Quadratische Funktionen und Gleichungen: Unterschied zwischen den Versionen

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== Einführung: ==
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== Einführung ==
  
In dieser Ausarbeitung wird das Thema der quadratischen Funktionen in der Sekundarstufe 1 behandelt. So soll eine Einführung in die Kernlehrpläne, ebenso wie in mögliche Anwendungen des CAS geben werden. Weiterhin gibt es einen kurzen didaktischen Kommentar, sowie eine Extremwertaufgabe. Herauszustreichen bleibt, dass quadratische Funktionen die Grundlage für die spätere Funktionsbetrachtungen der Gymnasialen Oberstufe sind.  
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In dieser Ausarbeitung wird das Thema der [[Quadratische Funktionen|quadratischen Funktionen]] in der Sekundarstufe 1 behandelt. So soll eine Einführung in die Kernlehrpläne ebenso wie in mögliche Anwendungen des [[CAS]] gegeben werden. Herauszustreichen bleibt, dass quadratische Funktionen die Grundlage für die spätere Funktionsbetrachtung der Gymnasialen Oberstufe sind.
  
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== Fachlicher Hintergrund ==
  
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*Normalparabel: <math> f(x) =x^2</math>
  
== Einführung in den Lehrplan: ==
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*Parabel mit Streckfaktor: <math>f(x) =a \cdot x^2</math>
  
In den Kernlehrplänen G8 stehen folgende für quadratische Gleichungen relevanten Forderungen:  
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*Parabel mit vertikaler Verschiebung: <math>f(x) =a \cdot x^2+e</math>
  
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*Normalform: <math>f(x) =a \cdot x^2+b \cdot x+c</math>
  
=== Inhaltsbezogene Kompetenzen: ===
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*Scheitelpunktsform: <math>f(x) =a \cdot (x+e)^2+d</math> mit dem Scheitelpunkt: S(-e|d)
  
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== Einführung in den Lehrplan ==
  
• Die SuS lösen einfache quadratische Gleichungen
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In den Kernlehrplänen G8 befinden sich folgende, für quadratische Gleichungen relevante Forderungen:
  
• Stellen lineare und quadratische Funktionen in verschiedenen Darstellungsformen dar
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=== Inhaltsbezogene Kompetenzen ===
  
• Deuten Parameter der Termdarstellungen von linearen und quadratischen Funktionen in der grafischen Darstellung  
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*Die SuS lösen einfache quadratische Gleichungen.
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*Sie stellen lineare und quadratische Funktionen in verschiedenen Darstellungsformen dar.
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*Sie deuten Parameter der Termdarstellungen von linearen und quadratischen Funktionen in der grafischen Darstellung.
  
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=== Prozessbezogene Kompetenzen ===
  
=== Prozessbezogene Kompetenzen: ===
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*SuS zerlegen Probleme in Teilprobleme.
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*Sie wenden die Problemlösestrategien „Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten“ an.
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*Sie übersetzen Realsituationen in mathematische Modelle und umgekehrt.
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*Sie vergleichen und bewerten verschiedene mathem. Modelle für eine Realsituation.
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*Sie wählen geeignetes Werkzeug (z.B. Tabellen-Kalkulation, CAS) aus und nutzen es.
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*Sie erläutern mathematische Zusammenhänge und Einsichten mit eigenen Worten und präzisieren sie mit geeigneten Fachbegriffen.
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*Sie überprüfen und bewerten Problembearbeitungen.
  
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=== Kompetenzerwartungen ===
  
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*Die SuS können die verschiedenen Lösungsansätze (Faktorisieren, Satz von Vieta, pq-Formel) zum Lösen einfacher quadratischer Gleichungen begründet anwenden.
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*Sie können Aussagen bzgl. der Lösbarkeit und Lösungsvielfalt quadratischer Gleichungen formulieren.
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*Sie können Excel bzw. Derive nutzen, um quadratische Gleichungen grafisch darzustellen und so deren Lösung zu überprüfen oder abzuschätzen.
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*Sie können reale Sachverhalte (Wurfparabeln, Brücken,…) durch Parabelgleichungen ausdrücken.
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*Sie können Funktionsgleichungen sinnvoll verändern (allg. Form, Normalform, Scheitelpunktform) und hierbei den Einfluss der Parameter deuten.
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*Sie können die Vor- und Nachteile der Darstellungsformen (Tabelle, Graph, Gleichung) benennen und sie sinnvoll zur Lösung von inner- und außermathematischen Problemstellungen nutzen.
  
