Einsatz eines Abstandmessers in der Analysis

=Einleitung=

Im Folgenden ist eine fächerübergreifende Unterrichtseinheit beschrieben, welche die Verbindung zwischen [[Mathematik]] und [[Physik]] schafft. Der Zusammenhang von Ableitung, Stammfunktion und der eigentlichen Funktion stehen hier im Vordergrund. 

Man benötigt nur wenige physikalische Vorkenntnisse, außer dem Zusammenhang von Strecke-Zeit-Beschleunigung. Ferner sollten gleichmäßig beschleunigte Bewegungen und ihre Beschreibung bekannt sein. Aus dem Bereich der Mathematik ist die Differentialrechnung essenziell.

Mit Hilfe dieser Einheit soll verdeutlicht werden, dass Mathematik nicht nur rechnen ist, sondern auch im Alltag Anwendung findet. Zu diesem Zweck kann der Abstandsmesser eingesetzt werden.

= Graphikfähige Taschenrechner und Mess-Sensoren =

Für den [[TI-Nspire]] gibt es diverse anschließbare Sensoren. Zu diesen zählen unter anderen: Abstand, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft, Strom und Spannung, Temperaturmessung und Radioaktivität. Diese Sensoren können direkt an den Taschenrechner über USB angeschlossen werden und ermöglichen somit ein einfaches Erfassen von Messdaten. Diese können in Form einer Liste gespeichert werden. Bei der Verwendung des Abstandsmessers werden die Zeit, die Strecke, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung in der Tabelle dargestellt. Gemessen werden hierbei allerdings nur die Zeit und die Strecke, die restlichen Daten werden rechnerisch ermittelt.

= Lehrplan Sekundarstufe II =

Im Folgenden eine Auflistung der relevanten Themen für die Oberstufe. Die hier aufgeführten Angaben beziehen sich auf den Lehrplan für Nordrhein-Westfalen <ref> Richtlinien und Lehrpläne für die Sekundarstufe II - Gymnasium/Gesamtschule in NRW - Mathematik, 1. Auflage 1999 </ref>. Zu den Themen, die im Grundkurs behandelt werden, kommen im Leistungskurs die, welche kursiv geschrieben sind.

== Jgst. 11 ==

In der Jahrgangsstufe 11 soll laut Lehrplan die "'''Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen'''" behandelt werden. Das schließt folgende Punkte ein, die für die schiefe Ebene eine Basis bilden:
* Mittlere Änderungsrate, durchschnittliche Steigung, Sekante, Differenzenquotient
* Momentane Änderungsrate, lokale Steigung, Tangente, Grenzprozess des Differenzenquotienten
* Ableitung und Ableitungsfunktion, Tangentengleichung
* Ableitungsregeln für ganzrationale Funktionen
* Analyse von Funktionen

== Jgst. 12/13 ==

In der Jahrgangsstufe 12 bzw. 13 sollen laut Lehrplan die Gebiete "Lineare Algebra/Geometrie", "Stochastik" und "'''Analysis'''" als Fortführung der bereits bekannten Differentialrechnung und der Integralrechnung behandelt werden. Die Fortführung der Differentialrechnung werden folgende Punkte genannt:
* Ganzrationale Funktionen im Sachzusammenhang
* Untersuchung weiterer Funktionsklassen und benötigte Ableitungsregeln
** ''Produkt-, Quotienten-, Kettenregel und Umkehrfunktion''
* Extremwertprobleme
* Funktionenscharen
Die Integralrechnung umfasst folgende Aspekte:
* Produktsummen
* Stammfunktion, bestimmtes Integral und Eigenschaften, ''Integrierbarkeit''
* Integralfunktion
* ''Zusammenhang Integrierbarkeit-Stetigkeit-Diffbarkeit''
* Flächenberechnung per Integration
* Verfahren zur numerischen Integration
* <i>Uneigentliche Integrale</i>

= Theoretischer Hintergrund =

== Gleichmäßig beschleunigte Bewegung ==

'''Ohne Anfangsgeschwindigkeit'''
*Weg - Zeit - Funktion:
<math>s(t)=\frac{1}{2}a_0\cdot t^2</math>

*Geschwindigkeit - Zeit - Funktion:
<math>v(t)=a_0\cdot t</math>

'''Mit Anfangsgeschwindigkeit'''
*Weg - Zeit - Funktion:
<math>s(t)=v_0\cdot t+\frac{1}{2}a_0\cdot t^2</math> 

*Geschwindigkeit - Zeit - Funktion:
<math>v(t)=v_0\cdot t+a_0\cdot t</math>

== Harmonische Schwingung ==

*Weg - Zeit - Funktion:
<math>s(t)=A\cdot \sin(w\cdot t+\varphi_0) </math>

*Geschwindigkeit - Zeit - Funktion:
<math>v(t)=A\cdot w\cdot \cos(w\cdot t+\varphi_0) </math>

= Anwendungen =

== Schiefe Ebene ==

Um den Zusammenhang von Strecke, Geschwindigkeit und Beschleunigung zu verdeutlichen, eignet sich das Beispiel der "Schiefen Ebene" besonders gut. Fächerübergreifendes Arbeiten steht hierbei im Vordergrund.

