Quadratische Ergänzung und pq-Formel: Unterschied zwischen den Versionen

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==Einführung in das Thema==
 
==Einführung in das Thema==
In diesem Kapitel sollen die quadratische Ergänzung und die pq-Formel als Methoden zur Lösung von Aufgaben, denen quadratischen Funktionen zu Grunde liegen, beschrieben und erläutert werden.
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In diesem Kapitel sollen die quadratische Ergänzung und die [[pq-Formel]] als Methoden zur Lösung von Aufgaben, denen [[Quadratische Funktionen|quadratischen Funktionen]] zu Grunde liegen, beschrieben und erläutert werden. Die Themen der quadratischen Ergänzung und der pq-Formel richten sich vornehmlich an Schüler und Schülerinnen der 9. Klasse.
===Zielgruppe===
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Die Themen der quadratischen Ergänzung und der pq-Formel richten sich vornehmlich an Schüler und Schülerinnen der 9. Klasse.
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==Kompetenzerwartungen==
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==Fachlicher Hintergrund ==
===Inhaltsbezogene Kompetenzen===
+
Die Schülerinnen und Schüler
+
* lösen einfache quadratische Gleichungen
+
* stellen lineare und quadratische Funktionen in verschiedenen Darstellungsformen dar
+
* deuten Parameter der Termdarstellungen von linearen und quadratischen Funktionen in der grafischen Darstellung
+
  
===Prozessbezogene Kompetenzen===
+
===Quadratische Ergänzung===
Die Schülerinnen und Schüler
+
* wählen geeignetes Werkzeug (z.B. Taschenrechner, Tabellenkalkulation, CAS) aus und nutzen es
+
* übersetzen Realsitutationen in mathematische Modelle und umgekehrt
+
* vergleichen und bewerten verschiedene mathematische Modelle für eine Realsituation
+
* erläutern mathematische Zusammenhänge und Einsichten mit eigenen Worten und präzisieren sie mit geeigneten Fachbegriffen
+
  
==Quadratische Ergänzung==
+
====Herleitung====
===Herleitung===
+
Ist eine Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform <math>f(x) =a(x-d)^2+e</math> angegeben, kann man den Scheitelpunkt S(d|e) direkt ablesen. Wenn die Funktionsgleichung aber nun in der Normalform <math>f(x) =ax^2+bx+c</math> angegeben ist, muss man diese zunächst in die Scheitelpunktform umformen, um den Scheitelpunkt ablesen zu können. Hierfür benutzt man die quadratische Ergänzung. Diese kann in drei Schritten durchgeführt werden.
+
  
'''1. Schritt.'''
+
Ist eine Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform <math>f(x) =a \cdot (x-d)^2+e</math> angegeben, kann man den Scheitelpunkt S(d|e) direkt ablesen. Wenn die Funktionsgleichung aber nun in der Normalform <math>f(x) =a \cdot x^2+b \cdot x+c</math> angegeben ist, muss man diese zunächst in die Scheitelpunktform umformen, um den Scheitelpunkt ablesen zu können. Hierfür benutzt man die quadratische Ergänzung. Diese kann in drei Schritten durchgeführt werden.
Bei dem angegebenen Funktionsterm betrachtet man nur den Teilterm "<math>x^2+bx</math>". Dieser entspricht in der 1. binomischen Formel dem Term "<math>x^2+2xd</math>". Um "<math>x^2+bx</math>" in den Klammerausdruck <math>(x-d)^2</math> zu überführen, sucht man nun den Wert für <math>d</math>, um <math>d^2</math> ergänzen zu können.
+
  
'''2. Schritt'''
+
'''1. Schritt'''
Aus <math>x^2+b*x=x^2+2xd</math> erhält man durch Vergleichen, dass <math>b=2d</math>, also <math>d=b/2</math> ist. Der Faktor vor dem <math>x</math> wird demnach halbiert. <math>d^2</math> wird ergänzt, also addiert, und wieder subtrahiert, so dass sich der Wert des Terms nicht ändert.
+
  
'''3. Schritt'''
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Bei dem angegebenen Funktionsterm betrachtet man nur den Teilterm <math>x^2+b \cdot x</math>. Dieser entspricht in der 1. Binomischen Formel dem Term <math>x^2+2 \cdot x \cdot d</math>. Um <math>x^2+b \cdot x</math> in den Klammerausdruck <math>(x-d)^2</math> zu überführen, sucht man nun den Wert für <math>d</math>, um <math>d^2</math> ergänzen zu können.
Aufstellen des Klammerausdrucks <math>(x-d)^2</math> mithilfe der binomischen Formeln und Berechnen von <math>e</math>.
+
  
 +
'''2. Schritt'''
  
===Beispiel===
+
Aus <math>x^2+b \cdot x=x^2+2 \cdot x \cdot d</math> erhält man durch Vergleichen, dass <math>b=2 \cdot d</math>, also <math>d=\frac{b}{2}</math> ist. Der Faktor vor dem <math>x</math> wird demnach halbiert. <math>d^2</math> wird ergänzt, also addiert, und wieder subtrahiert, so dass sich der Wert des Terms nicht ändert.
Als Beispiel soll die Funktionsgleichung <math>f(x) =x^2+6x+15</math> dienen.
+
  
'''1. Schritt''' <math>f(x) =x^2+6x+15 =x^2+6x+d^2-d^2+15=(x-d)^2-d^2+15</math>
+
'''3. Schritt'''
  
'''2. Schritt''' <math>d=6/2=3</math>, also ist <math>f(x) =x^2+6x+3^2-3^2+15</math>
+
Aufstellen des Klammerausdrucks <math>(x-d)^2</math> mithilfe der binomischen Formeln und Berechnen von <math>e</math>.
  
'''3. Schritt''' <math>f(x) =x^2+6x+3^2-3^2+15</math> <math><=></math> <math>f(x) =(x+3)^2+6</math>
+
====Beispiel====
  
 +
Als Beispiel soll die Funktionsgleichung <math>f(x) =x^2+6 \cdot x+15</math> dienen.
  
===Aufgabenstellung===
+
'''1. Schritt''' <math>f(x) =x^2+6 \cdot x+15 =x^2+6 \cdot x+d^2-d^2+15=(x-d)^2-d^2+15</math>
  
{{Aufgabe|
+
'''2. Schritt''' <math>d=\frac{6}{2}=3</math>, also ist <math>f(x) =x^2+6\cdot x+3^2-3^2+15</math>
'''Scheitelpunktbestimmung in einer Anwendungssituation'''
+
  
Die Flugbahn eines Basketballs wird durch die Funktion <math>f(x) =-2x^2+6x+2,4</math> beschrieben, wobei x die horizontale Entfernung vom Abwurfpunkt und y die Höhe des Balls in Meter angibt.
+
'''3. Schritt''' <math>f(x) =x^2+6 \cdot x+3^2-3^2+15</math> <math><=></math> <math>f(x) =(x+3)^2+6</math>
  
a) In welcher Höhe ist der Ballabwurf?
+
===pq-Formel===
  
b) Wie hoch muss die Hallenhöhe sein, damit der Ball nicht die Decke berührt?}}
+
====Herleitung====
  
<popup name="Lösung">
+
Quadratische Gleichungen wurden rechnerisch bisher mithilfe der quadratischen Ergänzung gelöst. Wenn man dieses Verfahren auf die allgemeine Normalform <math>x^2+p\cdot x+q=0</math> anwendet, erhält man eine allgemeingültige Formel für die Lösungen dieser quadratischen Gleichung.
a) Der Ball wird bei <math>x=0</math> abgeworfen. Mit <math>f(0)=2,4</math> ergibt sich eine Abwurfhöhe von 2,4m.
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+
b) Die maximale Höhe des Balles entspricht dem Scheitelpunkt der dazugehörigen Parabel. Um ihn zu bestimmen, kann man die Funktionsgleichung mit der quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform überführen.
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1. Schritt: <math>f(x) =-2(x^2-3x)+2,4</math>
+
 
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2. Schritt: <math>d=3/2=1,5</math>
+
 
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3. Schritt: <math>f(x) =-2(x^2-3x+1,5^2-1,5^2)+2,4=-2(x^2-3x+1,5^2)-2(-1,5^2)+2,4=-2(x-1,5)^2+6,9</math>
+
 
+
Der Scheitelpunkt liegt also in S (1,5|6,9). Die Halle müsste demnach mindestens 6,9m hoch sein.
+
</popup>
+
 
+
==pq-Formel==
+
===Herleitung===
+
Quadratische Gleichungen wurden rechnerisch bisher mithilfe der quadratischen Ergänzung gelöst. Wenn man dieses Verfahren auf die allgemeine Normalform <math>x^2+px+q=0</math> anwendet, erhält man eine allgemeingültige Formel für die Lösungen dieser quadratischen Gleichung.
+
  
 
Im Folgenden wird die pq-Formel mithilfe der quadratischen Ergänzung hergeleitet:
 
Im Folgenden wird die pq-Formel mithilfe der quadratischen Ergänzung hergeleitet:
  
<math>x^2+px+q=0</math>          |<math>-q</math>
+
<math>x^2+p\cdot x+q=0</math>          |<math>-q</math>
  
<math>x^2+px=-q</math>
+
<math>x^2+p \cdot x=-q</math>
  
Addiert man <math>(p/2)^2</math> auf beiden Seiten der Gleichung, so wissen wir wegen der quadratischen Ergänzung, dass man auf der linken Seite eine binomische Formel anwenden kann.
+
Addiert man <math>(\frac {p}{2})^2</math> auf beiden Seiten der Gleichung, so wissen wir wegen der quadratischen Ergänzung, dass man auf der linken Seite eine binomische Formel anwenden kann.
  
