Einführung der e-Funktion: Unterschied zwischen den Versionen

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Aktuelle Version vom 20. April 2018, 22:34 Uhr

Zur Einführung der e-Funktion gehören insgesamt zwei Teilbereiche:

Inhaltsverzeichnis

Die eulersche Zahl als Grenzwert

Zur Erarbeitung der eulerschen Zahl als Grenzwert gibt es mehrere Möglichkeiten des Zugangs. Dazu zählt unter anderem der stochastische Einstieg über Wartezeit oder der am häufigsten verwendete über die stetige Verzinsung. Auf den zweiten Zugang soll im nachfolgenden Teil genauer eingegangen werden.

Einstiegsaufgabe aus MSW (2007)

Stift.gif   Aufgabe

Probleme eines Millionärs

Ein Millionär hat 10 Millionen Euro und möchte noch mehr Geld daraus machen, ohne selbst zu arbeiten. Er beschließt also, den ganzen Betrag auf eine Bank zu bringen. Dort soll sich das Kapital durch Zinsen vermehren.

Die Banken in seiner Gegend bieten folgende Zinsbedingungen an:

  • Die "Ganzjahresbank" verzinst pro Jahr mit 6%.
  • Die "Halbjahresbank" verzinst pro Halbjahr mit 3%.
  • Die "Vierteljahresbank" verzinst pro Vierteljahr mit 1,5%.
  • Die "Tagesbank" (das Bankenjahr hat 360 Tage) verzinst pro Tag mit 6/360 % = 1/60 %.

Arbeitsaufträge

  1. Untersuchen Sie, wie sich die 10 Millionen Euro bei den verschiedenen Banken vermehren, wenn sie a) 1 Jahr b) 2 Jahre c) 5 Jahre angelegt werden. Was stellen sie fest?
  2. Geben Sie jeweils für die verschiedenen Banken jeweils eine Formel an, mit der sich das Kapital am Ende des ersten Jahres berechnen lässt.
  3. Lässt sich durch eine Verfeinerung des Zeitraumes z, nach dem verzinst wird, das Kapital ins Unermessliche steigern? Betrachten Sie dazu die Entwicklung innerhalb eines Jahres bei einer "1/z - Jahresbank". Untersuchen Sie den Übergang zu einer momentanen Verzinsung.

Nötige Vorkenntnisse der Schüler

  • Kenntnisse im Umgang mit der Zinseszinsrechnung
  • Der Umgang mit dem Grenzwertbegriff muss bekannt sein.

Literaturverzeichnis

  • MSW (2007): Impulse für den Mathematikunterricht in der Oberstufe. Konzepte und Materialien aus dem Modéllversuch. Stuttgart.
  • Griesel, H./ Postel, H. (2005): Elemente der Mathematik. Leistungskurs Analysis. Hannover.
  • Kyper, W. /Lauter, J. (1987): Mathematik Sekundarstufe II. Analysis Leistungskurs. Berlin.
  • Tietze, U.-P./ Klika, M./ Wolpers, H. (2000): Mathematik in der Sekundarstufe II. Fachdidaktische Grundfragen - Didaktik der Analysis. Braunschweig.

Siehe auch