Hierzu verwende man eine Fallrinne, welche ein Herunterrollen der Kugel durch das Schrägstellen der Ebene ermöglicht. Am oberen Anfang der Fallrinne wird der Abstandsmesser, also gerade der CBR Sensor so aufgestellt, so dass dieser den zunehmenden Abstand der rollenden Kugel aufzeichnet. Beachte, dass der Abstand zwischen Sensor und Kugel mind. 40cm betragen sollte, da der Sensor über ein Ultraschallsignal arbeitet, welches bei zu wenig Abstand keine vernünftigen Werte aufgrund von Überlagerungen liefert.

Zu beachten ist weiter, dass vor der Messung die Einstellungen kontrolliert werden. Hierzu zählen die Anzahl der Aufnahmen, das Zeitintervall und die Art der Aufnahme. In diesem Fall eignet sich die Abhängigkeit von der Zeit (Timegraph).

Gemessen wird der mit fortschreitender Zeit <math>t</math> immer größer werdende Abstand <math>s(t)</math>. Ferner berechnet der TI-Nspire die Geschwindigkeit und die Beschleunigung aus den aufgenommenen Werten für den Abstand <math>s(t)</math>.

Eine Wiedergabe der Daten in "Lists & Spreadsheet" oder "Graphs & Geometry" ist hier am besten geeignet.

Zu erkennen ist eine Parabel, die die Streckenzunahme in Abhängigkeit von der Zeit darstellt.

[[Datei:versuch1g.jpeg|thumb|center|450px|Messergebnisse Fallrinne]]

== Federpendel ==

Mit Hilfe eines Abstandsmessers kann man das periodische Schwingen eines Federpendels aufnehmen. Hierzu hänge man eine Feder so auf, dass diese frei schwingen kann. Außerdem befestige man an der Feder ein Massestück, so dass sich eine schöne (nahezu ungedämpfte) Schwingung ergibt. Um ein Federpendel mit den Abstandmesser beobachten zu können, muss dieser auf den Boden gelegt werden, damit er den wechselnden Abstand aufzeichnen kann. Alternativ gibt es hier die Möglichkeit mit einem Kraftsensor zu arbeiten. Diese wird hier jedoch nicht berücksichtigt. Auch bei dem Federpendel ist es wieder wichtig, den Abstand zwischen Sensor und Masse von mindestens 40cm einzuhalten und das Zeitintervall, ebenso wie die Versuchsdauer zu kontrollieren und passend einzustellen.

Zu erkennen ist, dass es sich bei dem aufgenommenen Graphen um eine trigonometrische Funktion handelt, welche den Zusammenhang zwischen dem Abstand und der Zeit darstellt.

[[Datei:versuch2g.jpeg|thumb|center|450px|Messergebnisse Federpendel]]

==Aufgaben==
{{Aufgabe|
Sie haben nun die aufgenommenen Daten in Form einer Tabelle geschickt bekommen:
*Zeichnen Sie alle möglichen (sinnvollen) Funktionen.
*Fitten Sie die Kurven.
*Was können Sie erkennen?
*Berechnen Sie die Funktionen der Steigung und die der Beschleunigung 'per Hand'.
*Welche Unterschiede gibt es?
**(versuch1) Sind die Ableitungsregeln zu erkennen? – Wo?
**(versuch2) Machen hier Integrale einen Sinn? Regeln?
*Beurteilen Sie die Aufgaben; Änderungen?}}

=Fazit=
Die Verbindung von Mathematik und Physik im Unterricht bietet eine gute Möglichkeit, um die Notwendigkeit beider zu erklären. Viele bezeichnen die Mathematik auch gern als 'Werkzeug der Physik' oder der Naturwissenschaften allgemein. In diesem Zusammenhang ist die Verwendung von Computern - speziell vom TI-Nspire - eine willkommene Abwechslung, die allerlei Möglichkeiten bietet die Zusammenhänge schnell und klar darzustellen.

= Literatur =
* Prof. Dr. B. Fromme, "Freier Fall" - frei nach Galilei - Fallrinnenversuche mit modernen schulischen Mitteln
* Richtlinien und Lehrpläne für die Sekundarstufe II - Gymnasium/Gesamtschule in NRW - Mathematik, 1. Auflage 1999


[[Kategorie:Analysis]]