Affine Abbildungen

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Lernpfad
Kaleidoskop.jpg
Im folgenden Lernpfad werden die Eigenschaften von affinen Abbildungen erarbeitet. Durch die Verbindung von Experiment und Berechnung sollen folgende Fragen beantwortet werden:


  • Wie beeinflusst die Abbildungsmatrix die geometrischen Eigenschaften der Bilder?

  • Welche Eigenschaften der Urbilder bleiben unter welchen Bedingungen erhalten?

Was ist eine affine Abbildung?

Vorlage:Merke-Mathe

Wodurch unterscheidet man eine Affinität von anderen Abbildungen?

Affinitäten zeichnen sich durch Matrizen aus, deren Spaltenvektoren {a_1 \choose a_2} und {b_1 \choose b_2} linear unabhängig sind.

Vorlage:Aufgabe-Mathe

Brauchst du einen Tipp? Die Definition für lineare Abhängigkeit im \mathbb{R}^n findest du hier:

Die Vektoren \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} sind linear abhängig, wenn mindestens einer dieser Vektoren als Linearkombination der anderen darstellbar ist, d.h. es gibt Parameter r_1,r_2,...,r_n\epsilon \mathbb{R}^n,so dass r_1\vec{a_1}+r_2\vec{a_2}+...+r_n\vec{a_n}=\vec{0}, wobei mindestens ein Parameter von Null verschieden sein muss.

Noch einen

Im \mathbb{R}^2 reicht es somit zu zeigen, dass es einen Parameter r gibt, so dass r\vec{a_1}= \vec{a_2}.

Weißt du die Lösung? Dann kannst du sie nun überprüfen:

Einfluss von Affinitäten auf geometrische Figuren

Im Folgenden sollen untersucht werden, welche Eigenschaften der Urbilder bei affinen Abbildungen erhalten bleiben.

Vorlage:Lernpfad-Pfeil Parallelität von Geraden
Vorlage:Lernpfad-Pfeil Teilverhältnisse
Vorlage:Lernpfad-Pfeil Seitenlängen
Vorlage:Lernpfad-Pfeil Winkeltreue