<math>x^2+px+(p/2)^2=(p/2)^2-q</math>
+
<math>x^2+p \cdot x+(\frac{p}{2})^2=(\frac{p}{2})^2-q</math>
  
<math>(x+(p/2))^2=(p/2)^2-q</math>
+
<math>(x+(\frac{p}{2}))^2=(\frac{p}{2})^2-q</math>
  
Also gilt
+
Also gilt:
  
<math>x+p/2=\sqrt{(p/2)^2-q}</math> oder <math>x+p/2=-\sqrt{(p/2)^2-q}</math>
+
<math>x+\frac {p}{2}=\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}</math> oder <math>x+\frac{p}{2}=-\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}</math>
  
 
Man erhält somit die Lösungen
 
Man erhält somit die Lösungen
  
<math>x_1=-p/2+\sqrt{(p/2)^2-q}</math> und <math>x_2=-p/2-\sqrt{(p/2)^2-q}</math>
+
<math>x_1=-\frac{p}{2}+\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}</math> und <math>x_2=-\frac{p}{2}-\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}</math>
  
{{Merke|Eine quadratische Gleichung der Form '''<math>x^2+px+q=0</math>''' kann man mithilfe der '''pq-Formel''' exakt lösen. Sie besitzt die beiden Lösungen:  
+
{{Merke|Eine quadratische Gleichung der Form <math>x^2+p\cdot x+q=0</math> kann man mithilfe der pq-Formel exakt lösen. Sie besitzt die beiden Lösungen:  
  
<math>x_1=-p/2+\sqrt{(p/2)^2-q}</math> und <math>x_2=-p/2-\sqrt{(p/2)^2-q}</math>}}
+
<math>x_1=-\frac{p}{2}+\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}</math> und <math>x_2=-\frac{p}{2}-\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}</math>}}
  
===Beispiel===
+
====Beispiel====
  
<math>x^2+5x+6=0</math> |<math>-6</math>
+
<math>x^2+5\cdot x+6=0</math> |<math>-6</math>
  
<math>x^2+5x=-6</math>
+
<math>x^2+5\cdot x=-6</math>
  
Wir addieren <math>(5/2)^2</math> auf beiden Seiten der Gleichung, um auf der linken Seite eine binomische Formel anwenden zu können.
+
Wir addieren <math>(\frac{5}{2})^2</math> auf beiden Seiten der Gleichung, um auf der linken Seite eine binomische Formel anwenden zu können.
  
<math>x^2+5x+(5/2)^2=(5/2)^2-6</math>
+
<math>x^2+5\cdot x+(\frac{5}{2})^2=(\frac{5}{2})^2-6</math>
  
<math>(x+5/2)^2=(5/2)^2-6</math>
+
<math>(x+\frac{5}{2})^2=(\frac{5}{2})^2-6</math>
  
Also gilt
+
Also gilt:
  
<math>x+5/2=\sqrt{(5/2)^2-6}</math> oder <math>x+5/2=-\sqrt{(5/2)^2-6}</math>
+
<math>x+\frac{5}{2}=\sqrt{(\frac{5}{2})^2-6}</math> oder <math>x+\frac{5}{2}=-\sqrt{(\frac{5}{2})^2-6}</math>
  
 
Man erhält somit die Lösungen
 
Man erhält somit die Lösungen
  
<math>x_1=-5/2+\sqrt{(5/2)^2-6}</math> und <math>x_2=-5/2-\sqrt{(5/2)^2-6}</math>
+
<math>x_1=-\frac{5}{2}+\sqrt{(\frac{5}{2})^2-6}</math> und <math>x_2=-\frac{5}{2}-\sqrt{(\frac{5}{2})^2-6}</math>
  
 
Also
 
Also
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<math>x_1=-2</math> und <math>x_2=-3</math>
 
<math>x_1=-2</math> und <math>x_2=-3</math>
  
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==Kompetenzerwartungen==
  
===Aufgabenstellung===
+
===Inhaltsbezogene Kompetenzen===
{{Aufgabe|
+
'''Lösen einer quadratischen Gleichung mithilfe der pq-Formel'''
+
  
Löse die Gleichung <math>4x^2+12x+6=0</math>  mithilfe der pq-Formel.}}
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Die Schülerinnen und Schüler
 +
* lösen einfache quadratische Gleichungen,
 +
* stellen lineare und quadratische Funktionen in verschiedenen Darstellungsformen dar,
 +
* deuten Parameter der Termdarstellungen von linearen und quadratischen Funktionen in der graphischen Darstellung.
  
<popup name="Lösung">
+
===Prozessbezogene Kompetenzen===
Da die Gleichung nicht in der Normalform vorliegt, muss man sie zunächst durch <math>4</math> dividieren, um die pq-Formel anwenden zu können. Man erhält <math>x^2+3x+1,5=0</math>. Somit ergibt sich also, dass <math>p=3</math> und <math>q=1,5</math> ist. Man kann diese Werte nun in die Formel einsetzen und erhält, dass <math>x_1=-3/2+\sqrt{(3/2)^2-1,5}</math> und <math>x_2=-3/2-\sqrt{(3/2)^2-1,5}</math>, also <math>x_1=-3/2+\sqrt{3/4}</math> und <math>x_2=-3/2-\sqrt{3/4}</math> ist.
+
 
</popup>
+
Die Schülerinnen und Schüler
 +
 
 +
* wählen geeignetes Werkzeug (z.B. Taschenrechner, Tabellenkalkulation, CAS) aus und nutzen es,
 +
* übersetzen Realsitutationen in mathematische Modelle und umgekehrt,
 +
* vergleichen und bewerten verschiedene mathematische Modelle für eine Realsituation,
 +
* erläutern mathematische Zusammenhänge und Einsichten mit eigenen Worten und präzisieren sie mit geeigneten Fachbegriffen.
  
 
==Vorschlag für eine handlungsorientierte Einführung==
 
==Vorschlag für eine handlungsorientierte Einführung==
 +
 
===Provokation===
 
===Provokation===
 +
 
Den Schülerinnen und Schülern wird folgendes Bild (s. unten) gezeigt. Sie sollen im Folgenden kurz überlegen und dann erklären, warum jeder der Terme
 
Den Schülerinnen und Schülern wird folgendes Bild (s. unten) gezeigt. Sie sollen im Folgenden kurz überlegen und dann erklären, warum jeder der Terme
  
[[Datei:Terme Plättchen.jpg]]
+
[[Datei:Terme Plättchen.jpg|center|400px]]
  
 
die Anzahl der Plättchen auf diesem Bild zählt.
 
die Anzahl der Plättchen auf diesem Bild zählt.
  
[[Datei:Plättchen.jpg]]
+
[[Datei:Plättchen.jpg|center|400px]]
 
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===Lernumgebung===
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+
'''Haptische Einführung'''
+
  
 +
===Haptische Einführung===
  
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==== Aufgabenstellung====
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{{Aufgabe|1=
 
Die Schülerinnen und Schüler sollen im Folgenden selber "Plättchenfiguren" zu vorgegebenen Termen legen.
 
Die Schülerinnen und Schüler sollen im Folgenden selber "Plättchenfiguren" zu vorgegebenen Termen legen.
  
 
Die Terme sind:
 
Die Terme sind:
  
[[Datei:Terme Plättchen II.jpg]]
+
[[Datei:Terme Plättchen II.jpg|center|400px]]
  
Die Schülerinnen und Schüler sollen so auf eine andere Art und Weise erfahren, warum man die quadratische Ergänzung vornimmt und warum sie funktioniert.
+
Die Schülerinnen und Schüler sollen so auf eine andere Art und Weise erfahren, warum man die quadratische Ergänzung vornimmt und warum sie funktioniert.}}
  
 
+
====Lösung====
'''Lösungen'''
+
  
 
Term 1
 
Term 1
<popup name="Lösung">
+
<popup name="Veranschaulichung">
[[Datei:Lösung Plättchen V.jpg]]
+
[[Datei:Lösung Plättchen V.jpg|center|400px]]
 
</popup>
 
</popup>
  
 
Term 2
 
Term 2
<popup name="Lösung">
+
<popup name="Veranschaulichung">
[[Datei:Lösung Plättchen II.jpg]]
+
[[Datei:Lösung Plättchen II.jpg|center|400px]]
 
</popup>
 
</popup>
  
 
Term 3
 
Term 3
<popup name="Lösung">
+
<popup name="Veranschaulichung">
[[Datei:Lösung Plättchen III.jpg]]
+
[[Datei:Lösung Plättchen III.jpg|center|400px]]
 
</popup>
 
</popup>
  
 
+
===Handlungsprodukt ===
'''Handlungsprodukt'''
+
  
 
Im Folgenden sollen die Schülerinnen und Schüler selbst Handlungsprodukte erstellen.
 
Im Folgenden sollen die Schülerinnen und Schüler selbst Handlungsprodukte erstellen.
  
 +
====Aufgabe 1====
 +
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=====Aufgabenstellung=====
 
{{Aufgabe|'''Von der Normalform zur Scheitelpunktform (Aufgabe 1)'''
 
{{Aufgabe|'''Von der Normalform zur Scheitelpunktform (Aufgabe 1)'''
  
Entwickelt mit Hilfe des TI-nspire CAS ein Programm, das Euch die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion ausgibt, wenn Ihr die Funktion in der Normalform <math>ax^2+bx+c</math> eingebt. Hier ein paar Tipps zur Konstruktion <popup name="Tipps">Ihr benötigt (wenigstens) ein Notes- und ein Graphs-Dokument und ihr braucht die Befehle "Definiere", "Ausblenden/Anzeigen", "Text" und "Berechnen".</popup>}}
+
Entwickelt mit Hilfe des TI-Nspire CAS ein Programm, das Euch die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion ausgibt, wenn Ihr die Funktion in der Normalform <math>ax^2+bx+c</math> eingebt. Hier ein paar Tipps zur Konstruktion <popup name="Tipps">Ihr benötigt (wenigstens) ein Notes- und ein Graphs-Dokument und ihr braucht die Befehle "Definiere", "Ausblenden/Anzeigen", "Text" und "Berechnen".</popup>}}
 
