Einsatz eines Abstandmessers in der Analysis: Unterschied zwischen den Versionen

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== Harmonische Schwingung ==
 
== Harmonische Schwingung ==

Version vom 15. Juni 2009, 16:35 Uhr

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Inhaltsverzeichnis

Einleitung

Im Folgenden ist eine fächerübergreifende Unterrichtseinheit beschrieben, welche die Verbindung zwischen Mathematik und Physik schafft. Der Zusammenhang von Ableitung, Stammfunktion und der eigentlichen Funktion stehen hier im Vordergrund. Man benötigt nur wenige physikalische Vorkenntnisse, außer dem Zusammenhang von Strecke-Zeit-Beschleunigung. Ferner sollten gleichmäßig beschleunigte Bewegungen und ihre Beschreibung bekannt sein. Aus dem Bereich der Mathematik ist die Differentialrechnung essenziell. Mit Hilfe dieser Einheit soll verdeutlicht werden, dass Mathematik nicht nur rechnen ist, sondern auch im Alltag Anwendung findet. Zu diesem Zweck kann der Abstandsmesser eingesetzt werden.

Graphikfähige Taschenrechner und Mess-Sensoren

Für den TI-Nspire gibt es diverse anschließbare Sensoren. Zu diesen zählen unter anderen: Abstand, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft, Strom und Spannung, Temperaturmessung und Radioaktivität. Diese Sensoren können direkt an den Taschenrechner über USB angeschlossen werden und ermöglichen somit ein einfaches Erfassen von Messdaten. Diese können in Form einer Liste gespeichert werden. Bei der Verwendung des Abstandsmessers werden die Zeit, die Strecke, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung in der Tabelle dargestellt. Gemessen werden hierbei allerdings nur die Zeit und die Strecke, die restlichen Daten werden rechnerisch ermittelt.

Lehrplan Sekundarstufe II

Im Folgenden eine Auflistung der relevanten Themen für die Oberstufe. Zu den Themen, die im Grundkurs behandelt werden, kommen im Leistungskurs die, welche kursiv geschrieben sind.

Jgst. 11

In der Jahrgangsstufe 11 soll laut Lehrplan die "Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen" behandelt werden. Das schließt folgende Punkte ein, die für die schiefe Ebene eine Basis bilden:

  • Mittlere Änderungsrate, durchschnittliche Steigung, Sekante, Differenzenquotient
  • Momentane Änderungsrate, lokale Steigung, Tangente, Grenzprozess Differenzenquotient
  • Ableitung und Ableitungsfunktion, Tangentengleichung
  • Ableitungsregeln für ganzrationale Funktionen
  • Analyse von Funktionen

Jgst. 12/13

In der Jahrgangsstufe 12 bzw. 13 sollen laut Lehrplan die Gebiete "Lineare Algebra/Geometrie", "Stochastik" und "Analysis" als Fortführung der bereits bekannten Differentialrechnung und der Integralrechnung behandelt werden. Die Fortführung der Differentialrechnung werden folgende Punkte genannt:

  • Ganzrationale Funktionen im Sachzusammenhang
  • Untersuchung weiterer Funktionsklassen und benötigte Ableitungsregeln
    • Produkt-, Quotienten-, Kettenregel und Umkehrfunktion
  • Extremwertprobleme
  • Funktionenscharen

Die Integralrechnung umfasst folgende Aspekte:

  • Produktsummen
  • Stammfunktion, bestimmtes Integral und Eigenschaften, Integrierbarkeit
  • Integralfunktion
  • Zusammenhang Integrierbarkeit-Stetigkeit-Diffbarkeit
  • Flächenberechnung per Integration
  • Verfahren zur numerischen Integration
  • Uneigentliche Integrale

Theoretischer Hintergrund

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Ohne Anfangsgeschwindigkeit

  • Weg - Zeit - Funktion:

s(t)=\frac{1}{2}a_0\cdot t^2

  • Geschwindigkeit - Zeit - Funktion:

v(t)=a_0\cdot t

Mit Anfangsgeschwindigkeit

  • Weg - Zeit - Funktion:

s(t)=v_0\cdot t+\frac{1}{2}a_0\cdot t^2

  • Geschwindigkeit - Zeit - Funktion:

v(t)=v_0\cdot t+a_0\cdot t

Harmonische Schwingung

  • Weg - Zeit - Funktion:

s(t)=A\cdot \sin(w\cdot t+\varphi_0)

  • Geschwindigkeit - Zeit - Funktion:

v(t)=A\cdot w\cdot \cos(w\cdot t+\varphi_0)

Anwendungen

Schiefe Ebene

Um den Zusammenhang von Strecke, Geschwindigkeit und Beschleunigung zu verdeutlichen, eignet sich das Beispiel der "Schiefen Ebene" besonders gut. Fächerübergreifendes Arbeiten steht hierbei im Vordergrund.

