Einsatz eines Abstandmessers in der Analysis

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Inhaltsverzeichnis

Grafikfähige Taschenrechner und Mess - Sensoren

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Kernlehrplan Sekundarstufe II

Jgst. 11

In der Jahrgangsstufe 11 sollen laut Kernlehrplan die Gebiete "Koordinatengeometrie", "beschreibende Statistik" und "Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen" behandelt werden. Letzteres schließt folgende Punkte ein, die für die schiefe Ebene eine Basis bilden:

  • Mittlere Änderungsrate, durchschnittliche Steigung, Sekante, Differenzenquotient
  • Momentane Änderungsrate, lokale Steigung, Tangente, Grenzprozess Diffquotient
  • Ableitung & Ableitungsfunktion, Tangentengleichung
  • Ableitungsregeln für ganzrationale Funktionen
  • Kurvendiskussion

Jgst. 12/13

In der Jahrgangsstufe 12 bzw. 13 sollen laut Kernlehrplan die Gebiete "Lineare Algebra/Geometrie", "Stochastik" und "Analysis" als Fortführung der bereits bekannten Differentialrechnung und der Integralrechnung behandelt werden. Die Fortführung der Differentialrechnung werden folgende Punkte genannt:

  • Ganzrationale Funktionen in Sachzusammenhang
  • Untersuchung weiterer Funktionsklassen und benötigte Ableitungsregeln
    • Produkt-, Quotienten-, Kettenregel und Umkehrfunktion
  • Extremwertprobleme
  • Funktionenscharen

Die Integralrechnung umfasst folgende Aspekte:

  • Produktsummen
  • Stammfunktion, bestimmtes Integral und Eigenschaften, Integrierbarkeit
  • Integralfunktion
  • Zusammenhang Integrierbarkeit-Stetigkeit-Diffbarkeit
  • Flächenberechnung per Integration
  • Verfahren zur numerischen Integration
  • Uneigentliche Integrale

Theoretischer Hintergrund

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Ohne Anfangsgeschwindigkeit

  • Weg-Zeit-Funktion:

s(t)=\frac{1}{2}a_0\cdot t^2

  • Geschwindigkeit-Zeit-Funktion:

v(t)=a_0\cdot t Mit Anfangsgeschwindigkeit

  • Weg-Zeit-Funktion:

s(t)=v_0\cdot t+\frac{1}{2}a_0\cdot t^2

  • Geschwindigkeit-Zeit-Funktion:

v(t)=v_0\cdot t+a_0\cdot t

Harmonische Schwingung

  • Weg - Zeit - Funktion:

s(t)=A\cdot \sin(w\cdot t+\varphi_0)

  • Geschwindigkeit - Zeit - Funktion:

v(t)=A\cdot w\cdot \cos(w\cdot t+\varphi_0)

Anwendungen

Schiefe Ebene

Um den Zusammenhang von Strecke, Geschwindigkeit und Beschleunigung zu verdeutlichen eignet sich das Beispiel der "Schiefen Ebene" besonders gut. Fächerübergreifendes Arbeiten steht hierbei im Vordergrund.
Hierzu verwende man eine Fallrinne, welche ein Herunterrollen der Kugel durch das Schrägstellen der Ebene ermöglicht. Am oberen Anfang der Fallrinne wird der Abstandsmesser, also gerade der CBR Sensor so aufgestellt, so dass dieser den zunehmenden Abstand der rollenden Kugel aufzeichnet. Beachte, dass der Abstand zwischen Sensor und Kugel mind. 40cm betragen sollte, da der Sensor über eine Ultraschallsignal arbeitet, welches bei zu wenig Abstand keine vernünftigen Werte aufgrund von Überlagerungen liefert.
Zu beachten ist weiter, dass vor der Messung die Einstellungen kontrolliert werden. Hierzu zählen die Anzahl der Aufnahmen, der Abstand dazwischen und die abhängigkeit von der Zeit (Timegraph).
Gemessen wird der immer größer werdende Abstand s. Ferner berechnet der TI-Nspire die Geschwindigkeit und die Beschleunigung aus den aufgenommenen Werten für den Abstand s.
Eine Wiedergabe der Daten in Form einer Liste oder einer Grafik ist hier angemessen.
Zu erkennen ist eine Parabel, die die Streckenzunahme in Abhängigkeit von der Zeit darstellt.

Federpendel

Mit Hilfe einer Abstandsmessers kann man das periodische Schwingen eines Federpendels aufnehmen. Hierzu hänge eine Feder so auf, dass diese frei schwingen kann. Außerdem befestige an der Feder ein Massestück, so dass sich eine schöne (nahezu ungedämpfte) Schwingung ergibt. Um ein Federpendel mit den Abstandmesser beobachten zu können, muss dieser auf den Boden gelegt werden, damit dieser den wechselnden Abstand aufzeichnen kann. Alternativ gibt es hier die Möglichekit mit einem Kraftsensor zu arbeiten. Diese wird hier jedoch nicht berücksichtigt. Auch hier ist zu berücksichtigen, dass der Abstand zwischen Sensor und Masse über 40cm beträgt und dass das Zeitintervall, ebenso wie die Versuchsdauer kontrolliert und passend eingestellt werden.
Zu erkennen ist, dass es sich bei der Schwingung um eine trigonometrische Funktion handelt, welche den Zusammenhang zwischen Abstand und Zeit darstellt.