• SuS zerlegen Probleme in Teilprobleme
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== Anwendung des CAS ==
  
• Wenden die Problemlösestrategien „Vorwärts- und Rückwertsarbeiten“ an
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=== Veranschaulichung des Streckfaktors ===
  
• Übersetzen Realsituationen in mathematische Modelle und umgekehrt
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Mit Hilfe eines Schiebereglers können SuS selbst und ohne ständig neue Zeichnungen anzulegen, selbst erkunden, wie sich der Streckfaktor auf die Parabel auswirkt.
  
• Vergleichen und bewerten verschiedene mathem. Modelle für eine Realsituation
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'''Darstellung einer Normalparabel mit dem Streckfaktor a=1'''
  
• Wählen geeignetes Werkzeug (z.B. Tabellen-kalkulation, CAS) aus und nutzen es
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<popup name="Veranschaulichung">[[Bild:Normal_Parabel_Schieberegler_kleiner.JPG|center|500px]]</popup>
  
• Erläutern mathem. Zusammenhänge und Einsichten mit eigenen Worten und präzisieren sie mit geeigneten Fachbegriffen
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'''Darstellung einer gestauchten Parabel mit Streckfaktor a=7,8'''
  
• Überprüfen und bewerten Problembearbeitungen 
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<popup name="Veranschaulichung">[[Bild:Gestauchte_Parabel_kleiner.JPG|center|500px]]</popup>
  
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'''Darstellung einer gestreckten Parabel mit Streckfaktor a=0.12'''
  
=== Kompetenzerwartungen: ===
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<popup name="Veranschaulichung">[[Bild:Gestreckte_Parabel_Schieberegler_kleiner.JPG|center|500px]]</popup>
  
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'''Darstellung einer Parabel mit negativem Streckfaktor mit a=-0.75'''
  
• Die SuS können die verschiedenen Lösungsansätze (Faktorisieren, Satz von Vieta, pq-Formel) zum Lösen einfacher quadratischer  Gleichungen begründet anwenden
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<popup name="Veranschaulichung">[[Bild:Negativer_Vorfaktor_Schieberegler_kleiner.JPG|center|500px]]</popup>
  
• Können Aussagen bzgl. der Lösbarkeit und Lösungsvielfalt quadratischer Gleichungen formulieren
 
  
• *können Excel bzw. Derive nutzen, um quadratische Gleichungen grafisch darzustellen und so deren Lösung zu überprüfen oder abzuschätzen
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=== Veranschaulichung der vertikalen Verschiebung ===
  
• Können reale Sachverhalte (Wurfparabeln, Brücken,…) durch Parabelgleichungen ausdrücken
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'''Verschiebung nach oben mit e=2'''
  
• Können Funktionsgleichungen sinnvoll verändern (allg. Form, Normalform, Scheitelpunktform) und hierbei den Einfluss der Parameter deuten
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<popup name="Veranschaulichung">[[Bild:Verschiebung_oben.JPG|center|500px]]</popup>
  
• Können die Vor- und Nachteile der Darstellungsformen (Tabelle, Graf, Gleichung) benennen und sie sinnvoll zur Lösung  von    inner- und außermathematischen Problemstellungen nutzen 
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'''Verschiebung nach unten mit e=-4'''
  
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<popup name="Veranschaulichung">[[Bild:Verschiebung_unten.JPG|center|500px]]</popup>
  
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=== Normalform===
  
== Darstellungsformen und Formeln: ==
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Mit Hilfe der Schieberegler lässt sich die Seitenverschiebung sowie der Schnittpunkt mit der y-Achse bestimmen. Diese Verbindung zwischen Parameter und Parabel können Schüler ohne größere Hilfe selbst erarbeiten.
  
Normalparabel:  
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<popup name="Veranschaulichung">[[Bild:Parabel_Normalform_Schieberegler_Rechts.JPG|center|500px]]
  
<math> f(x) =x^2</math>
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[[Bild:Parabel_Normalform_Schieberegler.JPG|center|500px]]</popup>
  
Parabel mit Streckfaktor:
+
===Scheitelpunktsform===
  
<math>f(x) =a*x^2</math>
+
Mit Hilfe der Schieberegler lässt sich die Parabel verschieben und der Scheitelpunkt verfolgen. So wird auf eindrucksvolleweise veranschaulicht, wie sich die Parameter in der Scheitelpunktsform auf den Scheitelpunkt auswirken. Es könnte sogar möglich seien, dass die Schüler so selbstständig erarbeiten, wie sich die Parameter in den Koordinaten des Scheitelpunktes wiederfinden.
  