+
  
 +
=====Lösung=====
 +
{{Lösung|1=
 
'''Schritt 1'''
 
'''Schritt 1'''
 
<popup name="Lösung">
 
<popup name="Lösung">
 
Öffne ein Notes-Dokument und definiere dir die Variablen a, b und c der Normalform. Definiere dir auch die Variablen d und e der Scheitelpunktform. Finde durch eine schriftliche Rechnung heraus, wie d und e in Abhängigkeit von a, b und c dargestellt werden.
 
Öffne ein Notes-Dokument und definiere dir die Variablen a, b und c der Normalform. Definiere dir auch die Variablen d und e der Scheitelpunktform. Finde durch eine schriftliche Rechnung heraus, wie d und e in Abhängigkeit von a, b und c dargestellt werden.
  
[[Datei:Nf-Spf I.jpg]]
+
[[Datei:Nf-Spf I.jpg|center|300px]]
 
</popup>
 
</popup>
  
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Hast du die allgemeine Normalform korrekt in die Scheitelpunktform umgewandelt, erhältst du folgende Lösung: (anderes Vorzeichen ist möglich, Scheitelpunktform muss dementsprechend angepasst werden)
 
Hast du die allgemeine Normalform korrekt in die Scheitelpunktform umgewandelt, erhältst du folgende Lösung: (anderes Vorzeichen ist möglich, Scheitelpunktform muss dementsprechend angepasst werden)
  
[[Datei:Nf-Spf II.jpg]]
+
[[Datei:Nf-Spf II.jpg|center|300px]]
 
</popup>
 
</popup>
  
 
'''Schritt 3'''
 
'''Schritt 3'''
 
<popup name="Lösung">
 
<popup name="Lösung">
Nachdem du alle Variablen festgelegt hast, öffne ein Graphs-Dokument und blende die Graphen und Zahlen über ''Menü|1:Aktionen|3:Ausblenden/anzeigen'' aus.
+
Nachdem du alle Variablen festgelegt hast, öffne ein Graphs-Dokument und blende die Graphen und Zahlen aus.
  
[[Datei:Nf-Spf III.jpg]]
+
[[Datei:Nf-Spf III.jpg|center|300px]]
 
</popup>
 
</popup>
  
 
'''Schritt 4'''
 
'''Schritt 4'''
 
<popup name="Lösung">
 
<popup name="Lösung">
Schreibe per ''Menü|1:Aktionen|6:Text'' Normalform, Scheitelpunktform und die fünf Variablen a,b,c,d und e auf deine Seite.
+
Schreibe Normalform, Scheitelpunktform und die fünf Variablen a,b,c,d und e auf deine Seite.
  
[[Datei:Nf-Spf IV.jpg]]
+
[[Datei:Nf-Spf IV.jpg|center|300px]]
 
</popup>
 
</popup>
  
 
'''Schritt 5'''
 
'''Schritt 5'''
 
<popup name="Lösung">
 
<popup name="Lösung">
Benutze im nächsten Schritt ''Menü|1:Aktionen|8:Berechnen'' und klicke dann eine der Variablen an. Durch drücken von "l" erhältst du den Wert der Variablen, den du auf der vorherigen Notes-Seite definiert hattest. Diesen kannst du nun an eine beliebige Stelle deiner Seite verschieben.
+
Benutze im nächsten Schritt die Funktion "Berechnen" und klicke dann eine der Variablen an. Du erhälst den Wert der Variablen, den du auf der vorherigen Notes-Seite definiert hattest. Diesen kannst du nun an eine beliebige Stelle deiner Seite verschieben.
  
[[Datei:Nf-Spf V.jpg]]
+
[[Datei:Nf-Spf V.jpg|center|300px]]
  
[[Datei:Nf-Spf VI.jpg]]
+
[[Datei:Nf-Spf VI.jpg|center|300px]]
 
</popup>
 
</popup>
  
 
'''Schritt 6'''
 
'''Schritt 6'''
 
<popup name="Lösung">
 
<popup name="Lösung">
Durch Hinzufügen und Verschieben weiterer Textbausteine per ''Menü|1:Aktionen|6:Text'' kannst du dir deinen Umformer "zusammenbasteln".
+
Durch Hinzufügen und Verschieben weiterer Textbausteine kannst du dir deinen Umformer "zusammenbasteln".
  
[[Datei:Nf-Spf VII.jpg]]
+
[[Datei:Nf-Spf VII.jpg|center|300px]]
 
</popup>
 
</popup>
  
 
'''Schritt 7'''
 
'''Schritt 7'''
 
<popup name="Lösung">
 
<popup name="Lösung">
Nach Ausblenden der Variablen durch ''Menü|1:Aktionen|3:Ausblenden/anzeigen'' ist der Umwandler fertig :) Du kannst dir nun die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion in der Normalform anzeigen lassen indem du die Variablen a,b und c der Normalform im Notes-Dokument festlegst.
+
Nach Ausblenden der Variablen ist der Umwandler fertig. Du kannst dir nun die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion in der Normalform anzeigen lassen, indem du die Variablen a, b und c der Normalform im Notes-Dokument festlegst.
  
 +
[[Datei:Nf-Spf X.jpg|center|300px]]
 
</popup>
 
</popup>
  
 +
'''Hier das fertige Programm:''' [[Datei: Nf - Spf.tns]]}}
  
 +
====Aufgabe 2====
 +
=====Aufgabenstellung=====
 
{{Aufgabe|'''Lösungen einer quadratischen Gleichung (Aufgabe 2)'''
 
{{Aufgabe|'''Lösungen einer quadratischen Gleichung (Aufgabe 2)'''
  
Entwickelt mit Hilfe des TI-nspire CAS ein Programm, das Euch die Lösungen einer quadratischen Gleichung <math>x^2+px+q=0</math> ausgibt, wenn man feste aber beliebige Parameter <math>p</math> und <math>q</math> hat.<popup name="Tipps">Du benötigst ein Notes-Dokument und den Befehl "Definiere".</popup>}}
+
Entwickelt mit Hilfe des TI-nspire CAS ein Programm, das Euch die Lösungen einer quadratischen Gleichung <math>x^2+p \cdot x+q=0</math> ausgibt, wenn man feste aber beliebige Parameter <math>p</math> und <math>q</math> hat.<popup name="Tipps">Du benötigst ein Notes-Dokument und den Befehl "Definiere".</popup>}}
  
 +
=====Lösung=====
 +
{{Lösung|1=
 
'''Schritt 1'''
 
'''Schritt 1'''
 
<popup name="Lösung">
 
<popup name="Lösung">
 
Öffne ein Notes-Dokument und definiere dir die Variablen p und q.
 
Öffne ein Notes-Dokument und definiere dir die Variablen p und q.
  
[[Datei:pq-Formel I.jpg]]
+
[[Datei:pq-Formel I.jpg|center|300px]]
 
</popup>
 
</popup>
  
 
'''Schritt 2'''
 
'''Schritt 2'''
 
<popup name="Lösung">
 
<popup name="Lösung">
Notiere dir die quadratische Gleichung in der Form <math>0=x^2+px+q</math>. Der Rechner setzt deine eingegebenen Werte für p und q automatisch ein.
+
Notiere dir die quadratische Gleichung in der Form <math>0=x^2+p \cdot x+q</math>. Der Rechner setzt deine eingegebenen Werte für p und q automatisch ein.
  
[[Datei:pq-Formel II.jpg]]
+
[[Datei:pq-Formel II.jpg|center|300px]]
 
</popup>
 
</popup>
  
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<popup name="Lösung">
 
<popup name="Lösung">
 
Gebe nun die Lösungen für x, für die die Gleichung 0 ergibt, in Abhängigkeit von p und q in dein Dokument ein. Solltest du diese nicht kennen, musst du die Gleichung zunächst mit Hilfe der quadratischen Ergänzung nach x umformen.
 
Gebe nun die Lösungen für x, für die die Gleichung 0 ergibt, in Abhängigkeit von p und q in dein Dokument ein. Solltest du diese nicht kennen, musst du die Gleichung zunächst mit Hilfe der quadratischen Ergänzung nach x umformen.
Hast du das geschafft, ist dein pq-Formel-Programm fertig. Du kannst die Werte für p und q verändern und das Programm gibt dir direkt die Lösungen der Gleichung aus.
+
Hast du das geschafft, ist dein pq-Formel-Programm fertig. Du kannst die Werte für p und q verändern, das Programm gibt dir direkt die Lösungen der Gleichung aus.
  
[[Datei:pq-Formel III.jpg]]
+
[[Datei:pq-Formel III.jpg|center|300px]]
 
</popup>
 
</popup>
 +
 +
'''Hier das fertige Programm:''' [[Datei:pq-Formel.tns]]}}
  
 
===Vorschläge für Erweiterungen===
 
===Vorschläge für Erweiterungen===
 
Vorschläge zur Erweiterung der entwickelten Programme:
 
Vorschläge zur Erweiterung der entwickelten Programme:
 
* Wie müsste man die Formel in Aufgabe 1 verändern, wenn man ein Programm haben möchte, das den Schülern die Normalform einer Funktion ausgibt, wenn sie in der Scheitelpunktform vorliegt?
 
* Wie müsste man die Formel in Aufgabe 1 verändern, wenn man ein Programm haben möchte, das den Schülern die Normalform einer Funktion ausgibt, wenn sie in der Scheitelpunktform vorliegt?
* Wie müsste man die Formel in Aufgabe 2 verändern, wenn die Gleichung in der Form <math>x^2+px+q=c</math> vorliegt?
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* Wie müsste man die Formel in Aufgabe 2 verändern, wenn die Gleichung in der Form <math>x^2+p \cdot x+q=c</math> vorliegt?
* Wie müsste man die Formel in Aufgabe 2 verändern, wenn die Gleichung in der Normalform <math>ax^2+bx+c=0</math> vorliegt?
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* Wie müsste man die Formel in Aufgabe 2 verändern, wenn die Gleichung in der Normalform <math>a \cdot x^2+b \cdot x+c=0</math> vorliegt?
  
 
==Quellen==
 
==Quellen==
 
* Kernlehrplan Mathematik NRW G8: Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen
 
* Kernlehrplan Mathematik NRW G8: Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen
 
* Lambacher Schweizer 9, Ausgabe Nordrhein-Westfalen, Neubearbeitung 2009, Ausgabe für das 8-jährige Gymnasium
 
* Lambacher Schweizer 9, Ausgabe Nordrhein-Westfalen, Neubearbeitung 2009, Ausgabe für das 8-jährige Gymnasium
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Aktuelle Version vom 20. April 2018, 17:50 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Einführung in das Thema

In diesem Kapitel sollen die quadratische Ergänzung und die pq-Formel als Methoden zur Lösung von Aufgaben, denen quadratischen Funktionen zu Grunde liegen, beschrieben und erläutert werden. Die Themen der quadratischen Ergänzung und der pq-Formel richten sich vornehmlich an Schüler und Schülerinnen der 9. Klasse.

Fachlicher Hintergrund

Quadratische Ergänzung

Herleitung

Ist eine Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform f(x) =a \cdot (x-d)^2+e angegeben, kann man den Scheitelpunkt S(d|e) direkt ablesen. Wenn die Funktionsgleichung aber nun in der Normalform f(x) =a \cdot x^2+b \cdot x+c angegeben ist, muss man diese zunächst in die Scheitelpunktform umformen, um den Scheitelpunkt ablesen zu können. Hierfür benutzt man die quadratische Ergänzung. Diese kann in drei Schritten durchgeführt werden.

1. Schritt

Bei dem angegebenen Funktionsterm betrachtet man nur den Teilterm x^2+b \cdot x. Dieser entspricht in der 1. Binomischen Formel dem Term x^2+2 \cdot x \cdot d. Um x^2+b \cdot x in den Klammerausdruck (x-d)^2 zu überführen, sucht man nun den Wert für d, um d^2 ergänzen zu können.

2. Schritt

Aus x^2+b \cdot x=x^2+2 \cdot x \cdot d erhält man durch Vergleichen, dass b=2 \cdot d, also d=\frac{b}{2} ist. Der Faktor vor dem x wird demnach halbiert. d^2 wird ergänzt, also addiert, und wieder subtrahiert, so dass sich der Wert des Terms nicht ändert.

3. Schritt

Aufstellen des Klammerausdrucks (x-d)^2 mithilfe der binomischen Formeln und Berechnen von e.

Beispiel

Als Beispiel soll die Funktionsgleichung f(x) =x^2+6 \cdot x+15 dienen.

1. Schritt f(x) =x^2+6 \cdot x+15 =x^2+6 \cdot x+d^2-d^2+15=(x-d)^2-d^2+15

2. Schritt d=\frac{6}{2}=3, also ist f(x) =x^2+6\cdot x+3^2-3^2+15

3. Schritt f(x) =x^2+6 \cdot x+3^2-3^2+15 <=> f(x) =(x+3)^2+6

pq-Formel

Herleitung

Quadratische Gleichungen wurden rechnerisch bisher mithilfe der quadratischen Ergänzung gelöst. Wenn man dieses Verfahren auf die allgemeine Normalform x^2+p\cdot x+q=0 anwendet, erhält man eine allgemeingültige Formel für die Lösungen dieser quadratischen Gleichung.

Im Folgenden wird die pq-Formel mithilfe der quadratischen Ergänzung hergeleitet:

x^2+p\cdot x+q=0 |-q

x^2+p \cdot x=-q

Addiert man (\frac {p}{2})^2 auf beiden Seiten der Gleichung, so wissen wir wegen der quadratischen Ergänzung, dass man auf der linken Seite eine binomische Formel anwenden kann.

x^2+p \cdot x+(\frac{p}{2})^2=(\frac{p}{2})^2-q

(x+(\frac{p}{2}))^2=(\frac{p}{2})^2-q

Also gilt:

x+\frac {p}{2}=\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} oder x+\frac{p}{2}=-\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}

Man erhält somit die Lösungen

x_1=-\frac{p}{2}+\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} und x_2=-\frac{p}{2}-\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}

Maehnrot.jpg
Merke:

Eine quadratische Gleichung der Form x^2+p\cdot x+q=0 kann man mithilfe der pq-Formel exakt lösen. Sie besitzt die beiden Lösungen:

x_1=-\frac{p}{2}+\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} und x_2=-\frac{p}{2}-\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}

