Newton-Verfahren

Das Newton-Verfahren ist ein Iterationsverfahren, das zur Bestimmung von Nullstellen fast aller Funktionen verwendet werden kann. Es kann dort Lösungen liefern, wo Faktorisieren, Polynomdivision und einfache Algorithmen (wie die pq-Formel) keine Lösung mehr bieten.

Motivation

Neben dem am häufigsten gewählten Weg die Ableitung im Mathematikunterricht einzuführen, nämlich über den Differenzenqoutienten, gibt es eine weitere Möglichkeit, die bis dato eher ein Schattendasein fristet: die lokale Linearisierung.
Anschaulich eingeführt etwa über das Funktionenmikroskop bietet die lokale Linearisierung nicht nur eine Ergänzung zum Differenzenquotienten, die maßgeblich zum Verständnis der Ableitung beitragen kann. Sie besticht vor allem durch verschiedene Erweiterungen und Anwendungen, wie etwa die Fehlerrechnung, wesentlich vereinfachte Beweismethoden vieler Ableitungsregeln sowie den hier genauer behandelten Newton-Algorithmus.

Herleitung des Newton-Verfahrens

Aufgabenstellung

Aufgabe Klicken Sie mit der rechten Maustaste auf den Schieber und wählen Sie "Animation ein" (alternativ ziehen Sie den Schieber manuell). Experimentieren Sie mit verschiedenen Startpunkten (durch Verschieben von P0 und verschiedenen Funktionen (Eingabemuster: f(x)= ... ) Notieren Sie Ihre Beobachtungen. Beschreiben Sie (geometrisch), wie sich der jeweils nächste Punkt Pneu aus dem vorigen ergibt. Versuchen Sie eine Formel zu finden, die den Prozess unter (1) beschreibt. (Tipp: Benutzen Sie die von der lok. Linearisierung bekannte Tangentengleichung: t(x+h) = f(x) + h*f'(x) )

Geogebra interactive worksheet zum Download als .ggb-file: Datei:Newton1.ggb
Kann über Datei/Export/... in .html Arbeitsblatt mit Aufgabenstellung umgewandelt werden.

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Lösung Die Schüler beobachten zunächst, dass für (fast) alle Funktionen der Punkt N bereits nach wenigen Schritten nicht mehr optisch von der tatsächlichen Nullstelle zu unterscheiden ist, N sich also der Nullstelle sehr schnell nähert. Die Schüler beobachten, dass der Startpunkt nicht nur bestimmt, wie schnell man sich der tatsächlichen Nullstelle nähert sondern auch welcher Nullstelle man sich nähert, falls die Funktion derer mehrere besitzt. Der Punkt Pneu liegt auf dem Graphen der Funktion $f$. Seine x-Koordinate entspricht der x-Koordinate des Schnittpunktes der Tangente von $f$ im vorherigen Punkt mit der x-Achse, oder: Pneu ist der Schnittpunkt des Graphen mit der Senkrechten zur x-Achse im Punkt N. N ist Schnittpunkt der Tangente an f im vorigen Punkt mit der x-Achse. Zunächst wird die Funktion im Punkt $P(x_n,f(x_n))$ linearisiert. Die Tangente in P ist dann von der Form $t(x_n+h)=f(x_n)+f '(x_n)*h$. Wir erinnern uns, dass $h$ in der lokalen Linearisierung den Abstand zweier "Messpunkte" beschrieb, und setzen $h=x-x_n$. Dies liefert $t(x)=f(x)+ f'(x)*(x-x_n)$. Gesucht wird die x-Koordinate von N, also der Schnittpunkt von $t$ mit der x-Achse. Dazu sei also $x_{n+1}$ die Nullstelle der Tangente und wir erhalten: $0=t(x_{n+1})=f(x_n)+f'(x_n)(x_{n+1}- x_n) \Rightarrow x_{n+1}=x_n- \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$