Parabel mit vertikaler Verschiebung:  
+
<popup name="Veranschaulichung">[[Bild:Scheitelpunkt.JPG|center|500px]]</popup>
  
<math>f(x) =a*x^2+e</math>
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== Aufgaben ==
  
Normalform:
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===Aufgabe 1===
  
<math>f(x) =a*x^2+b*x+c</math>
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==== Aufgabenstellung ====
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{{Aufgabe|Eine parabelförmige Brückenaufhängung ist an ihrer höchsten Stelle 10 m hoch. Die Gesamtlänge der Konstruktion beläuft sich auf 28,18 m.
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Gib einen Funktionsterm an, der die Aufhängung der Brücke beschreibt, damit die Länge für weitere Stützen berechnet werden kann. Berechne zum Beispiel die Länge der Befestigung 7 m vom Mittelpunkt der Brücke.}}
  
Scheitelpunktsform:
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====Lösung====
  
<math>f(x) =a*(x+e)^2+d</math> mit dem Scheitelpunkt: S(-e|d)
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{{Lösung|1=
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+
Als Erstes sollte man die Informationen aus der Aufgabe nutzen, um Punktkoordinaten zu bestimmen und diese möglichst geschickt in ein Koordinatensystem einzeichnen:
  
== Anwendung des CAS: ==
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<popup name="Veranschaulichung">[[Bild:BrückeSchritt1.JPG|center|500px]]</popup>
 
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=== Veranschaulichung des Streckfaktors: ===
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+
Mit Hilfe eines Schiebereglers können SuS selbst und ohne ständig neue langwierige Zeichnungen anzulegen, selbst erkunden, wie sich der Streckfaktor auf die Parabel auswirkt. Die Technologie dient der Veranschaulichung und spart Zeit.
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'''Darstellung einer Normalparabel mit dem Streckfaktor a=1:'''
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[[Bild:Normal_Parabel_Schieberegler_kleiner.JPG|center|700px]]
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'''Darstellung einer gestauchten Parabel mit Streckfaktor a=7,8:'''
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[[Bild:Gestauchte_Parabel_kleiner.JPG|center|700px]]
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'''Darstellung einer gestreckten Parabel mit Streckfaktor a=0.12:'''
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[[Bild:Gestreckte_Parabel_Schieberegler_kleiner.JPG|center|700px]]
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'''Darstellung einer Parabel mit negativem Streckfaktor mit a=-0.75 '''
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[[Bild:Negativer_Vorfaktor_Schieberegler_kleiner.JPG|center|700px]]
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=== Veranschaulichung der vertikalen Verschiebung: ===
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'''Verschiebung nach oben mit e=2:'''
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[[Bild:Verschiebung_oben.JPG|center|700px]]
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'''Verschiebung nach unten mit e=-4:'''
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[[Bild:Verschiebung_unten.JPG|center|700px]]
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=== Normalform:===
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Mit Hilfe der Schieberegler läßt sich die Seitenverschiebung bestimmen, sowie der Schnittpunkt mit der y-Achse. Diese Verbindung zwischen Parameter und Parabel können Schüler selbst ohne größere Hilfe selbst erarbeiten
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[[Bild:Parabel_Normalform_Schieberegler_Rechts.JPG|center|700px]]
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[[Bild:Parabel_Normalform_Schieberegler.JPG|center|700px]]
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===Scheitelpunktsform:===
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Mit Hilfe der Schieberegler läßt sich die Parabel verschieben und der Scheitelpunkt verfolgen. So wird auf eindrucksvolleweise veranschaulicht wie sich die Parameter in der Scheitelpunktsform auf den Scheitelpunkt auswirken, es könnte sogar möglich seien, dass die Schüler so selbstständig erarbeiten, wie sich die Parameter in den Koordinaten des Scheitelpunktes wiederfinden.
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[[Bild:Scheitelpunkt.JPG|center|700px]]
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===Überprüfung von Lösungen: ===
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Das CAS läßt sich sehr gut als Kontrolle von bearbeiteten Aufgaben heranziehen: So können schnell und zuverlässig Aufgaben überprüft werden. Dies eröffnet dem Schüler die Möglichkeit zu Hause Übungsaufgaben selbstständig zu kontrollieren. Hierzu wird in dem unten angeführten Beispiel nur der Solve Befehl benötigt.
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[[Bild:Lsg.JPG|center|700px]]
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== Aufgaben: ==
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===Aufgabe 1:===
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Eine parabelförmige Brückenaufhängung ist an ihrer höchsten Stelle 10m hoch. Die Gesamtlänge der Konstruktion beläuft sich auf 28,18m.
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Gib einen Funktionsterm an, der die Aufhängung der Brücke beschreibt, damit die länge für weitere Stützen berechnet werden kann. So berechne zum Beispiel die Länge der Befestigung nach 7 metern.
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===Lösung zu Aufgabe 1:===
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Als erstes sollte man die Informationen aus der Aufgabe nutzen um Punktkoordinaten zu bestimmen und diese möglichst geschickt in ein Koordinatensystem einzeichnen:
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[[Bild:BrückeSchritt1.JPG|center|700px]]
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Jetzt gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten:
 