Beispiel

x^2+5\cdot x+6=0 |-6

x^2+5\cdot x=-6

Wir addieren (\frac{5}{2})^2 auf beiden Seiten der Gleichung, um auf der linken Seite eine binomische Formel anwenden zu können.

x^2+5\cdot x+(\frac{5}{2})^2=(\frac{5}{2})^2-6

(x+\frac{5}{2})^2=(\frac{5}{2})^2-6

Also gilt:

x+\frac{5}{2}=\sqrt{(\frac{5}{2})^2-6} oder x+\frac{5}{2}=-\sqrt{(\frac{5}{2})^2-6}

Man erhält somit die Lösungen

x_1=-\frac{5}{2}+\sqrt{(\frac{5}{2})^2-6} und x_2=-\frac{5}{2}-\sqrt{(\frac{5}{2})^2-6}

Also

x_1=-2 und x_2=-3

Kompetenzerwartungen

Inhaltsbezogene Kompetenzen

Die Schülerinnen und Schüler

  • lösen einfache quadratische Gleichungen,
  • stellen lineare und quadratische Funktionen in verschiedenen Darstellungsformen dar,
  • deuten Parameter der Termdarstellungen von linearen und quadratischen Funktionen in der graphischen Darstellung.

Prozessbezogene Kompetenzen

Die Schülerinnen und Schüler

  • wählen geeignetes Werkzeug (z.B. Taschenrechner, Tabellenkalkulation, CAS) aus und nutzen es,
  • übersetzen Realsitutationen in mathematische Modelle und umgekehrt,
  • vergleichen und bewerten verschiedene mathematische Modelle für eine Realsituation,
  • erläutern mathematische Zusammenhänge und Einsichten mit eigenen Worten und präzisieren sie mit geeigneten Fachbegriffen.

Vorschlag für eine handlungsorientierte Einführung

Provokation

Den Schülerinnen und Schülern wird folgendes Bild (s. unten) gezeigt. Sie sollen im Folgenden kurz überlegen und dann erklären, warum jeder der Terme

Terme Plättchen.jpg

die Anzahl der Plättchen auf diesem Bild zählt.

Plättchen.jpg

Haptische Einführung

Aufgabenstellung

Stift.gif   Aufgabe

Die Schülerinnen und Schüler sollen im Folgenden selber "Plättchenfiguren" zu vorgegebenen Termen legen.

Die Terme sind:

Terme Plättchen II.jpg

Die Schülerinnen und Schüler sollen so auf eine andere Art und Weise erfahren, warum man die quadratische Ergänzung vornimmt und warum sie funktioniert.

Lösung

Term 1

Term 2

Term 3

Handlungsprodukt

Im Folgenden sollen die Schülerinnen und Schüler selbst Handlungsprodukte erstellen.

Aufgabe 1

Aufgabenstellung
Stift.gif   Aufgabe

Von der Normalform zur Scheitelpunktform (Aufgabe 1)

Entwickelt mit Hilfe des TI-Nspire CAS ein Programm, das Euch die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion ausgibt, wenn Ihr die Funktion in der Normalform ax^2+bx+c eingebt. Hier ein paar Tipps zur Konstruktion
Lösung
Information icon.svg Lösung

Schritt 1

Schritt 2

Schritt 3

Schritt 4

Schritt 5

Schritt 6

Schritt 7

Hier das fertige Programm: Datei:Nf - Spf.tns


Aufgabe 2

Aufgabenstellung
Stift.gif   Aufgabe

Lösungen einer quadratischen Gleichung (Aufgabe 2)

Entwickelt mit Hilfe des TI-nspire CAS ein Programm, das Euch die Lösungen einer quadratischen Gleichung x^2+p \cdot x+q=0 ausgibt, wenn man feste aber beliebige Parameter p und q hat.
Lösung
Information icon.svg Lösung

Schritt 1

Schritt 2

Schritt 3

Hier das fertige Programm: Datei:Pq-Formel.tns


Vorschläge für Erweiterungen

Vorschläge zur Erweiterung der entwickelten Programme:

  • Wie müsste man die Formel in Aufgabe 1 verändern, wenn man ein Programm haben möchte, das den Schülern die Normalform einer Funktion ausgibt, wenn sie in der Scheitelpunktform vorliegt?
  • Wie müsste man die Formel in Aufgabe 2 verändern, wenn die Gleichung in der Form x^2+p \cdot x+q=c vorliegt?
  • Wie müsste man die Formel in Aufgabe 2 verändern, wenn die Gleichung in der Normalform a \cdot x^2+b \cdot x+c=0 vorliegt?

Quellen

  • Kernlehrplan Mathematik NRW G8: Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen
  • Lambacher Schweizer 9, Ausgabe Nordrhein-Westfalen, Neubearbeitung 2009, Ausgabe für das 8-jährige Gymnasium