Von der lokalen Änderungsrate zur Ableitungsfunktion (2010)

Der Ableitungsbegriff kann in der Schule auf unterschiedliche Weise eingeführt werden. Hier soll es darum gehen, wie er mit Hilfe des Differenzenquotienten und des Differenzialquotienten erarbeitet werden kann. Im Zusammenhang damit sollte die Ableitung als lokale [[Änderungsrate]] gesehen werden.<br />

== Motivation ==
Im Unterricht kann als einführendes Beispiel die Geschwindigkeitsänderung eines Autos verwendet werden, wobei man zunächst Durchschnitts- (als mittlere Änderungsrate) und anschließend Momentangeschwindigkeiten (als lokale Änderungsrate) betrachtet. Für genaue Untersuchungen eignet sich der Anfahrtsvorgang des Autos, der sich annähernd mit der Funktion f(x) = x² beschreiben lässt. Für die graphische Darstellung wird lediglich der 1. Quadrant benötigt, so dass die Zeit auf der x-Achse und der zurückgelegte Weg auf der y-Achse aufgetragen sind.

== Voraussetzungen ==

Die Schülerinnen und Schüler sollten
* mit dem Taschenrechner [[TI-Nspire]] umgehen können, wozu insbesondere die Abbildung im Grapheneditor und Tabellenkalkulation gehört
* den Grenzwertbegriff kennen gelernt haben
* sich bereits mit dem Differenzenquotienten auseinander gesetzt haben

== Aufgabenstellung ==
{{Aufgabe|Der Anfahrtsweg eines Autos lässt sich annähernd mit der Funktion <math> f(x) = x^2</math> beschreiben. Verwenden Sie diese Funktion, um die mittlere Geschwindigkeit in Intervallen zwischen 0 und 1 zu beobachten, wobei Sie 1 als eine Grenze des Intervalls festhalten. Was fällt Ihnen auf?}}

Bei der Bearbeitung der Aufgabe können folgende Schritte durchgeführt werden:

* Zeichnen der Funktion f(x) mit dem Taschenrechner und Darstellung des ersten Quadranten ([[TI-Nspire/Glossar#Graph|Graph einer Funktion zeichnen]])
* Zeichnen einer Senkrechte zur x-Achse, die den Graphen schneidet ([[TI-Nspire/Glossar#Linien, besondere|Senkrechte]], x-Achse anklicken und den Punkt auf den Graph legen), und einer weiteren Senkrechte zur y-Achse durch den Schnittpunkt.

<popup name="Lösung">[[Datei:graphsenkrechten.jpg|300px|center]]</popup>

* Anzeigen der Koordinaten des Schnittpunktes ([[TI-Nspire/Glossar#Koordinaten|Koordinaten anzeigen]])
* Benennen der Koordinaten mit Variablen ([[TI-Nspire/Glossar#Variable|Variablen verknüpfen]])

<popup name="Lösung">[[Datei:graphfertig.jpg|300px|center]]</popup>

* Erstellen einer Tabelle, in der mit der automatischen Datenerfassung die Koordinaten des Schnittpunktes auf dem Graphen erfasst werden können ([[TI-Nspire/Glossar#Werte|Werte speichern]])

<popup name="Lösung">[[Datei:tabelleleer.jpg|300px|center]]</popup>

* Wechseln in die Applikation Graphs und Veränderung des Schnittpunktes entlang des Graphen von (0|0) bis (1|1)
* Wechseln Sie in die Applikation Lists & Spreadsheet und erstellen Sie zwei neue Spalten mit der 1–x-Koordinaten des Schnittpunktes und den f(1)–y-Koordinaten des Schnittpunktes
* Mit den aufgezeichneten Daten in der Tabelle können Sie nun Untersuchungen zum Differenzenquotienten durchführen, wobei Sie als festen Vergleichspunkt x=1 und f(1)=1 wählen können.

<popup name="Lösung">[[Datei:tabellefertig.jpg|300px|center]]</popup>

== Bezug zum Lehrplan ==

Die Richtlinien und Lehrpläne für die Oberstufe in NRW geben die Differentialrechnung als Thema für den Unterricht vor. Dabei soll in der Jahrgangsstufe 11 der Ableitungsbegriff eingeführt werden, der als mathematische Basis auch in anderen Fächern - z.B. der Physik - zum Tragen kommt. In diesem Zusammenhang lassen sich insbesondere die Begriffe "Geschwindigkeit" und Beschleunigung" behandeln. Eine besondere Bedeutung bei der Erarbeitung der Differenzialrechnung hat die Idee des funktionalen Zusammenhangs. Funktionen dienen dazu, Abhängigkeiten zu erfassen und zu beschreiben und haben auch außerhalb der Mathematik zahlreiche Anwendungen.
Es ist wichtig, dass der Ableitungsbegriff ausführlich und verständlich thematisiert wird, um zu gewährleisten, dass auch die nachfolgende Vertiefung der Differenzialrechnung von den Schülern verstanden werden kann.

== Didaktischer Kommentar ==

Für den sinnvollen und verständigen Gebrauch des Ableitungsbegriffes sollte den Schülern dieser nicht einfach schnell vorgelegt, sondern gemeinsam erarbeitet werden. Hierzu eignet sich der Differenzenquotient, wenn der Grenzwertbegriff vorher bereits angesprochen wurde. Es ist jedoch auch möglich, beides parallel zu behandeln. Im Rahmen der oben angeführten Aufgabe kann folgende mathematische Beobachtung gemacht werden: Zähler und Nenner des Differenzenquotienten streben für abnehmenden Abstand jeweils gegen Null, die Quotient jedoch nicht. Im Zusammenhang mit der graphischen Darstellung kann dies noch veranschaulicht werden. Das Ziel der Aufgabe ist also ein sicherer Umgang mit dem Differenzenquotienten, was als Grundlage für den weiteren Verlauf des Unterrichts dienen soll.<br />
Das angeführte Beispiel ist vor allem deswegen unterrichtstauglich, weil es die Alltagswelt der Schüler betrifft und anschaulich ist. Ein besonderer Vorteil liegt darin, dass eine zeitliche Veränderung betrachtet wird, die für Schüler nachvollziehbar ist ohne dass sie viel physikalisches Vorwissen haben müssen.
Je nachdem, wie viele der Fähigkeiten beim Umgang mit dem Taschenrechner bereits erarbeitet wurden, können die Schwerpunkte durch die Lehrperson festgelegt werden. Es bestünde auch die Möglichkeit, die Schüler selbst experimentieren zu lassen.

== Literatur ==

* Danckwerts, R., und Vogel, D. (2006): Analysis verständlich unterrichten. München.
* Richtlinien und Lehrpläne für die Sekundarstufe II - Gymnasium / Gesamtschule in Nordrhein-Westfalen. Mathematik. Ministerium für Schule und Weiterbildung (Hrsg.). Ritterbach Verlag. 1. Auflage 1999

== Siehe auch ==

* [[MMS/SII/Von der lokalen Änderungsrate zur Ableitungsfunktion (2009)]]



{{SORTIERUNG:Ableitungsfunktion (2010), Von der lokalen Änderungsrate zur}}
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Materialien aus Mathematik-Seminaren, SII]]
[[Kategorie:TI-Nspire]]