Alles rund um Quadratische Funktionen

Info

In diesem Lernpfad geht es darum, dein Wissen im Bereich quadratischer Funktionen zu vertiefen.

Dazu werden dir Informationen und Aufgaben zur Scheitelpunktform, der Umwandlung zwischen Scheitelpunktform und Normalform sowie zur Berechnung von Nullstellen bereitgestellt. Zusätzlich erwarten dich zwei Anwendungsaufgaben, in welchen du die zuvor gelernten Inhalte testen kannst.

In diesem Lernpfad findest du Aufgaben mit einem *. Bei diesen handelt es sich um Forderaufgaben. Aufgaben mit ** sind anspruchsvolle Knobelaufgaben. Hat eine Aufgabe kein *, dann ist die Aufgabe zur Wiederholung und Vertiefung der Inhalte geeignet.

Scheitelpunktform

1. Die Scheitelpunktform

Fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die passenden Silben einfügst.

Wir schauen uns die Funktion $g(x)=a\cdot(x-d)^2+e$ an. Funktionen dieser Art heißen quadratische Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine Parabel. Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt Scheitelpunkt. Liegt die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vor, wie es hier der Fall ist, dann kann der Scheitelpunkt $S$ direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Der Parameter $d$ ist die $x$-Koordinate und der Parameter $e$ ist die $y$-Koordinate des Scheitelpunkts. $\Rightarrow S(d|e)$.
Ist der Parameter $a$ kleiner als Null ($a<0$), dann ist der Graph der Funktion $g$ nach unten geöffnet.
Ist $a$ größer als Null ($a>0$), dann ist der Graph von $g$ nach oben geöffnet.
Ist $a$ größer als Eins ($a>1$) oder kleiner als minus Eins ($a<-1$), dann sieht der Graph von $g$ schmaler aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph gestreckt wird.
Liegt $a$ zwischen minus Eins und Eins ($-1<a<1$), dann sieht der Graph von $g$ breiter aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph gestaucht wird.

Ist $d$ größer als Null ($d>0$), dann wird der Graph von $g$ nach rechts verschoben.
Ist $d$ kleiner als Null ($d<0$), dann wird der Graph von $g$ nach links verschoben.

Ist $e$ kleiner als Null ($e<0$), dann wird der Graph von $g$ nach unten verschoben.
Ist $e$ größer als Null ($e>0$), dann wird der Graph von $g$ nach oben verschoben.

Entdecke

Hier kannst du den Einfluss der einzelnen Parameter der Scheitelpunktform $a, d, e$ auf den Funktionsgraphen erkunden. Bewege dafür jeweils die Schieberegler und beobachte wie sich der Graph von $f$ verändert.

2.WANTED! Welche Punkte gehören nicht zu der Funktion f?

Gegeben seien die Funktion $f(x)=\frac{1}{2} \cdot (x-2)^2-2$ und die Punkte

$A=(4|0),$

$B=(0|2),$

$C=(-\frac{1}{2}| \frac{9}{8}),$

$D=(\frac{7}{3}|\frac{20}{3})$ und

$E=(2|-2)$.

a) Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte $A, B, C, D$ und $E$ auf dem Graphen von $f$ liegen.

Du kannst einfach prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt: Setze den $x$-Wert in die Funktionsgleichung ein und berechne den zugehörigen $y$-Wert

Die Punkte $A, C$ und $E$ liegen auf dem Graphen, die Punkte $B$ und $D$ nicht.

b) Zeichne den Graphen der Funktion $f$ und die Punkte $A-E$ in dein Heft. Vergleiche anschließend die Ergebnisse aus a) mit deiner Zeichnung

Du hast Probleme beim Zeichnen des Graphen? Der Lückentext in Aufgabe 1 hilft dir weiter.

Starte beim Zeichnen mit dem Scheitelpunkt, den du aus der Funktionsgleichung ablesen kannst. Auch hierbei kann dir Aufgabe 1 helfen.

Beim Zeichnen des Funktionsgraphen gibt dir der Parameter $a$ an, wie viele Einheiten du nach oben oder unten "gehen" musst, wenn du eine Einheit nach rechts oder links "gehst".

Wenn deine Zeichnung so aussieht, hast du alles richtig gemacht:

3. Welcher Graph hat mit welcher Funktionsgleichung ein Match?

Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den zugehörigen Graphen zu. Hinweis: Du kannst die Bilder der Funktionsgraphen vergrößern, indem du mit der Maus auf diese klickst.

Betrachtet man die Funktionsgleichung $j(x)=a\cdot (x-d)^2+e$, so steht $d$ für die Verschiebung in $x$-Richtung. Ist das Vorzeichen vor dem $d$ dabei negativ, so verschiebt man den Graphen nach rechts und wenn es positiv ist nach links. Das $e$ steht für die Verschiebung in $y$-Richtung nach oben, falls $e$ positiv ist und nach unten wenn es negativ ist.

Betrachtet man die Funktionsgleichung $j(x)=a\cdot (x-d)^2+e$, so beschreibt $a$ die Streckung (falls $a>1$) oder die Stauchung (falls $a<1$). Man geht vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach links oder rechts und dann um $a$ Einheiten nach oben (falls $a$ negativ ist nach unten).

Falls $a<1$ ist kann dies manchmal schwierig sein, da sich zum Beispiel $\frac{2}{3}$ nicht so einfach ablesen lässt. Hierfür kann man die Normalparabel $x^2$ betrachten. Sinnvoll ist es nun den Nenner, also $3$ einzusetzen. Somit erhält man $3^2=9$. Die erhaltene Zahl muss man nun mit dem Bruch multiplizieren $9*\frac{2}{3}=6$. Man geht nun vom Scheitelpunkt um die eingesetzte Zahl nach links oder rechts ($3$) und um die am Ende erhaltene Zahl nach oben ($6$), oder nach unten falls $a$ negativ ist. (Wenn du hier noch Probleme hast scrolle hoch zum GeoGebra-Applet und verschiebe den Regler für $a$. Beobachte dabei wie sich der Graph verändert.)

2)

$g(x)=(x+0)^2-4$ hat ihren Scheitelpunkt bei (0