Jetzt gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten:
Erstmal sieht man, dass die Parabel von der Gestalt f(x)=-a*x^2+e seien muss. Durch die geschickte Wahl der Punkte sieht man, dass e=10 ist. Nun könnte man a durch einsetzen eines weiteren Punktes, der auf der Parabel liegt berechnen, oder mit Hilfe des Schiebereglers die Funktion so verschieben, dass sie auf den anderen beiden Punkten liegt.  
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Erstmal sieht man, dass die Parabel von der Gestalt <math>f(x)=-a \cdot x^2+e</math> seien muss. Durch die geschickte Wahl der Punkte sieht man, dass e=10 ist. Nun könnte man a durch Einsetzen eines weiteren Punktes, der auf der Parabel liegt, berechnen oder mit Hilfe des Schiebereglers die Funktion so verschieben, dass sie auf den anderen beiden Punkten liegt.  
  
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<popup name="Veranschaulichung">[[Bild:BrückeSchrittSchieberegler.JPG|center|500px]]</popup>
  
[[Bild:BrückeSchrittSchieberegler.JPG|center|700px]]
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Mit Hilfe der nun gewonnenen Funktion lässt sich der Funktionswert an der Stelle 7 berechnen, wodurch man die Länge des Stützbalkens erhält.
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Eine zweite Möglichkeit besteht darin, einen Punkt auf der Parabel zu verschieben, bis er die gewünschten Koordinaten erreicht hat.  
  
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<popup name="Veranschaulichung">[[Bild:BruckeSchrittFertig.JPG|center|500px]]</popup>}}
  
Mit Hilfe der nun gewonnen Funktion läßt sich der Funktionswert an der Stelle 7 berechnen und man bekommt die Länge des Stützbalkens.
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===Aufgabe 2===
Eine zweite Möglichkeit besteht darin einen Punkt auf der Parabel zu verschieben, bis er die gewünschten Koordinaten erreicht hat.
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[[Bild:BruckeSchrittFertig.JPG|center|700px]]
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====Aufgabenstellung====
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{{Aufgabe|1=Der kleine Max wirft unerlaubt auf dem Schulhof einen Schneeball. Der Schneeball erreicht nach 2 m seine maximale Flughöhe von 3 m. Der Ball hatte beim Verlassen der Hand eine Höhe von 1,75 m. Nach welcher Strecke landet der Ball bei optimalen Bedingungen wieder auf dem Boden? Schafft Max es, die 7 m entfernte Fensterfront zu treffen?}}
  
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===Lösung===
  
Fertig ist die Brücke !
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{{Lösung|1=
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+
Als Erstes werden wieder die relevanten Informationen in ein Koordinatensystem übertragen. Dies liefert bei geschicktem Aufstellen folgendes Bild:
  
===Aufgabe 2:===
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<popup name="Veranschaulichung">[[Bild:SchneeballProblemaufwurf.JPG|center|500px]]</popup>
  
Der kleine Max wirf unerlaubt auf dem Schulhof einen Schneeball. Der Schneeball erreicht nach 2m seine maximale Flughöhe von 3m. Der Ball hatte beim Verlassen der Hand eine Höhe von 1.75m. Nach welcher Strecke landet der Ball bei optimalen Bedingungen wieder auf dem Boden ? Schafft Max es die 7 Meter entfernte Fensterfront zu treffen ? 
+
Aufgrund der bisherigen Skizze und der Frage, wann der Schneeball wieder auf den Boden schlägt, kann von einer negativen Steigung ausgegangen werden. Sinnvoll erscheint es, sich die Scheitelpunktsform zu Nutze zu machen, in die man die Koordinaten des Scheitelpunktes und des Abwurfpunktes einsetzt, um a zu bestimmen.
  
