Quadratische Ergänzung und pq-Formel

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Inhaltsverzeichnis

Einführung in das Thema

In diesem Kapitel sollen die quadratische Ergänzung und die pq-Formel als Methoden zur Lösung von Aufgaben, denen quadratischen Funktionen zu Grunde liegen, beschrieben und erläutert werden. Die Themen der quadratischen Ergänzung und der pq-Formel richten sich vornehmlich an Schüler und Schülerinnen der 9. Klasse.

Fachlicher Hintergrund

Quadratische Ergänzung

Herleitung

Ist eine Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform f(x) =a \cdot (x-d)^2+e angegeben, kann man den Scheitelpunkt S(d|e) direkt ablesen. Wenn die Funktionsgleichung aber nun in der Normalform f(x) =a \cdot x^2+b \cdot x+c angegeben ist, muss man diese zunächst in die Scheitelpunktform umformen, um den Scheitelpunkt ablesen zu können. Hierfür benutzt man die quadratische Ergänzung. Diese kann in drei Schritten durchgeführt werden.

1. Schritt

Bei dem angegebenen Funktionsterm betrachtet man nur den Teilterm x^2+b \cdot x. Dieser entspricht in der 1. Binomischen Formel dem Term x^2+2 \cdot x \cdot d. Um x^2+b \cdot x in den Klammerausdruck (x-d)^2 zu überführen, sucht man nun den Wert für d, um d^2 ergänzen zu können.

2. Schritt

Aus x^2+b \cdot x=x^2+2 \cdot x \cdot d erhält man durch Vergleichen, dass b=2 \cdot d, also d=\frac{b}{2} ist. Der Faktor vor dem x wird demnach halbiert. d^2 wird ergänzt, also addiert, und wieder subtrahiert, so dass sich der Wert des Terms nicht ändert.

3. Schritt

Aufstellen des Klammerausdrucks (x-d)^2 mithilfe der binomischen Formeln und Berechnen von e.

Beispiel

Als Beispiel soll die Funktionsgleichung f(x) =x^2+6 \cdot x+15 dienen.

1. Schritt f(x) =x^2+6 \cdot x+15 =x^2+6 \cdot x+d^2-d^2+15=(x-d)^2-d^2+15

2. Schritt d=\frac{6}{2}=3, also ist f(x) =x^2+6\cdot x+3^2-3^2+15

3. Schritt f(x) =x^2+6 \cdot x+3^2-3^2+15 <=> f(x) =(x+3)^2+6

pq-Formel

Herleitung

Quadratische Gleichungen wurden rechnerisch bisher mithilfe der quadratischen Ergänzung gelöst. Wenn man dieses Verfahren auf die allgemeine Normalform x^2+p\cdot x+q=0 anwendet, erhält man eine allgemeingültige Formel für die Lösungen dieser quadratischen Gleichung.

Im Folgenden wird die pq-Formel mithilfe der quadratischen Ergänzung hergeleitet:

x^2+p\cdot x+q=0 |-q

x^2+p \cdot x=-q

Addiert man (\frac {p}{2})^2 auf beiden Seiten der Gleichung, so wissen wir wegen der quadratischen Ergänzung, dass man auf der linken Seite eine binomische Formel anwenden kann.

x^2+p \cdot x+(\frac{p}{2})^2=(\frac{p}{2})^2-q

(x+(\frac{p}{2}))^2=(\frac{p}{2})^2-q

Also gilt:

x+\frac {p}{2}=\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} oder x+\frac{p}{2}=-\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}

Man erhält somit die Lösungen

x_1=-\frac{p}{2}+\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} und x_2=-\frac{p}{2}-\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}

Maehnrot.jpg
Merke:

Eine quadratische Gleichung der Form x^2+p\cdot x+q=0 kann man mithilfe der pq-Formel exakt lösen. Sie besitzt die beiden Lösungen:

x_1=-\frac{p}{2}+\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} und x_2=-\frac{p}{2}-\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}

Beispiel

x^2+5\cdot x+6=0 |-6

x^2+5\cdot x=-6

Wir addieren (\frac{5}{2})^2 auf beiden Seiten der Gleichung, um auf der linken Seite eine binomische Formel anwenden zu können.

x^2+5\cdot x+(\frac{5}{2})^2=(\frac{5}{2})^2-6

(x+\frac{5}{2})^2=(\frac{5}{2})^2-6

Also gilt:

x+\frac{5}{2}=\sqrt{(\frac{5}{2})^2-6} oder x+\frac{5}{2}=-\sqrt{(\frac{5}{2})^2-6}

Man erhält somit die Lösungen

x_1=-\frac{5}{2}+\sqrt{(\frac{5}{2})^2-6} und x_2=-\frac{5}{2}-\sqrt{(\frac{5}{2})^2-6}

Also

x_1=-2 und x_2=-3

Kompetenzerwartungen

Inhaltsbezogene Kompetenzen

Die Schülerinnen und Schüler

  • lösen einfache quadratische Gleichungen,
  • stellen lineare und quadratische Funktionen in verschiedenen Darstellungsformen dar,
  • deuten Parameter der Termdarstellungen von linearen und quadratischen Funktionen in der graphischen Darstellung.

Prozessbezogene Kompetenzen

Die Schülerinnen und Schüler

  • wählen geeignetes Werkzeug (z.B. Taschenrechner, Tabellenkalkulation, CAS) aus und nutzen es,
  • übersetzen Realsitutationen in mathematische Modelle und umgekehrt,
  • vergleichen und bewerten verschiedene mathematische Modelle für eine Realsituation,
  • erläutern mathematische Zusammenhänge und Einsichten mit eigenen Worten und präzisieren sie mit geeigneten Fachbegriffen.

Vorschlag für eine handlungsorientierte Einführung

Provokation

Den Schülerinnen und Schülern wird folgendes Bild (s. unten) gezeigt. Sie sollen im Folgenden kurz überlegen und dann erklären, warum jeder der Terme

Terme Plättchen.jpg

die Anzahl der Plättchen auf diesem Bild zählt.

Plättchen.jpg

Haptische Einführung

Aufgabenstellung

Stift.gif   Aufgabe

Die Schülerinnen und Schüler sollen im Folgenden selber "Plättchenfiguren" zu vorgegebenen Termen legen.

Die Terme sind:

Terme Plättchen II.jpg

Die Schülerinnen und Schüler sollen so auf eine andere Art und Weise erfahren, warum man die quadratische Ergänzung vornimmt und warum sie funktioniert.

Lösung

Term 1

Term 2

Term 3

Handlungsprodukt

Im Folgenden sollen die Schülerinnen und Schüler selbst Handlungsprodukte erstellen.

Aufgabe 1

Aufgabenstellung
Stift.gif   Aufgabe

Von der Normalform zur Scheitelpunktform (Aufgabe 1)

Entwickelt mit Hilfe des TI-Nspire CAS ein Programm, das Euch die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion ausgibt, wenn Ihr die Funktion in der Normalform ax^2+bx+c eingebt. Hier ein paar Tipps zur Konstruktion
Lösung
Information icon.svg Lösung

Schritt 1

Schritt 2

Schritt 3

Schritt 4

Schritt 5

Schritt 6

Schritt 7

Hier das fertige Programm: Datei:Nf - Spf.tns


Aufgabe 2

Aufgabenstellung
Stift.gif   Aufgabe

Lösungen einer quadratischen Gleichung (Aufgabe 2)

Entwickelt mit Hilfe des TI-nspire CAS ein Programm, das Euch die Lösungen einer quadratischen Gleichung x^2+p \cdot x+q=0 ausgibt, wenn man feste aber beliebige Parameter p und q hat.
Lösung
Information icon.svg Lösung

Schritt 1

Schritt 2

Schritt 3

Hier das fertige Programm: Datei:Pq-Formel.tns


Vorschläge für Erweiterungen

Vorschläge zur Erweiterung der entwickelten Programme:

  • Wie müsste man die Formel in Aufgabe 1 verändern, wenn man ein Programm haben möchte, das den Schülern die Normalform einer Funktion ausgibt, wenn sie in der Scheitelpunktform vorliegt?
  • Wie müsste man die Formel in Aufgabe 2 verändern, wenn die Gleichung in der Form x^2+p \cdot x+q=c vorliegt?
  • Wie müsste man die Formel in Aufgabe 2 verändern, wenn die Gleichung in der Normalform a \cdot x^2+b \cdot x+c=0 vorliegt?

Quellen

  • Kernlehrplan Mathematik NRW G8: Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen
  • Lambacher Schweizer 9, Ausgabe Nordrhein-Westfalen, Neubearbeitung 2009, Ausgabe für das 8-jährige Gymnasium