Hierzu verwende man eine Fallrinne, welche ein Herunterrollen der Kugel durch das Schrägstellen der Ebene ermöglicht. Am oberen Anfang der Fallrinne wird der Abstandsmesser, also gerade der CBR Sensor so aufgestellt, so dass dieser den zunehmenden Abstand der rollenden Kugel aufzeichnet. Beachte, dass der Abstand zwischen Sensor und Kugel mind. 40cm betragen sollte, da der Sensor über ein Ultraschallsignal arbeitet, welches bei zu wenig Abstand keine vernünftigen Werte aufgrund von Überlagerungen liefert.

Zu beachten ist weiter, dass vor der Messung die Einstellungen kontrolliert werden. Hierzu zählen die Anzahl der Aufnahmen, der Abstand dazwischen und die Abhängigkeit von der Zeit (Timegraph).
Gemessen wird der immer größer werdende Abstand s. Ferner berechnet der TI-Nspire die Geschwindigkeit und die Beschleunigung aus den aufgenommenen Werten für den Abstand s.

Eine Wiedergabe der Daten in Form einer Liste oder einer Grafik ist hier angemessen.

Zu erkennen ist eine Parabel, die die Streckenzunahme in Abhängigkeit von der Zeit darstellt.

Messergebnisse Fallrinne

Federpendel

Mit Hilfe eines Abstandsmessers kann man das periodische Schwingen eines Federpendels aufnehmen. Hierzu hänge man eine Feder so auf, dass diese frei schwingen kann. Außerdem befestige man an der Feder ein Massestück, so dass sich eine schöne (nahezu ungedämpfte) Schwingung ergibt. Um ein Federpendel mit den Abstandmesser beobachten zu können, muss dieser auf den Boden gelegt werden, damit dieser den wechselnden Abstand aufzeichnen kann. Alternativ gibt es hier die Möglichekit mit einem Kraftsensor zu arbeiten. Diese wird hier jedoch nicht berücksichtigt. Auch hier ist es wieder wichtig, den Abstand zwischen Sensor und Masse von mindestens 40cm einzuhalten und dass das Zeitintervall, ebenso wie die Versuchsdauer kontrolliert und passend eingestellt werden.

Zu erkennen ist, dass es sich bei der Schwingung um eine trigonometrische Funktion handelt, welche den Zusammenhang zwischen Abstand und Zeit darstellt.

Messergebnisse Federpendel

Aufgaben

Sie haben nun die aufgenommenen Daten in Form einer Tabelle geschickt bekommen:

  • Zeichnen Sie alle möglichen (sinnvollen) Funktionen.
  • Fitten Sie die Kurven.
  • Was können Sie erkennen?
  • Berechnen Sie die Funktionen der Steigung und die der Beschleunigung ´per Hand´.
  • Welche Unterschiede gibt es?
    • (versuch1) Sind die Ableitungsregeln zu erkennen? – Wo?
    • (versuch2) Machen hier Integrale einen Sinn? Regeln?
  • Beurteilen Sie die Aufgaben; Änderungen?

Fazit

Die Verbindung von Mathematik und Physik bietet eine gute Möglichkeit, um die Notwendigkeit beider zu erklären. ´Mathematik als Werkzeug der Physik´ als Stichwort. Für diesen Zusammenhang ist die Verwendung von Computern, speziell vom TI-Nspire eine willkommene Abwechslung, die allerlei Möglichkeiten bietet und womit man die Zusammenhänge gut darstellen kann.

Literatur

  • Prof. Dr. B. Fromme, "Freier Fall" - frei nach Galilei - Fallrinnenversuche mit modernen schulischen Mitteln
  • Richtlinien und Lehrpläne für die Sekundarstufe II - Gymnasium/Gesamtschule in NRW - Mathematik, 1. Auflage 1999