Einführung des Riemannintegrals

Einbettung des Riemannintegrals in eine Unterrichtsreihe

„Nährungsweise Berechnung von Flächeninhalten“

In vorangegangenen Unterrichtseinheiten haben die SuS gelernt den Inhalt einer Fläche A durch Rechtecke anzunähren. Bei dieser Methode galt es die zu ermittelnde Fläche A zwischen einer stetigen Funktion f mit$f(x)\ge0$ für $x\epsilon[a; b]$ und der x-Achse über dem Intervall [a; b] in n gleich große Teilintervalle der Breite $k= \frac{b-a}{n}$ zu zerlegen. Anschließend wird aus jedem Teilintervall eine Stelle xi für i = 1, 2, …, n gewählt und der zugehörige Funktionswert f(xi) ermittelt. Man berechnet als Näherungswert für den Flächeninhalt die Produktsumme Sn = k*[f(x1)+…+f(xn)]

Einführung des Riemannintegrals

Das Riemann-Integral ist eine nach dem deutschen Mathematiker Bernhard Riemann benannte Methode zur Ermittlung eines Flächeninhaltes A zwischen der x-Achse und dem Graphen einer Funktion. Das grundlegende Prinzip des Riemannschen Integrals besteht, wie bei der vorangegangenen Methode (s. 1.), darin, den gesuchten Flächeninhalt mit Hilfe der Berechnung des Flächeninhalts von Rechtecken anzunähern.

Ober- und Untersummen

Definition

Sei Z eine Zerlegung des Intervalls [a,b] in n Teile und sei x0,...,xn eine endliche Folge mit a=x0<...<xn=b.

Dann sei die zu dieser Zerlegung gehörende Ober- bzw. Untersumme definiert als

,

Hinführung

Abbildung 1

Die Grundlagen des Riemannintegrals sollen von den Schülerinnen und Schülern mit Hilfe der dynamischen Geometriesoftware GeoGebra bzw. TI-Nspire CAS erarbeitet werden. Das Integrationsintervall [a,b] wird zunächst in n gleichgroße Teilintervalle zerlegt, so dass der gesuchte Flächeninhalt in senkrechte Streifen zerfällt. Soll der die Fläche nun "nach oben" bzw. "nach unten" abgeschätzt werden, wird für die Höhe jedes Rechtecks der kleinste bzw. der größte Funktionswert des entsprechenden Teilintervalls gewählt. Die zugehörigen Produktsummen heißen Unter- bzw. Obersumme. Graphisch betrachtet wird für jeden der n Streifen wird einerseits das größte Rechteck, als Summand der Untersumme, betrachtet, das von der x-Achse ausgehend den Graphen nicht schneidet (im Bild grün), und andererseits das kleinste Rechteck (Summand der Obersumme), das von der x-Achse ausgehend den Graphen ganz umfasst (im Bild jeweils das grüne Rechteck zusammen mit der grauen Ergänzung darüber), d.h. man wählt sich grob gesagt in jedem Schritt zwei Rechtecke, so dass der Graph der Funktion „zwischen“ ihnen liegt (siehe Abbildung 1).

Beispiel

Abbildung 2

Indem man die Anzahl der Rechtecke nach und nach erhöht, also n variiert, erhält man mit der Zeit eine immer genauere Annäherung an den Funktionsgraphen durch die zu den Rechtecken gehörenden Treppenfunktionen. Es liegt somit nahe, das Intervall [a; b] in immer kleinere Teilintervalle zu unterteilen und die sich ergebenden Untersummen Un auf einen Grenzwert für $n \rightarrow \infty$ zu untersuchen. Entsprechend verfährt man mit der Obersumme. Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse lässt sich somit durch die Flächeninhalte der Rechtecke approximieren (siehe Abbildung 2).

Es gilt dabei stets:

Das Riemannintegral

Existiert ein Wert an dem die Obersumme und die Untersumme gleich sind, so heißt f Riemannintegrierbar, und der gemeinsame Wert

heißt das Riemannintegral von f über dem Intervall [a, b].

Die formale Definition lautet:

Eine auf [a;b] beschränkte Funktion ist genau dann riemannintegrierbar, wenn es zu jedem $\epsilon>0$ eine Zerlegung Z gibt, bezüglich der sich die riemannsche Obersumme und Untersumme um weniger als $\epsilon$ unterscheiden.

Einführungsaufgabe

Aufgabe Nachbar Mayer hat die ständigen Preiserhöhungen für das Leitungswasser satt. So bohrt er sich im späten Frühjahr in seinem Garten einen Brunnen und pumpt aus ihm täglich die maximal mögliche Wassermenge ab. Voller Verwunderung muss er erfahren, dass die „Schüttung“ seines Brunnens keineswegs konstant ist und der trockene Sommer zu einer schnellen Abnahme beiträgt. Trotz der spät einsetzenden Niederschläge versiegt seine teure Anschaffung nach 100 Tagen, um kurzzeitig später erneut zu sprudeln. Der gute Vorsatz, die tägliche Schüttung zu notieren, verblasst sehr schnell im Alltag. So entstehen nur sporadischen Notierungen des Wasservolumens pro Tag in Form der folgenden Tabelle: a) Erfassen Sie die Daten in den Listen LX und LY und visualisieren Sie diese in einem Datenplot. b) Zur Berechnung des Wasservolumens soll nun die Fläche unter der Randfunktion im Intervall [0;100] durch Rechteckstreifen genauer angenähert werden. Wir beschränken uns zunächst bewusst auf den streng monoton fallenden Bereich der Randfunktion für $x\epsilon[0;100]$. Es sollen n Streifen gleicher Breite im Sinne der Untersumme Un verwendet werden. Veranschaulichen Sie den Vorgang in der Graphik aus (a) zunächst für n=10.

Didaktischer Kommentar

Das Riemannintegral als thematischer Abschnitt in der Analysis ist im Lehrplan der Sek. II Mathematik für die Jahrgangsstufe 12 vorgesehen. Die Riemannintegrierbarkeit setzt zunächst ein Verständnis für die Annäherung des Flächeninhalts zwischen x-Achse und dem Graph der Funktion durch Ober- und Untersummen voraus. Der Einsatz von dynamischer Geometriesoftware, wie GeoGebra oder TI-Nspire CAS, vereinfacht die anschauliche Darstellung dieser Annäherungen und versetzt die Schülerinnen und Schüler in die Lage selbstständig die Einteilung in Teilintervalle zu variieren und Zusammenhänge bzgl. des Verhältnisses von Ober- und Untersummen und dem Flächeninhalt zwischen x-Achse und dem Graphen zu untersuchen. Somit ist eine eigenständige Erarbeitung des Riemann-Integrals möglich ohne diesen Begriff zuvor konkretisiert zu haben. Die Kenntnis des Riemannintegrals stellt eine gute Voraussetzung für den Einsatz von alltagsnahen Aufgabenstellungen dar und kann in Bezug zu den im Lehrplan geforderten zentralen Ideen als Kern didaktischer Konzeptionen, der Idee der Zahl und der Idee des Messens, gesetzt werden.

Literatur

1. Lambacher Schweizer Analysis, S.66-71

2. http://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsches_Integral

3. http://education.ti.com/sites/DEUTSCHLAND/downloads/pdf/TI_Nachrichten_1-07.pdf

4. http://www.mathepedia.de/Riemann-Integral.aspx