Quadratische Funktionen und Gleichungen

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Inhaltsverzeichnis

Einführung:

In dieser Ausarbeitung wird das Thema der quadratischen Funktionen in der Sekundarstufe 1 behandelt. So soll eine Einführung in die Kernlehrpläne, ebenso wie in mögliche Anwendungen des CAS geben werden. Weiterhin gibt es einen kurzen didaktischen Kommentar, sowie eine Extremwertaufgabe. Herauszustreichen bleibt, dass quadratische Funktionen die Grundlage für die spätere Funktionsbetrachtungen der Gymnasialen Oberstufe sind.



Einführung in den Lehrplan:

In den Kernlehrplänen G8 stehen folgende für quadratische Gleichungen relevanten Forderungen:


Inhaltsbezogene Kompetenzen:

• Die SuS lösen einfache quadratische Gleichungen

• Stellen lineare und quadratische Funktionen in verschiedenen Darstellungsformen dar

• Deuten Parameter der Termdarstellungen von linearen und quadratischen Funktionen in der grafischen Darstellung


Prozessbezogene Kompetenzen:

• SuS zerlegen Probleme in Teilprobleme

• Wenden die Problemlösestrategien „Vorwärts- und Rückwertsarbeiten“ an

• Übersetzen Realsituationen in mathematische Modelle und umgekehrt

• Vergleichen und bewerten verschiedene mathem. Modelle für eine Realsituation

• Wählen geeignetes Werkzeug (z.B. Tabellen-kalkulation, CAS) aus und nutzen es

• Erläutern mathem. Zusammenhänge und Einsichten mit eigenen Worten und präzisieren sie mit geeigneten Fachbegriffen

• Überprüfen und bewerten Problembearbeitungen


Kompetenzerwartungen:

• Die SuS können die verschiedenen Lösungsansätze (Faktorisieren, Satz von Vieta, pq-Formel) zum Lösen einfacher quadratischer Gleichungen begründet anwenden

• Können Aussagen bzgl. der Lösbarkeit und Lösungsvielfalt quadratischer Gleichungen formulieren

• *können Excel bzw. Derive nutzen, um quadratische Gleichungen grafisch darzustellen und so deren Lösung zu überprüfen oder abzuschätzen

• Können reale Sachverhalte (Wurfparabeln, Brücken,…) durch Parabelgleichungen ausdrücken

• Können Funktionsgleichungen sinnvoll verändern (allg. Form, Normalform, Scheitelpunktform) und hierbei den Einfluss der Parameter deuten

• Können die Vor- und Nachteile der Darstellungsformen (Tabelle, Graf, Gleichung) benennen und sie sinnvoll zur Lösung von inner- und außermathematischen Problemstellungen nutzen



Darstellungsformen und Formeln:

Normalparabel:

 f(x) =x^2

Parabel mit Streckfaktor:

f(x) =a*x^2

Parabel mit vertikaler Verschiebung:

f(x) =a*x^2+e

Normalform:

f(x) =a*x^2+b*x+c

Scheitelpunktsform:

f(x) =a*(x+e)^2+d mit dem Scheitelpunkt: S(-e|d)


Anwendung des CAS:

Veranschaulichung des Streckfaktors:

Mit Hilfe eines Schiebereglers können SuS selbst und ohne ständig neue langwierige Zeichnungen anzulegen, selbst erkunden, wie sich der Streckfaktor auf die Parabel auswirkt. Die Technologie dient der Veranschaulichung und spart Zeit.

Darstellung einer Normalparabel mit dem Streckfaktor a=1:


Normal Parabel Schieberegler kleiner.JPG


Darstellung einer gestauchten Parabel mit Streckfaktor a=7,8:


Gestauchte Parabel kleiner.JPG


Darstellung einer gestreckten Parabel mit Streckfaktor a=0.12:


Gestreckte Parabel Schieberegler kleiner.JPG


Darstellung einer Parabel mit negativem Streckfaktor mit a=-0.75


Negativer Vorfaktor Schieberegler kleiner.JPG


Veranschaulichung der vertikalen Verschiebung:

Verschiebung nach oben mit e=2:


Verschiebung oben.JPG


Verschiebung nach unten mit e=-4:


Verschiebung unten.JPG

Normalform:

Mit Hilfe der Schieberegler läßt sich die Seitenverschiebung bestimmen, sowie der Schnittpunkt mit der y-Achse. Diese Verbindung zwischen Parameter und Parabel können Schüler selbst ohne größere Hilfe selbst erarbeiten


Parabel Normalform Schieberegler Rechts.JPG


Parabel Normalform Schieberegler.JPG

Scheitelpunktsform:

Mit Hilfe der Schieberegler läßt sich die Parabel verschieben und der Scheitelpunkt verfolgen. So wird auf eindrucksvolleweise veranschaulicht wie sich die Parameter in der Scheitelpunktsform auf den Scheitelpunkt auswirken, es könnte sogar möglich seien, dass die Schüler so selbstständig erarbeiten, wie sich die Parameter in den Koordinaten des Scheitelpunktes wiederfinden.


Scheitelpunkt.JPG


Überprüfung von Lösungen:

Das CAS läßt sich sehr gut als Kontrolle von bearbeiteten Aufgaben heranziehen: So können schnell und zuverlässig Aufgaben überprüft werden. Dies eröffnet dem Schüler die Möglichkeit zu Hause Übungsaufgaben selbstständig zu kontrollieren. Hierzu wird in dem unten angeführten Beispiel nur der Solve Befehl benötigt.


Lsg.JPG



Aufgaben:

Aufgabe 1:

Eine parabelförmige Brückenaufhängung ist an ihrer höchsten Stelle 10m hoch. Die Gesamtlänge der Konstruktion beläuft sich auf 28,18m. Gib einen Funktionsterm an, der die Aufhängung der Brücke beschreibt, damit die länge für weitere Stützen berechnet werden kann. So berechne zum Beispiel die Länge der Befestigung nach 7 metern.


Lösung zu Aufgabe 1:

Als erstes sollte man die Informationen aus der Aufgabe nutzen um Punktkoordinaten zu bestimmen und diese möglichst geschickt in ein Koordinatensystem einzeichnen:

BrückeSchritt1.JPG

Jetzt gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten: Erstmal sieht man, dass die Parabel von der Gestalt f(x)=-a*x^2+e seien muss. Durch die geschickte Wahl der Punkte sieht man, dass e=10 ist. Nun könnte man a durch einsetzen eines weiteren Punktes, der auf der Parabel liegt berechnen, oder mit Hilfe des Schiebereglers die Funktion so verschieben, dass sie auf den anderen beiden Punkten liegt.


BrückeSchrittSchieberegler.JPG


Mit Hilfe der nun gewonnen Funktion läßt sich der Funktionswert an der Stelle 7 berechnen und man bekommt die Länge des Stützbalkens. Eine zweite Möglichkeit besteht darin einen Punkt auf der Parabel zu verschieben, bis er die gewünschten Koordinaten erreicht hat.

BruckeSchrittFertig.JPG


Fertig ist die Brücke !


Aufgabe 2:

Der kleine Max wirf unerlaubt auf dem Schulhof einen Schneeball. Der Schneeball erreicht nach 2m seine maximale Flughöhe von 3m. Der Ball hatte beim Verlassen der Hand eine Höhe von 1.75m. Nach welcher Strecke landet der Ball bei optimalen Bedingungen wieder auf dem Boden ? Schafft Max es die 7 Meter entfernte Fensterfront zu treffen ?


Lösung zu Aufgabe2:

Als erstes werden wieder die relevanten Informationen in ein Koordinatensystem übertragen. Dies liefert bei geschicktem Aufstellen folgendes Bild:

SchneeballProblemaufwurf.JPG


Aufgrund der bisherigen Skizze und der Frage wann der Schneeball wieder auf den Boden schlägt, kann von einer negativen Steigung ausgegangen werden. Sinnvoll erscheint es sich die Scheitelpunktsform zur Nutze zu machen, in die man die Koordinaten des Scheitelpunktes und des Abwurfpunktes einsetzt um a zu bestimmen.

SchneeballBerechnungvona.JPG

Mit dem nun gewonnen a=-0.3125 ergibt sich folgende Funktionsgleichung:

Schneeballfertig.JPG


Der kleine Max schafft es ca. 5m zu werfen, die Fensterfront trifft er leider nicht.

Aufgabe 3:

Dir stehen 24m Drahzaun zur Verfügung, mit dem Du ein rechteckiges Kleintiergehege an die Rückwand der Garage bauen willst. Da Du deine Tiere liebst, willst Du ihnen natürlich ein möglichst großes Gehege zu bauen. Finde also den größtmöglichen Flächeninhalt und berechne diesen.


Lösung zu Aufgabe 3:

Gehege1.JPG

Welche Formeln benögtigt man zur Berechnung: A=a*b und u=2*a+b

Umgeformt nach b ergibt sich: b=-2*a+u

Dieses b wird nun in die Gleichung für den Flächeninhalt eingesetzt.

Dann ergibt sich A=a*(-2*a+u)

Ausmultipliziert: A=-2*a^2+a*u

Setzen wir nun u=24 ein: A=-2*a^2+24*a

Diese Vorschrift gilt es nun als Funktion aufzufassen und ihren Scheitelpunkt zu bestimmen:

a(x)= -2*a^2+24*a

Gehege 2.JPG

Alternativ hätte der Scheitelpunkt auch berechnet werden können.

Es ergibt sich für a eine Länge von a=6, daraus folgt b=12. Daraus ergibt sich ein Flächeninhalt von 72m^2. Also reicht es nicht nur für Kleintiere.



Didaktischer Kommentar:

Der Einsatz von einem CAS bietet im Rahmen der quadratischen Gleichungen vielfältige sinnvolle Anwendungen. So können vor allem über das System der Parameter viele Erkenntnisse einfach hergestellt und gesichert werden. Es erspart das lästige zeichnen von mehreren Parabeln um den Auswirkungen der Parameter auf die Spur zu kommen. Auswirkungen und Veränderungen werden dynamisch wahr genommen.

Eine weitere Stärke besteht in der Kontrollmöglichkeit von Rechnungen. So können SuS selbstständig Aufgaben bearbeiten und kontrollieren. In diesem Rahmen soll auch die Möglichkeit erwähnt werden, dass es mit CAS möglich ist Gleichungen schritt für schritt umzuformen. Dies ist allerdings eine zeitintensive und aufwändige Methode. Sie könnte allerdings bei der Fehlerfindung dienlich seien.

Bei der Umsetzung von "real" Situationen in mathematische Modelle dient das CAS ebenfalls der Veranschaulichung oder auch als Rechenhilfe. Es dadurch mehr Zeit für die schwierige Transferphase der gegebenen Informationen in ein mathematisches Modell gewonnen werden. Gerade die Aufgabe mit der Brücke erlaubt es dank der Software eine Lösung auch ohne Rechenaufwand zu finden.

Es bleibt festzuhalten, dass ein CAS oder ein vergleichbares System in bezug auf quadratische Funktionen auf jeden Fall Anwendung im Unterricht finden sollte.


Quellen

Kernlehrplan Mathematik NRW G8: Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen