, wodurch es den SuS leichter fallen sollte, das Thema zu verstehen.

Es ist sinnvoll, die Schüler nicht nur Gleichungssysteme lösen zu lassen, sondern Aufgaben zu konstruieren, die Alltagssituationen wiederspiegeln, z.B. die Berechnung des Alters bestimmter Personen (vgl. Aufgabe 3). Allerdings stellen solche Aufgaben auch höhere Anforderungen an die SuS, da sie Sachverhalte erst in Gleichungssysteme „übersetzen“ müssen.

Der Einsatz des TI-Nspire kann hier insbesondere bei der graphischen Lösungsmethode erfolgen. So können die SuS ohne viel Aufwand überprüfen, ob Gleichungssysteme lösbar sind oder ob es keine Lösung, oder sogar unendlich viele gibt. Anschließend können die SuS dann mit einer der algebraischen Methoden eine Lösung berechnen. Insbesondere können die SuS den TI-Nspire zum selbstständigen Lernen, also z.B. bei Hausaufgaben oder zur Vorbereitung auf eine Klassenarbeit einsetzen, um ihre Lösungen zu überprüfen. Durch die Lösungsmethode, die in Aufgabe 2 vorgestellt wurde, können die Schüler selbstständig Rechenfehler berichtigen.

Literaturverzeichnis

• Buckel, Friedrich W. (2007): Algebra-Training mit TI Nspire CAS. Siehe: www.gibb.ch/file/Algebra-Training_TI-nspire.pdf, abgerufen am 15.01.2010.

• Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes NRW (2007): Kernlehrplan für das Gymnasium-Sekundarstufe I (G8) in NRW Mathematik. Frechen: Ritterbach Verlag.

• www.klassenarbeiten.de, abgerufen am 16.01.2010.

• http://www.mathe-online.at/materialien/Franz.Embacher/files/CrashkursGleichungen/aufgaben1.html

• Mathbu.ch 8, Seite 10

Siehe auch

• Lineare Funktionen