 
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<popup name="Veranschaulichung">[[Bild:SchneeballBerechnungvona.JPG|center|500px]]</popup>
===Lösung zu Aufgabe2:===
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+
Als erstes werden wieder die relevanten Informationen in ein Koordinatensystem übertragen. Dies liefert bei geschicktem Aufstellen folgendes Bild:
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[[Bild:SchneeballProblemaufwurf.JPG|center|700px]]
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Aufgrund der bisherigen Skizze und der Frage wann der Schneeball wieder auf den Boden schlägt, kann von einer negativen Steigung ausgegangen werden. Sinnvoll erscheint es sich die Scheitelpunktsform zur Nutze zu machen, in die man die Koordinaten des Scheitelpunktes und des Abwurfpunktes einsetzt um a zu bestimmen.
+
 
+
[[Bild:SchneeballBerechnungvona.JPG|center|700px]]
+
 
   
 
   
Mit dem nun gewonnen a=-0.3125 ergibt sich folgende Funktionsgleichung:
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Mit dem nun gewonnen a=-0,3125 ergibt sich folgende Funktionsgleichung:
  
[[Bild:Schneeballfertig.JPG|center|700px]]
+
<popup name="Veranschaulichung">[[Bild:Schneeballfertig.JPG|center|500px]]</popup>
  
 +
Der kleine Max schafft es, ca. 5 m weit zu werfen, die Fensterfront trifft er (leider) nicht.}}
  
Der kleine Max schafft es ca. 5m zu werfen, die Fensterfront trifft er leider nicht.
+
=== Aufgabe 3===
  
=== Aufgabe 3:===
+
==== Aufgabenstellung ====
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{{Aufgabe|1=
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Dir stehen 24 m Drahtzaun zur Verfügung, mit dem Du ein rechteckiges Kleintiergehege an die Rückwand der Scheune bauen willst. Da Du deine Tiere liebst, willst Du ihnen natürlich ein möglichst großes Gehege bauen. Finde also den größtmöglichen Flächeninhalt und berechne diesen.}}
  
Dir stehen 24m Drahzaun zur Verfügung, mit dem Du ein rechteckiges Kleintiergehege an die Rückwand der Garage bauen willst. Da Du deine Tiere liebst, willst Du ihnen natürlich ein möglichst großes Gehege zu bauen. Finde also den größtmöglichen Flächeninhalt und berechne diesen.
+
====Lösung====
 
+
{{Lösung|1=
===Lösung zu Aufgabe 3:===
+
<popup name="Veranschaulichung">[[Bild:Gehege1.JPG|center|500px]]</popup>
 
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[[Bild:Gehege1.JPG|center|700px]]
+
 
   
 
   
Welche Formeln benögtigt man zur Berechnung: A=a*b und u=2*a+b
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Welche Formeln benögtigt man zur Berechnung: <math>A_r=a \cdot b</math> und <math>u=2 \cdot a+b</math>
  
Umgeformt nach b ergibt sich: b=-2*a+u
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Umgeformt nach b ergibt sich: <math>b=-2 \cdot a+u</math>
  
 
Dieses b wird nun in die Gleichung für den Flächeninhalt eingesetzt.  
 
Dieses b wird nun in die Gleichung für den Flächeninhalt eingesetzt.  
  
Dann ergibt sich A=a*(-2*a+u)
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Dann ergibt sich <math>A_r=a \cdot (-2 \cdot a+u)</math>
  
Ausmultipliziert: A=-2*a^2+a*u  
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Ausmultipliziert: <math>A_r=-2 \cdot a^2+a \cdot u</math>
  
Setzen wir nun u=24 ein: A=-2*a^2+24*a
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Setzen wir nun u=24 ein: <math>A_r=-2 \cdot a^2+24 \cdot a</math>
  
 
Diese Vorschrift gilt es nun als Funktion aufzufassen und ihren Scheitelpunkt zu bestimmen:  
 
Diese Vorschrift gilt es nun als Funktion aufzufassen und ihren Scheitelpunkt zu bestimmen:  
  
a(x)= -2*a^2+24*a
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<math>a(x)= -2 \cdot a^2+24 \cdot a</math>
  
[[Bild:Gehege_2.JPG|center|700px]]
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<popup name="Veranschaulichung">[[Bild:Gehege_2.JPG|center|500px]]</popup>
 
   
 
   
 
Alternativ hätte der Scheitelpunkt auch berechnet werden können.  
 
Alternativ hätte der Scheitelpunkt auch berechnet werden können.  
  
 
Es ergibt sich für a eine Länge von a=6, daraus folgt b=12.  
 
