Newton-Verfahren

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Das Newton-Verfahren ist ein Iterationsverfahren, das zur Bestimmung von Nullstellen fast aller Funktionen verwendet werden kann. Es kann dort Lösungen liefern, wo Faktorisieren, Polynomdivision und einfache Algorithmen (wie die pq-Formel) keine Lösung mehr bieten.

Inhaltsverzeichnis

Motivation

Neben dem am häufigsten gewählten Weg die Ableitung im Mathematikunterricht einzuführen, nämlich über den Differenzenqoutienten, gibt es eine weitere Möglichkeit, die bis dato eher ein Schattendasein fristet: die lokale Linearisierung.
Anschaulich eingeführt etwa über das Funktionenmikroskop bietet die lokale Linearisierung nicht nur eine Ergänzung zum Differenzenquotienten, die maßgeblich zum Verständnis der Ableitung beitragen kann. Sie besticht vor allem durch verschiedene Erweiterungen und Anwendungen, wie etwa die Fehlerrechnung, wesentlich vereinfachte Beweismethoden vieler Ableitungsregeln sowie den hier genauer behandelten Newton-Algorithmus.

Voraussetzungen

Die Schüler

  • haben die Methode der lokalen Linearisierung kennen gelernt
  • besitzen die damit verbundenen geometrischen Grundkenntnisse
  • haben das Programm GeoGebra bereits kennen gelernt, müssen jedoch keine spezifischen Kenntnisse besitzen
  • hilfreich aber nicht zwingend erforderlich: kennen bereits andere iterative Verfahren (z.B. den Heron-Algorithmus, einen Spezialfall des Newton-Verfahrens)

Herleitung des Newton-Verfahrens

Aufgabenstellung

Stift.gif   Aufgabe

Klicken Sie mit der rechten Maustaste auf den Schieber und wählen Sie "Animation ein" (alternativ ziehen Sie den Schieber manuell).

Experimentieren Sie mit verschiedenen Startpunkten (durch Verschieben von P0) und verschiedenen Funktionen (Eingabemuster: f(x)= ... )

Notieren Sie Ihre Beobachtungen.


  1. Beschreiben Sie (geometrisch), wie sich der jeweils nächste Punkt Pneu aus dem vorigen ergibt.
  2. Versuchen Sie eine Formel zu finden, die den Prozess unter (1) beschreibt.

(Tipp: Benutzen Sie die von der lok. Linearisierung bekannte Tangentengleichung: t(x+h) = f(x) + h*f'(x) )

Geogebra interactive worksheet zum Download als .ggb-file: Datei:Newton1.ggb
Kann über Datei/Export/... in .html Arbeitsblatt mit Aufgabenstellung umgewandelt werden.

Lösungsskizze

Situation im Lehrplan/Zentrale Ideen

Wie in der Motivation bereits angedeutet, schließt sich der Newton-Algorithmus an die Einführung der Ableitung über die lokale Linearisierung als dessen wohl berühmteste Anwendung an. Die Hinführung zum Newton-Verfahren kann vor allem zwei zentrale Ideen im Lehrplan ansprechen. Primär ist dies die Idee des Algorthmus, erweitert kann auch die Idee der Zahl berührt werden.

Idee des Algorithmus

Ein mathematischer Algorithmus ist nichts anderes als eine standardisierte Problemlösung für eine Klasse strukturell verwandter Probleme, [...] Verständnis in die Idee des Algorithmus wird sich dann einstellen, wenn die Schülerinnen und Schüler in beiden Bereichen [Ausführen und Entwerfen] Erfahrungen sammeln und über sie reflektieren

- Richtlinien und Lehrpläne für die Sekundarstufe II - Gymnasium/Gesamtschule in Nordrhein/Westfalen. Ritterbach Verlag (1999)

Idee der Zahl

Wenn näherungsweise Nullstellen bestimmt werden, kann ein Nachdenken über die Notwendigkeit zur Erweiterung der Zahlenräume erfolgen. [...] die Grenzprozesse des Differenzenquotienten und das uneigentliche Integral, aber auch die Auseinandersetzung mit Iterationen bieten Möglichkeiten, den Schülerinnen und Schülern die Reichweite der Idee der Zahl zu verdeutlichen.

- Richtlinien und Lehrpläne für die Sekundarstufe II - Gymnasium/Gesamtschule in Nordrhein/Westfalen. Ritterbach Verlag (1999)

Didaktischer Kommentar

Ziel dieser Einheit soll es sein, dass die Schüler selbsttätig mit Hilfe der Software einen Algorithmus entwickeln bzw. dessen Entwicklung nachvollziehen. Dabei kann das neu gewonnene Wissen über die Differentialrechnung (insb. die lokale Linearisierbarkeit einer Funktion) angewendet und mit Vorkenntnissen aus Geometrie und Algebra aus der Sekundarstufe I verknüpft werden.

Weiterführende Aufgabenstellungen können u.a. folgende Themen aufgreifen:

  1. Nachdem die Iterationsvorschrift gefunden wurde, kann mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie etwa Excel oder auch Lists&Spreadsheets des TI-nSpire vertiefend auf Konvergenz und Grenzwert eingegangen werden, indem nun wesentlich schneller und kleinschrittiger verschiedene Funktionen und das Konvergenzverhalten des Newton-Verfahrens betrachtet werden können.
  2. Ebenso können die Schüler schon mit relativ einfachen Funktionen wie etwa f(x)=x^3-2x+2, für die der Newton-Algorithmus nicht mehr konvergiert sondern osziliert, für Grenzen und Probleme von Algorithmen sensibilisiert werden.