Satzgruppe des Pythagoras

Fachlicher Hintergrund

Der Satz des Pythagoras

Abb.1: Rechtwinkliges Dreieck

Bei jedem rechtwinklingen Dreieck ist der Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse genauso groß wie die Summe der Flächeninhalte der beiden Kathetenquadrate. In einer Formel ausgedrückt bedeutet dieser Ausdruck:

$a^2+b^2=c^2$

wobei c die Hypotenuse ist (sie liegt dem rechten Winkel gegenüber) und a und b die beiden Katheten (sie liegen an dem rechten Winkel).

Beweis des Satzes des Pythagoras

Es sind ca. 400 Beweise für den Satze des Pythagoras bekannt. Beweise können beispielsweise über das Prinzip der Zerlegungsmethode (zwei ebene Figuren sind genau dann flächeninhaltsgleich, wenn sie zerlegungsgleich sind), der Methode der Ergänzungsgleichheit (zwei ebene Figuren als ergänzungsgleich, wenn sie durch paarweise kongruente Figuren so ergänzt werden können, dass die beiden neuen Flächen zerlegungsgleich sind.) oder die arithmetische Methode erfolgen.

Die Umkehrung des Satzes des Pythagoras

Ist ABC ein Dreieck mit den Seiten a, b, c und gilt die Beziehung $a^2+b^2=c^2$, so ist ABC ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse AB.

Der Höhensatz des Euklids

Abb.2: Höhensatz

Bei jedem rechtwinkligen Dreieck besitzt das Quadrat über der Höhe denselben Flächeninhalt wie das Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten. In einer Formel ausgedrückt bedeutet dieser Ausdruck:

$h^2=p \cdot q$

Dabei ist h die Höhe, die die Hypotenuse in die Hypotenusenabschnitte p und q teilt.

Beweis des Höhensatzes des Euklids

Der Beweis des Höhensatzes kann mit Hilfe des Satzes des Pythagoras erfolgen.

Wie man in Abbildung 2 erkennt, lässt sich das große rechtwinklige Dreieck ABC in zwei ebenfalls rechtwinklige Dreiecke zerlegen. Die kleineren Dreiecke haben dann die Seiten h, p, a und h, q, b. Für jedes dieser Dreiecke gilt nun der Satz des Pythagoras.

Es ergeben sich somit folgende Beziehungen:

$a^2+ b^2 = c^2$
$h^2 + p^2 = a^2$
$h^2 + q^2 = b^2$

Außerdem wissen wir $p + q = c$, daraus ergibt sich

$(p+q)^2 = c^2$.

Nach der ersten binomischen Formel ist dies

$p^2 + 2 \cdot p \cdot q + q^2 = c^2$.

Ersetzt man nun $a^2$, $b^2$ und $c^2$ durch die oben aufgeführten Terme erhält man:

$h^2 + p^2 + h^2 + q^2 = p^2 + 2 \cdot p \cdot q + q^2 \Leftrightarrow 2 \cdot h^2 = 2 \cdot p \cdot q$.

Nach Division durch zwei folgt auch schon der zu beweisende Höhensatz:

$h^2 = p \cdot q$.

Die Umkehrung des Höhensatzes

Gilt für ein Dreieck ABC mit dem Höhenfußpunkt D auf AB die Beziehung $|CD|^2 = |AD| \cdot |BD|$, so ist ABC ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse AB.

Der Kathetensatz des Euklid

Abb.3: Kathetensatz

Bei jedem rechtwinkligen Dreieck besitzt ein Kathetenquadrat denselben Flächeninhalt wie das Rechteck aus der Hypotenuse und dem zur betreffenden Kathete gehörenden Hypotenusenabschnitt. Wie man in Abbildung 3 erkennen kann, wird die Hypotenuse von ihrer Höhe in zwei Teile geteilt. Der zur betreffenden Kathete gehörende Hypotenusenabschnitt ist jener, welcher an diese Kathete anliegt. Der Kathetensatz besagt dann, dass das Rechteck mit den Seitenlängen dieses Abschnitts und der Hypotenuse denselben Flächeninhalt besitzt, wie das Quadrat über der Kathete selbst. In einer Formel ausgedrückt bedeutet dieser Ausdruck:

$a^2=c \cdot p$
$b^2=c \cdot p$

Beweis des Kathetensatzes des Euklids

Der Kathetensatz kann schnell mit Hilfe des Höhensatzes bewiesen werden. Dafür stellen wir folgende Beziehungen auf:

Wie man in Abbildung 3 erkennen kann, auch hier lässt sich das große Dreieck wieder als zwei kleinere rechtwinklige Dreieck interpretieren und mit dem Satz des Pythagoras folgt:

$a^2 = p^2 + h^2$

Nach dem Höhensatz ist $h^2 = p \cdot q$ und somit

$a^2 = p^2 + p \cdot q \Leftrightarrow a^2 = p \cdot (p + q)$

Außerdem wissen wir, dass $p + q = c$ und somit

$a^2 = p \cdot c$.

Analog verläuft der Beweis für $b^2$:

$b^2 = q^2 + h^2 \Leftrightarrow b^2 = q^2 + p \cdot q \Leftrightarrow b^2 = q \cdot (q + p) \Leftrightarrow b^2 = q \cdot c$

Die Umkehrung des Kathetensatzes

Ist ABC ein Dreieck mit dem Höhenfußpunkt D auf AB und gilt die Beziehung $|AC|^2 = |AB| \cdot |AD|$ (oder die Beziehung $|BC|^2 = |AB| \cdot |BD|$), so ist ABC ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypothenuse AB.

Handlungsorientierte Aufgabe: Pythagoras entdecken

Schülerinnen und Schüler (SuS) sollen mit der folgenden Aufgabe dazu angehalten werden, sich eigenständig mit dem Problem der Berechnung einer Hypotenuse zu beschäftigen. Dabei wird auf das Wissen über Quadrate und Wurzeln (bzw. Potenzrechnen) sowie über einfache Geometriesoftware zurückgegriffen.

Benötigte Materialien:

• ein normales Geodreieck (14 cm Skala)
• eine Schere
• vier Blatt Papier im Maß 11 x 11 cm
• TI-nSpire oder GeoGebra
• ein Stück Schnur, ca. 50cm lang

Aufgabenstellung

Aufgabe Nutze Deine Schere, um aus zwei der vier Quadrate ein größeres Quadrat herzustellen. Wenn Dir das gelungen ist, lege Dein neues Quadrat und die zwei verbliebenen kleineren Quadrate an die Seiten Deine Geodreiecks an. Was fällt dir auf? Nutze Dein Wissen über Quadrate, Wurzeln und dem eben erlernten, um eine Formel herzuleiten, mit der Du die Länge der längsten Seite Deines Geodreiecks bestimmen kannst. Nutze GeoGebra, Deinen TI-nspire oder gar Schere und Papier, um Deine Formel geometrisch zu überprüfen. Welche Eigenschaft muss ein Dreieck erfüllen, damit Deine Formel funktioniert? Finde möglichst viele pythagoreische Tripel, d.h. ganze Zahlen, die deine Formel erfüllen. Welches Tripel ist das kleinste und wie kann man es mit einer einfachen Schnur geometrisch darstellen? Zusatz: Gibt es vielleicht eine allgemeine Methode bzw. Formel, pythagoreische Tripel zu bestimmen?

Lösung

Lösung Schneide beide Quadrate einmal diagonal durch und lege die vier entstandenen Dreiecke zu einem Quadrat. Legt man die zwei verbliebenen und das neue Quadrat passend an das Geodreieck, sollte einem auffallen, dass es einen Bezug zwischen der Dreiecksform des Geodreiecks und den Flächeninhalten der Quadrate gibt. Option a: Erstelle verschiedene Dreiecke (einige mit rechtem Winkel, einige ohne). Wähle auch die Kathetenlängen unterschiedlich. Probiere deine Formel für die verschiedenen Dreiecke aus. Option b: Erstelle mit GeoGebra ein Dreieck. Erzeuge eine Variable $x=a^2+b^2$ und eine Variable $y=c^2$. Nehme eine Ecke des Dreiecks und bewege sie so lange, bis $x=y$ ist. Dein Programm sollte etwa so aussehen: Datei:Pythagobra.ggb. (3,4,5) ist das kleinste pythagoreische Tripel. Dieses kann man veranschaulichen, indem man 13 Knoten mit demselben Abstand in eine Schnur macht. Diese Schnur kann man dann zu einem rechtwinkligen Dreieck mit den Seitenlängen 3,4 und 5 legen. Die Formeln $x = u^2-v^2, y = 2 \cdot u \cdot v, z = u^2+v^2$ liefern für beliebige $u,v \in \mathbb{N}, u>v$ ein pythagoreisches Tripel. Veranschaulichung anzeigen Veranschaulichung verstecken Schritt 1 Schritt 2 Schritt 3 Schritt 4

Didaktischer Kommentar

Bei dieser Aufgabe sollen die SuS erste Überlegungen bei kontextbezogener Bastelarbeiten tätigen. Sie zerschneiden Quadrate, bilden ein neues größeres Quadrat und legen diese an ihr Geodreieck an. Dabei sollen sich die SuS Gedanken machen, wo der Zusammenhang zwischen den Flächen der Quadrate und dem Geodreieck liegt. Diese Überlegungen münden hoffentlich in eine erste Formel, die dann mit Hilfe von Computersystemen geprüft werden soll. Dabei steht vor allem das Probieren im Vordergrund. Sobald der Satz des Pythagoras und seine Vorraussetzungen erarbeitet und verstanden wurden, können die SuS noch mal Gedanken über Zahlenräume machen. Warum ist der Satz des Pythagoras in den ganzen Zahlen plötzlich eingeschränkt? Besonders gute SuS, die mit den Aufgabenteilen 1 bis 4 zu wenig Herausforderung hatten, können sich dann noch am Zusatz versuchen.

So ergeben sich folgende didaktische Überlegungen, die im Kontext der Unterrichtseinheit erreicht werden könnten:

• Es könnten verschiedene Dreiecke gebastelt werden, die dann kategorisiert werden nach jenen, für die Pythagoras gilt und jenen, für die er nicht gilt. Die Dreiecke könnten etwa bemalt werden und den Klassenraum schmücken.
• Es kann ein einfaches Programm entstehen, mit dem die Vorraussetzungen für den Satz des Pythagoras geprüft werden können.
• Es können rechtwinklige Dreiecke aus Schnüren erstellt werden, die verschiedene pythagoreische Tripel darstellen.