Es ergibt sich für a eine Länge von a=6, daraus folgt b=12.  
Daraus ergibt sich ein Flächeninhalt von 72m^2. Also reicht es nicht nur für Kleintiere.  
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Daraus ergibt sich ein Flächeninhalt von 72m². Also reicht es nicht nur für Kleintiere.}}
 
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== Didaktischer Kommentar: ==
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Der Einsatz von einem CAS bietet im Rahmen der quadratischen Gleichungen vielfältige sinnvolle Anwendungen. So können vor allem über das System der Parameter viele Erkenntnisse einfach hergestellt und gesichert werden. Es erspart das lästige zeichnen von mehreren Parabeln um den Auswirkungen der Parameter auf die Spur zu kommen. Auswirkungen und Veränderungen werden dynamisch wahr genommen.
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Eine weitere Stärke besteht in der Kontrollmöglichkeit von Rechnungen. So können SuS selbstständig Aufgaben bearbeiten und kontrollieren. In diesem Rahmen soll auch die Möglichkeit erwähnt werden, dass es mit CAS möglich ist Gleichungen schritt für schritt umzuformen. Dies ist allerdings eine zeitintensive und aufwändige Methode. Sie könnte allerdings bei der Fehlerfindung dienlich seien.
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== Didaktischer Kommentar ==
  
Bei der Umsetzung von "real" Situationen in mathematische Modelle dient das CAS ebenfalls der Veranschaulichung oder auch als Rechenhilfe. Es dadurch mehr Zeit für die schwierige Transferphase der gegebenen Informationen in ein mathematisches Modell gewonnen werden. Gerade die Aufgabe mit der Brücke erlaubt es dank der Software eine Lösung auch ohne Rechenaufwand zu finden.  
+
Der Einsatz von einem CAS bietet im Rahmen der quadratischen Gleichungen vielfältige, sinnvolle Anwendungen. So können vor allem über das System der Parameter viele Erkenntnisse einfach hergestellt und gesichert werden. Es erspart das Zeichnen von mehreren Parabeln, um den Auswirkungen der Parameter auf die Spur zu kommen. Auswirkungen und Veränderungen werden dynamisch wahrgenommen.  
  
Es bleibt festzuhalten, dass ein CAS oder ein vergleichbares System in bezug auf quadratische Funktionen auf jeden Fall Anwendung im Unterricht finden sollte.
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Bei der Umsetzung von realen Situationen in mathematische Modelle dient das CAS ebenfalls der Veranschaulichung oder auch als Rechenhilfe. Es kann dadurch mehr Zeit für die schwierige Transferphase der gegebenen Informationen in ein mathematisches Modell gewonnen werden. Gerade die Aufgabe mit der Brücke erlaubt es, dank der Software eine Lösung auch ohne Rechenaufwand zu finden.  
  
 +
Es bleibt festzuhalten, dass ein CAS oder ein vergleichbares System in Bezug auf quadratische Funktionen auf jeden Fall Anwendung im Unterricht finden sollte.
  
 
== Quellen ==
 
== Quellen ==
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{{DEFAULTSORT:Quadratische Funktionen und Gleichungen}}
 
{{DEFAULTSORT:Quadratische Funktionen und Gleichungen}}
[[Kategorie:Materialien aus Mathematik-Seminaren]]
+
[[Kategorie:Materialien aus Mathematik-Seminaren, SI]]
[[Kategorie:Mathematik]]
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[[Kategorie:Mathematik 9]]
 
[[Kategorie:Quadratische Funktionen]]
 
[[Kategorie:Quadratische Funktionen]]

Aktuelle Version vom 20. April 2018, 16:43 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Einführung

In dieser Ausarbeitung wird das Thema der quadratischen Funktionen in der Sekundarstufe 1 behandelt. So soll eine Einführung in die Kernlehrpläne ebenso wie in mögliche Anwendungen des CAS gegeben werden. Herauszustreichen bleibt, dass quadratische Funktionen die Grundlage für die spätere Funktionsbetrachtung der Gymnasialen Oberstufe sind.

Fachlicher Hintergrund

  • Normalparabel:  f(x) =x^2
  • Parabel mit Streckfaktor: f(x) =a \cdot x^2
  • Parabel mit vertikaler Verschiebung: f(x) =a \cdot x^2+e
  • Normalform: f(x) =a \cdot x^2+b \cdot x+c
  • Scheitelpunktsform: f(x) =a \cdot (x+e)^2+d mit dem Scheitelpunkt: S(-e|d)

Einführung in den Lehrplan

In den Kernlehrplänen G8 befinden sich folgende, für quadratische Gleichungen relevante Forderungen:

Inhaltsbezogene Kompetenzen

  • Die SuS lösen einfache quadratische Gleichungen.
  • Sie stellen lineare und quadratische Funktionen in verschiedenen Darstellungsformen dar.
  • Sie deuten Parameter der Termdarstellungen von linearen und quadratischen Funktionen in der grafischen Darstellung.

