Alles rund um Quadratische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Lösung versteckt| 1= Du musst nun die Gleichungen so von einander subtrahieren oder addieren, dass eine der Variablen dabei wegfallen. Dafür musst du zuerst dafür sorgen, dass die Vorfaktoren dieser Variablen in beiden Gleichungen identisch sind. Hast du nun nur noch eine Variable in der entstandenen Gleichung kannst du nach dieser Variablen auflösen. Hast du noch zwei Variablen musst du erneut eine der Gleichungen mit einer anderen verrechnen um eine weitere Gleichung mit den beiden Variablen zu erhalten. Diese beiden musst du abermals so verrechnen, dass eine der beiden Variablen wegfällt.
{{Lösung versteckt| 1= Du musst nun die Gleichungen so von einander subtrahieren oder addieren, sodass eine der Variablen dabei wegfallen. Dafür musst du zuerst dafür sorgen, sodass die Vorfaktoren dieser Variablen in beiden Gleichungen identisch sind. Hast du nun nur noch eine Variable in der entstandenen Gleichung kannst du nach dieser Variablen auflösen. Hast du noch zwei Variablen musst du erneut eine der Gleichungen mit einer anderen verrechnen um eine weitere Gleichung mit den beiden Variablen zu erhalten. Diese beiden musst du abermals so verrechnen, dass eine der beiden Variablen wegfällt.
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{{Lösung versteckt| 1= <math>g(x)=a\cdot(x-d)^2+e</math>
{{Lösung versteckt| 1= <math>g(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c</math>


Setze <math>S(2|1)</math> ein: <math>g(x)=a\cdot(x-2)^2+1</math>
Setze <math>P(3|2)</math> ein: <math>2=a\cdot 3^2+b\cdot 3+c=a\cdot 9+b\cdot 3+c</math>


Setze <math>P(3|5)</math> ein: <math>5=a\cdot(3-2)^2+1 \leftrightarrow 5=a\cdot 1^2+1 \leftrightarrow 5=a\cdot 1+1 \leftrightarrow 4=a</math>
Setze <math>Q(-1|0)</math> ein: <math>0=a\cdot(-1)^2+b\cdot (-1) +c=a-b+c</math>
 
Setze <math>R(0|7)</math> ein: <math>7=a\cdot0^2+b\cdot 0 +c=c</math>
 
Setze den erhaltenen Wert für <math>c</math> in die ersten beiden Gleichungen ein:
 
# <math>2=a\cdot 9+b\cdot 3+7 \leftrightarrow -5=a\cdot 9+b\cdot 3</math>
# <math>0=a-b+7 \leftrightarrow -7=a-b</math>
 
Bringe den Vorfaktor von <math>b</math> der beiden Gleichungen auf den selben Wert, z.B. <math>3</math>, indem du die zweite Gleichung mit <math>3</math> multiplizierst:
 
<math>(-7)\cdot 3=a\cdot 3-b\cdot 3 \leftrightarrow -21=3\cdot a-3\cdot b</math>
 
Addiere nun die Gleichungen <math>-5=9\cdot a+3\cdot b</math> und <math>-21=3\cdot a-3\cdot b</math> und stelle nach <math>a</math> um:
 
<math>-5+(-21)=(9+3)\cdot a \leftrightarrow -26=12\cdot a \leftrightarrow -\frac{13}{6}=a</math>  


Somit ergibt sich: <math>g(x)=4\cdot(x-2)^2+1</math>
Somit ergibt sich: <math>g(x)=4\cdot(x-2)^2+1</math>

Version vom 28. Oktober 2019, 14:16 Uhr

Info

In diesem Lernpfad geht es darum, dein Wissen im Bereich quadratischer Funktionen zu vertiefen.

Dazu werden dir Informationen und Aufgaben zur Scheitelpunktform, der Umwandlung zwischen Scheitelpunktform und Normalform sowie zur Berechnung von Nullstellen bereitgestellt. Zusätzlich erwarten dich zwei Anwendungsaufgaben, in welchen du die zuvor gelernten Inhalte testen kannst.

In diesem Lernpfad findest du Aufgaben mit einem *. Bei diesen handelt es sich um Forderaufgaben. Aufgaben mit ** sind anspruchsvolle Knobelaufgaben. Hat eine Aufgabe kein *, dann ist die Aufgabe zur Wiederholung und Vertiefung der Inhalte geeignet.

Scheitelpunktform

1. Die Scheitelpunktform
Fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die passenden Silben einfügst.

Wir schauen uns die Funktion an. Funktionen dieser Art heißen quadratische Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine Parabel. Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt Scheitelpunkt. Liegt die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vor, wie es hier der Fall ist, dann kann der Scheitelpunkt direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Der Parameter ist die -Koordinate und der Parameter ist die -Koordinate des Scheitelpunkts. .
Ist der Parameter kleiner als Null (), dann ist der Graph der Funktion nach unten geöffnet.
Ist größer als Null (), dann ist der Graph von nach oben geöffnet.
Ist größer als Eins () oder kleiner als minus Eins (), dann sieht der Graph von schmaler aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph gestreckt wird.
Liegt zwischen minus Eins und Eins (), dann sieht der Graph von breiter aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph gestaucht wird.

Ist größer als Null (), dann wird der Graph von nach rechts verschoben.
Ist kleiner als Null (), dann wird der Graph von nach links verschoben.

Ist kleiner als Null (), dann wird der Graph von nach unten verschoben.
Ist größer als Null (), dann wird der Graph von nach oben verschoben.


Entdecke

Hier kannst du den Einfluss der einzelnen Parameter der Scheitelpunktform auf den Funktionsgraphen erkunden. Bewege dafür jeweils die Schieberegler und beobachte wie sich der Graph von verändert.

GeoGebra


2.WANTED! Welche Punkte gehören nicht zu der Funktion f?

Gegeben seien die Funktion und die Punkte

und

.

a) Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte und auf dem Graphen von liegen.

Du kannst einfach prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt: Setze den -Wert in die Funktionsgleichung ein und berechne den zugehörigen -Wert
Die Punkte und liegen auf dem Graphen, die Punkte und nicht.

b) Zeichne den Graphen der Funktion und die Punkte in dein Heft. Vergleiche anschließend die Ergebnisse aus a) mit deiner Zeichnung


Du hast Probleme beim Zeichnen des Graphen? Der Lückentext in Aufgabe 1 hilft dir weiter.
Starte beim Zeichnen mit dem Scheitelpunkt, den du aus der Funktionsgleichung ablesen kannst. Auch hierbei kann dir Aufgabe 1 helfen.
Beim Zeichnen des Funktionsgraphen gibt dir der Parameter an, wie viele Einheiten du nach oben oder unten "gehen" musst, wenn du eine Einheit nach rechts oder links "gehst".
Wenn deine Zeichnung so aussieht, hast du alles richtig gemacht:
Wanted.png


3. Welcher Graph hat mit welcher Funktionsgleichung ein Match?

Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den zugehörigen Graphen zu. Hinweis: Du kannst die Bilder der Funktionsgraphen vergrößern, indem du mit der Maus auf diese klickst.



Betrachtet man die Funktionsgleichung , so steht für die Verschiebung in -Richtung. Ist das Vorzeichen vor dem dabei negativ, so verschiebt man den Graphen nach rechts und wenn es positiv ist nach links. Das steht für die Verschiebung in -Richtung nach oben, falls positiv ist und nach unten wenn es negativ ist.

Betrachtet man die Funktionsgleichung , so beschreibt die Streckung (falls ) oder die Stauchung (falls ). Man geht vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach links oder rechts und dann um Einheiten nach oben (falls negativ ist nach unten).

Falls ist, oder generell ein Bruch ist, kann dies manchmal schwierig sein, da sich zum Beispiel nicht so einfach ablesen lässt. Hierfür kann man die Normalparabel betrachten. Sinnvoll ist es nun den Nenner, also einzusetzen. Somit erhält man . Die erhaltene Zahl muss man nun mit dem Bruch multiplizieren . Man geht nun vom Scheitelpunkt um die eingesetzte Zahl nach links oder rechts () und um die am Ende erhaltene Zahl nach oben (), oder nach unten falls negativ ist. (Wenn du hier noch Probleme hast scrolle hoch zum GeoGebra-Applet und verschiebe den Regler für . Beobachte dabei wie sich der Graph verändert.)

Beispiele sind:

hat ihren Scheitelpunkt bei

hat ihren Scheitelpunkt bei


4. Aus dem Graphen eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform aufstellen


Stell die zugehörigen Funktionsgleichungen in Scheitelpunktform auf. Wähle im Anschluss die richtige Lösung aus (Du musst in der App runterscrollen).



Überlege dir zunächst, welche Parameter du brauchst um eine Funktionsgleichung in Scheitelpunktform aufzustellen. Falls du Aufgabe 1 schon bearbeitet hast, findest du dort nützliche Hinweise. Du kannst dir auch nochmal das GeoGebra-Applet (oben) anschauen und die Schieberegler bewegen um zu sehen wie sich der Graph und die Funktionsgleichung verändert.
Die Scheitelpunktform hat die Funktionsgleichung . Für den Scheitelpunkt gilt: . Wenn du also den Scheitelpunkt aus der Darstellung des Funktionsgraphen abliest und seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzt, musst du nur noch den Parameter bestimmen. Achte beim Einsetzen von in die Funktionsgleichung darauf, dass sich das Vorzeichen durch das Minus in der Klammer der Funktionsgleichung einmal umkehrt.

Um den Parameter zu bestimmen gibt es verschiedene Möglichkeiten.


Möglichkeit 1: Du kannst einen beliebigen weiteren Punkt aus dem Graphen ablesen und in die Funktionsgleichung einsetzen. Im Anschluss musst du nur noch die Gleichung nach auflösen. Bei Bedarf kannst Du gerne dein Heft benutzen, um dir Rechenschritte zu notieren.


Möglichkeit 2: Alternativ kannst du den Parameter auch direkt aus dem Graphen ablesen: Gehst du vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach rechts, so entspricht der Anzahl an Einheiten, die du nach oben (positives Vorzeichen) oder nach unten (negatives Vorzeichen) gehen musst, bis du wieder auf dem Graphen bist.

Falls ist kann dies manchmal schwierig sein, da sich zum Beispiel nicht so einfach ablesen lässt. Hierfür kann man die Normalparabel betrachten. Sinnvoll ist es nun den Nenner, also einzusetzen. Somit erhält man . Die erhaltene Zahl muss man nun mit dem Bruch multiplizieren . Man geht nun vom Scheitelpunkt um die eingesetzte Zahl nach links oder rechts () und um die am Ende erhaltene Zahl nach oben (), oder nach unten falls negativ ist. (Wenn du hier noch Probleme hast scrolle hoch zum GeoGebra-Applet und verschiebe den Regler für . Beobachte dabei wie sich der Graph verändert.)


5. Funktionsgleichung gesucht!

Im folgenden sind je der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt einer Funktion gegeben. Stelle mit diesen Informationen die zugehörige Funktionsgleichung in Scheitelpunktform auf (im Heft).

a) Wie lautet die Funktionsgleichung zu den Punkten und ?

b) Wie lautet die Funktionsgleichung zu den Punkten und ?

c) Wie lautet die Funktionsgleichung zu den Punkten und ?

Die Scheitelpunktform hat die Funktionsgleichung . Überlege dir, was die einzelnen Parameter beschreiben (schaue evtl. Aufgabe 1 nochmal an).
Für den Scheitelpunkt gilt: . Wenn du also den Scheitelpunkt in die Funktionsgleichung einsetzt, musst du nur noch den Parameter bestimmen. Achte beim Einsetzen von in die Funktionsgleichung darauf, dass sich das Vorzeichen durch das Minus in der Klammer der Funktionsgleichung einmal umkehrt.
Um den Parameter zu bestimmen musst du den Punkt in die Funktionsgleichung einsetzen und nach auflösen.

Setze ein:

Setze ein:

Somit ergibt sich:

Setze ein:

Setze ein:

Somit ergibt sich:

Setze ein:

Setze ein:

Somit ergibt sich:



6. Anwendungsaufgabe für Zwischendurch: Flugbahn eines Steins


Jonas wirft einen Stein vom Ufer in einen See. Die Flugbahn des Steins lässt sich mit der quadratischen Funktion beschreiben, wobei die Entfernung des Steins vom Ufer und die Höhe des Steins (jeweils in Meter) beschreibt.



a) Nach wie vielen Metern erreicht der Stein seinen höchsten Punkt?

Da die Funktion eine negative Steigung besitzt, erreicht der Stein seinen höchsten Punkt am Scheitelpunkt der Funktion. Da die Funktion in Scheitelpunktform angegeben ist, kannst du diesen direkt aus der Funktionsgleichung ablesen.
Der Scheitelpunkt der Funktion ist . Der Stein erreicht seinen höchsten Punkt also nach Metern.

b) Zeichne die Flugbahn des Steins in dein Heft.

Zu Erinnerung: Eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform hat die Form . Um die Flugbahn zeichnen zu können, musst du die Parameter und der gegebenen Funktionsgleichung identifizieren.
Zeichne zunächst den Scheitelpunkt ein. Beim weiteren Zeichnen des Funktionsgraphen hilft dir der Parameter . Da ist, ist dies etwas schwieriger. Hierfür kann man die Normalparabel betrachten.

Der Scheitelpunkt liegt bei . Für ist es sinnvoll den Nenner, also in einzusetzen. Somit erhält man . Die erhaltene Zahl muss man nun mit dem Bruch multiplizieren . Man geht nun vom Scheitelpunkt um die eingesetzte Zahl nach links oder rechts () und um die am Ende erhaltene Zahl nach unten (), da die Zahl negativ war. Da somit die Zeichnung recht groß wird, kann man sich auch überlegen eine niedrigere Zahl in einzusetzen. Dies sollte am besten ein Teiler vom Nenner sein, z.B. . Das Vorgehen ist identisch: .

Steinwurf1.png
Beachte, dass die Flugbahn erst mit dem Abwurf des Steins beginnt und mit dem Auftreffen des Steins auf die Wasseroberfläche endet. Auf der -Achse trägst du die Wurfweite in Meter ab, auf der -Achse die Höhe des Steins in Meter.

c)* In welcher Entfernung von Jonas taucht der Stein ins Wasser ein?

Um diesen Aufgabenteil zu lösen, musst du die Nullstellen der Funktion bestimmen (an einer dieser Nullstellen trifft der Stein auf das Wasser). Falls du dich dabei noch unsicher fühlst, bearbeite zuerst Aufgabe 9. Dort findest Du alle notwendigen Hilfestellungen. In jedem Fall solltest du für die Rechenschritte dein Heft benutzen.

Du musst zunächst die Nullstellen der Funktion bestimmen. An einer dieser Nullstellen trifft der Stein auf die Wasseroberfläche.





Also folgt und . Damit haben wir zwei Nullstellen.

Da wir jedoch davon ausgehen, dass Jonas den Stein nach vorne in den See wirft, beträgt die Wurfweite .


Zusammenfassung zur Scheitelpunktform
  1. Die allgemeine Scheitelpunktform lautet .
  2. Der Parameter ist der -Wert des Scheitelpunktes, wobei man hier immer das Vorzeichen in der Kalmmer umkehren muss.
  3. Der Parameter ist der -Wert des Scheitelpunktes.
  4. ist der Scheitelpunkt der Funktion.
  5. Der Parameter wird als Streckungsfaktor bezeichnet.
    • Ist wird die Funktion gestreckt, ist wird die Funktion gestaucht.
    • Ist positiv so ist die Parabel nach oben geöffnet, ist negativ so ist sie nach unten geöffnet.
    • Wenn man den Streckungsfaktor zum zeichnen nutzen möchte, geht man vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach links oder rechts und dann um Einheiten nach oben (falls negativ ist nach unten). Falls ist, oder generell ein Bruch ist, kann dies manchmal schwierig sein. Hierfür kann man die Normalparabel betrachten. Sinnvoll ist es nun den Nenner einzusetzen. Die erhaltene Zahl muss man nun mit dem Bruch multiplizieren. Man geht nun vom Scheitelpunkt um die eingesetzte Zahl nach links oder rechts und um die am Ende erhaltene Zahl nach oben, oder nach unten falls negativ ist.
  6. Hat man nur den Scheitelpunkt und einen weiteren Punkt gegeben und soll die zugehörige Funktionsgleichung aufstellen, so nimmt man sich die allgemeine Form . Hier kann man den Scheitelpunkt einfach einsetzen für und . Als nächstes setzt man den anderen Punkt für und ein und formt nach um.

Umwandlung Scheitelpunktform und Normalform

Bisher hast du dich intensiv mit der Scheitelpunktform beschäftigt. In diesem Abschnitt wirst du auch mit der Normalform einer quadratischen Funktion arbeiten. Diese lautet

  • Um die Scheitelpunktform in die Normalform zu überführen benötigst du die ersten beiden Binomischen Formeln.
  • Um die Normalform in die Scheitelpunktform zu überführen benötigst du die Methode der quadratischen Ergänzung.


Die ersten beiden Binomischen Formeln

1. Binomische Formel:
2. Binomische Formel: Somit gilt:

(mit und ).


quadratische Ergänzung

Sei :

  1. Klammere aus: .
  2. Teile den Vorfaktor von (also ) durch , also . Dieser Wert ist unser also .
  3. Wir erhalten also für unsere Klammer in der Scheitelpunktform . Da ist müssen wir in der Normalform einmal addieren und wieder subtrahieren: .
  4. Wir fassen die Klammer zur binomischen Formel zusammen und setzten . Somit erhalten wir . (Das Vorzeichen von wird hier nicht umgekehrt sondern so übernommen wie es berechnet wurde.)


7. Die Umwandlungen zwischen Scheitelpunktform und Normalenform

Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.



8. Finde die Paare*

Wandle die Funktionen und in deinem Heft in die Normalenform um und die Funktionen und in die Scheitelpunktform. Verbinde anschließend die Paare. Hinweis: Drei Funktionen haben keinen Partner.


9. Würdest du bei der Umwandlung zwischen der Scheitelpunktform und der Normalform auch Millionär werden?**

Wähle die Antwortmöglichkeit A,B,C oder D, welche die angefangene Gleichung zu einer korrekten quadratischen Gleichung ergänzt.



Die zum Lösen benötigten Formeln sind die binomischen Formeln.

Die binomischen Formeln lauten:

Die Normalenform

10. Die Normalenform
Fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die passenden Silben einfügst.

Wir schauen uns die Funktion an. Diese Funktionsgleichung liegt in der Normalenform vor. In dieser Form kann der -Achsenabschnitt direkt abgelesen werden, es ist nämlich der Parameter . Ist der Parameter kleiner als Null (), dann ist der Graph der Funktion nach unten geöffnet.
Der Parameter wird als Streckungsfaktor bezeichnet, wie auch in der Scheitelpunktform. Ist größer als Null (), dann ist der Graph von nach oben geöffnet.
Ist größer als Eins () oder kleiner als minus Eins (), dann sieht der Graph von schmaler aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph gestreckt wird.
Liegt zwischen minus Eins und Eins (), dann sieht der Graph von breiter aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph gestaucht wird.


Entdecke

Hier kannst du den Einfluss der einzelnen Parameter der Normalenform auf den Funktionsgraphen erkunden. Bewege dafür jeweils die Schieberegler und beobachte wie sich der Graph von verändert.

GeoGebra


11. Funktionsgleichung gesucht!

Im folgenden sind je drei Punkte einer Funktion gegeben. Stelle mit diesen Informationen die zugehörige Funktionsgleichung in Normalenform auf (im Heft).

a) Wie lautet die Funktionsgleichung zu den Punkten und ?

b) Wie lautet die Funktionsgleichung zu den Punkten und ?

c) Wie lautet die Funktionsgleichung zu den Punkten und ?

Die Normalenform hat die Funktionsgleichung . Überlege dir wie du die Punkte in diese Funktion einfügen kannst.
Setze die Punkte jeweils einzeln in die Funktionsgleichung ein (den ersten Wert für das und den zweiten Wert für das ). Du hast nun drei verschiedene Gleichungen. Überlege dir wie du dieses lineare Gleichungssystem lösen kannst (evtl. hast du hier bereits einen Wert für den du in die anderen Gleichungen einsetzten kannst).
Du musst nun die Gleichungen so von einander subtrahieren oder addieren, sodass eine der Variablen dabei wegfallen. Dafür musst du zuerst dafür sorgen, sodass die Vorfaktoren dieser Variablen in beiden Gleichungen identisch sind. Hast du nun nur noch eine Variable in der entstandenen Gleichung kannst du nach dieser Variablen auflösen. Hast du noch zwei Variablen musst du erneut eine der Gleichungen mit einer anderen verrechnen um eine weitere Gleichung mit den beiden Variablen zu erhalten. Diese beiden musst du abermals so verrechnen, dass eine der beiden Variablen wegfällt.
Die ausgerechnete Variable kannst du nun in eine der Gleichungen einsetzen wo noch eine weitere Variable vorkommt. Jetzt kannst du erneut umstellen und die zweite Variable berechnen. Wiederhole das Verfahren, falls du noch berechnen musst.

Setze ein:

Setze ein:

Setze ein:

Setze den erhaltenen Wert für in die ersten beiden Gleichungen ein:

Bringe den Vorfaktor von der beiden Gleichungen auf den selben Wert, z.B. , indem du die zweite Gleichung mit multiplizierst:

Addiere nun die Gleichungen und und stelle nach um:

Somit ergibt sich:

Setze ein:

Setze ein:

Somit ergibt sich:

Setze ein:

Setze ein:

Somit ergibt sich: