Einführung in den Umgang mit Ebenen

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Einführung in den Umgang mit Ebenen


Inhaltsverzeichnis

Die Analytische Geometrie und ihre notwendigen Voraussetzungen

Die Einführung von Ebenen findet zu meist im Rahmen des Themengebietes Analytische Geometrie statt. Kennzeichnend ist das Bearbeiten geometrischer Probleme mittels Rechnungen und algebraischer Methoden.

In diesem Themenbereich waren u.a. Fermat, Euler, Gauß die Vorreiter.

Um nicht sofort mit der Tür ins Haus zu fallen, sondern sich den Ebenen und ihren darstellenden Gleichungen erst anzunähern, wurde sich mit den grundlegenden Begriffen wie Vektoren oder Geraden schon auseinandergesetzt.

Hinzu kommt der Umgang mit Geraden. Abstandsberechnungen, wie Ebenen zueinander liegen oder in welchem Winkel sie sich schneiden, sind die Hauptaufgaben der Schüler.

Bezug zum Lehrplan

Zitate aus dem niedersächsischen Lehrplan:

Schüler...:

  • beschreiben Realsituationen und Realprobleme durch mathematische Modelle wie z. B. durch Funktionen, Zufallsversuche, Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Matrizen, Koordinaten und Vektoren.
  • verwenden geometrische und vektorielle Darstellungsformen für geometrische Gebilde und wechseln zwischen diesen.
  • wenden die Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation von Vektoren an und veranschaulichen sie geometrisch
  • beschreiben Geraden und Ebenen durch Gleichungen in Parameterform
  • erfassen und begründen die unterschiedlichen Lagebeziehungen von Geraden sowie von Gerade und Ebene und lösen Schnittprobleme.
  • erläutern und nutzen Verfahren zur Berechnung von Abständen zwischen Punkten und zwischen Ebenen sowie zwischen Punkt und Gerade, Punkt und Ebene sowie Gerade und Ebene.

Einführung für Schüler(innen)

Die Gleichungen

1. Punktrichtungsgleichung/Vektorform/Parameterform

Eine eindeutig bestimmte Ebene in der Form: \vec r = \vec r_0 + \lambda \cdot \vec u + \mu \cdot\vec v

2. Normalenform

Ebene in der Form:     ( \vec r - \vec a ) \cdot \vec n = 0

3. Koordinatenform

Ebene in der Form: {E: \ n_1 \cdot x_1+n_2 \cdot x_2+n_3 \cdot x_3=b}

Durch das Wissen einer dieser drei Formen kann man mit wenig Aufwand zu den jeweiligen anderen Formen gelangen.

Wichtig: Alles spielt sich im R³ ab! Schülern werden auch Vektoren nur im R³ näher gebracht.

Ebene1.jpg

Weitere wichtige Begriffe

Bei den von den Schülern durchzuführenden Aufgaben hat das zuvor eingeführte Skalarprodukt eine enorme Bedeutung.

Vor allem zum Berechnen von Schnittwinkeln, aber auch zur Verwendung des Normalenvektors, ein weiterer wichtiger Begriff.

Beim Umwandeln von der Parameterform in die Normalenform ist z.B. die Anwendung des Kreuzproduktes wissenswert.

Begriffe die noch direkt im Zusammenhang mit der Ebene stehen sind u.a. Richtungsvektor, Ortsvektor, linear (un)abhängig oder Schnittgerade.

Eine anwendungsbezogene Aufgabe

Eure Aufgabe soll folgendes Problem beinhalten:


Da es nicht so schwer sein dürfte, Aufgaben mit Ebenen zu lösen, wollen wir uns hauptsächlich mit Archimdes 3D beschäftigen.

Gehen wir doch mal die "Standardaufgaben" durch und versuchen diese mit Archimdes 3D zu verwirklichen:

1) Konstruiert zwei Ebenen. Verwendet dabei zwei unterschiedliche Weisen der Konstruktion!

2) Bestimmt den Schnittwinkel

3) Lasst euch eine Schnittgerade berechnen

Was findet ihr im Umgang mit dem Programm hierbei einfach und was ist verbesserungswürdig bzw. muss man erst einmal herausfinden?


Weiterführende Aufgabe:

Gegeben sei eine Ebene E und ein Punkt P, der nicht auf E liegt. Wo ist der Ort aller Punkte, die den gleichen Abstand zu P und zu E haben? Versuche dies darzustellen!

Ergebnis:

Ergebnis.jpg

Didaktischer Kommentar

Literaturverzeichnis

  • Abiturwissen Mathematik, DUDEN, Verlag für Bildungsmedien (2004)
  • Mathematik verständlich, Robert Müller-Fonfara, Weltbild (2006)
  • Handbuch der Mathematik, Walter Gellert, Buch und Zeitgesellschaft mbH Köln (1973)