Prozessbezogene Kompetenzen

  • SuS zerlegen Probleme in Teilprobleme.
  • Sie wenden die Problemlösestrategien „Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten“ an.
  • Sie übersetzen Realsituationen in mathematische Modelle und umgekehrt.
  • Sie vergleichen und bewerten verschiedene mathem. Modelle für eine Realsituation.
  • Sie wählen geeignetes Werkzeug (z.B. Tabellen-Kalkulation, CAS) aus und nutzen es.
  • Sie erläutern mathematische Zusammenhänge und Einsichten mit eigenen Worten und präzisieren sie mit geeigneten Fachbegriffen.
  • Sie überprüfen und bewerten Problembearbeitungen.

Kompetenzerwartungen

  • Die SuS können die verschiedenen Lösungsansätze (Faktorisieren, Satz von Vieta, pq-Formel) zum Lösen einfacher quadratischer Gleichungen begründet anwenden.
  • Sie können Aussagen bzgl. der Lösbarkeit und Lösungsvielfalt quadratischer Gleichungen formulieren.
  • Sie können Excel bzw. Derive nutzen, um quadratische Gleichungen grafisch darzustellen und so deren Lösung zu überprüfen oder abzuschätzen.
  • Sie können reale Sachverhalte (Wurfparabeln, Brücken,…) durch Parabelgleichungen ausdrücken.
  • Sie können Funktionsgleichungen sinnvoll verändern (allg. Form, Normalform, Scheitelpunktform) und hierbei den Einfluss der Parameter deuten.
  • Sie können die Vor- und Nachteile der Darstellungsformen (Tabelle, Graph, Gleichung) benennen und sie sinnvoll zur Lösung von inner- und außermathematischen Problemstellungen nutzen.

Anwendung des CAS

Veranschaulichung des Streckfaktors

Mit Hilfe eines Schiebereglers können SuS selbst und ohne ständig neue Zeichnungen anzulegen, selbst erkunden, wie sich der Streckfaktor auf die Parabel auswirkt.

Darstellung einer Normalparabel mit dem Streckfaktor a=1

Darstellung einer gestauchten Parabel mit Streckfaktor a=7,8

Darstellung einer gestreckten Parabel mit Streckfaktor a=0.12

Darstellung einer Parabel mit negativem Streckfaktor mit a=-0.75


Veranschaulichung der vertikalen Verschiebung

Verschiebung nach oben mit e=2

Verschiebung nach unten mit e=-4

Normalform

Mit Hilfe der Schieberegler lässt sich die Seitenverschiebung sowie der Schnittpunkt mit der y-Achse bestimmen. Diese Verbindung zwischen Parameter und Parabel können Schüler ohne größere Hilfe selbst erarbeiten.

Scheitelpunktsform

Mit Hilfe der Schieberegler lässt sich die Parabel verschieben und der Scheitelpunkt verfolgen. So wird auf eindrucksvolleweise veranschaulicht, wie sich die Parameter in der Scheitelpunktsform auf den Scheitelpunkt auswirken. Es könnte sogar möglich seien, dass die Schüler so selbstständig erarbeiten, wie sich die Parameter in den Koordinaten des Scheitelpunktes wiederfinden.

Aufgaben

Aufgabe 1

Aufgabenstellung

Stift.gif   Aufgabe

Eine parabelförmige Brückenaufhängung ist an ihrer höchsten Stelle 10 m hoch. Die Gesamtlänge der Konstruktion beläuft sich auf 28,18 m. Gib einen Funktionsterm an, der die Aufhängung der Brücke beschreibt, damit die Länge für weitere Stützen berechnet werden kann. Berechne zum Beispiel die Länge der Befestigung 7 m vom Mittelpunkt der Brücke.

Lösung

Information icon.svg Lösung

Als Erstes sollte man die Informationen aus der Aufgabe nutzen, um Punktkoordinaten zu bestimmen und diese möglichst geschickt in ein Koordinatensystem einzeichnen:

Jetzt gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten: Erstmal sieht man, dass die Parabel von der Gestalt f(x)=-a \cdot x^2+e seien muss. Durch die geschickte Wahl der Punkte sieht man, dass e=10 ist. Nun könnte man a durch Einsetzen eines weiteren Punktes, der auf der Parabel liegt, berechnen oder mit Hilfe des Schiebereglers die Funktion so verschieben, dass sie auf den anderen beiden Punkten liegt.

Mit Hilfe der nun gewonnenen Funktion lässt sich der Funktionswert an der Stelle 7 berechnen, wodurch man die Länge des Stützbalkens erhält. Eine zweite Möglichkeit besteht darin, einen Punkt auf der Parabel zu verschieben, bis er die gewünschten Koordinaten erreicht hat.


Aufgabe 2

Aufgabenstellung

Stift.gif   Aufgabe

Der kleine Max wirft unerlaubt auf dem Schulhof einen Schneeball. Der Schneeball erreicht nach 2 m seine maximale Flughöhe von 3 m. Der Ball hatte beim Verlassen der Hand eine Höhe von 1,75 m. Nach welcher Strecke landet der Ball bei optimalen Bedingungen wieder auf dem Boden? Schafft Max es, die 7 m entfernte Fensterfront zu treffen?

Lösung

Information icon.svg Lösung

Als Erstes werden wieder die relevanten Informationen in ein Koordinatensystem übertragen. Dies liefert bei geschicktem Aufstellen folgendes Bild:

Aufgrund der bisherigen Skizze und der Frage, wann der Schneeball wieder auf den Boden schlägt, kann von einer negativen Steigung ausgegangen werden. Sinnvoll erscheint es, sich die Scheitelpunktsform zu Nutze zu machen, in die man die Koordinaten des Scheitelpunktes und des Abwurfpunktes einsetzt, um a zu bestimmen.

Mit dem nun gewonnen a=-0,3125 ergibt sich folgende Funktionsgleichung:

Der kleine Max schafft es, ca. 5 m weit zu werfen, die Fensterfront trifft er (leider) nicht.


Aufgabe 3

Aufgabenstellung

Stift.gif   Aufgabe

Dir stehen 24 m Drahtzaun zur Verfügung, mit dem Du ein rechteckiges Kleintiergehege an die Rückwand der Scheune bauen willst. Da Du deine Tiere liebst, willst Du ihnen natürlich ein möglichst großes Gehege bauen. Finde also den größtmöglichen Flächeninhalt und berechne diesen.

Lösung

Information icon.svg Lösung

Welche Formeln benögtigt man zur Berechnung: A_r=a \cdot b und u=2 \cdot a+b

Umgeformt nach b ergibt sich: b=-2 \cdot a+u

Dieses b wird nun in die Gleichung für den Flächeninhalt eingesetzt.

Dann ergibt sich A_r=a \cdot (-2 \cdot a+u)

Ausmultipliziert: A_r=-2 \cdot a^2+a \cdot u

Setzen wir nun u=24 ein: A_r=-2 \cdot a^2+24 \cdot a

Diese Vorschrift gilt es nun als Funktion aufzufassen und ihren Scheitelpunkt zu bestimmen:

a(x)= -2 \cdot a^2+24 \cdot a

Alternativ hätte der Scheitelpunkt auch berechnet werden können.

Es ergibt sich für a eine Länge von a=6, daraus folgt b=12. Daraus ergibt sich ein Flächeninhalt von 72m². Also reicht es nicht nur für Kleintiere.


Didaktischer Kommentar

Der Einsatz von einem CAS bietet im Rahmen der quadratischen Gleichungen vielfältige, sinnvolle Anwendungen. So können vor allem über das System der Parameter viele Erkenntnisse einfach hergestellt und gesichert werden. Es erspart das Zeichnen von mehreren Parabeln, um den Auswirkungen der Parameter auf die Spur zu kommen. Auswirkungen und Veränderungen werden dynamisch wahrgenommen.

Bei der Umsetzung von realen Situationen in mathematische Modelle dient das CAS ebenfalls der Veranschaulichung oder auch als Rechenhilfe. Es kann dadurch mehr Zeit für die schwierige Transferphase der gegebenen Informationen in ein mathematisches Modell gewonnen werden. Gerade die Aufgabe mit der Brücke erlaubt es, dank der Software eine Lösung auch ohne Rechenaufwand zu finden.

Es bleibt festzuhalten, dass ein CAS oder ein vergleichbares System in Bezug auf quadratische Funktionen auf jeden Fall Anwendung im Unterricht finden sollte.

Quellen

Kernlehrplan Mathematik NRW G8: Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen