Lagebeziehungen von Seiten

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Parallele Geraden

Mithilfe von Geogebra soll nun untersucht werden, welche Auswirkungen affine Abbildungen auf zueinander parallele Geraden haben.

Vorlage:Aufgabe-Mathe

Keine Idee? Dann schau dir diesen Hinweis an:

Zwei Geraden in der Ebene sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind.

Brauchst du noch einen weiteren Tipp?

Die Richtungsvektoren \vec{u} \mbox{ und }\vec{v} sind linear abhängig, wenn es ein t gibt, so dass \vec{u}=t\vec{v}.

Die ausführliche algebraische Begründung findest du hier:

Fassen wir zusammen: Vorlage:Merke-Mathe versteckt

Teilverhältnisse

Nun soll untersucht werden, ob Teilverhältnisse bei Affinitäten erhalten bleiben.

Was sind Teilverhältnisse?

Definition

Das Verhältnis, in dem ein Punkt T eine Strecke \overline{AB} teilt, nennt man Teilverhältnis t.

Ist dir die Bedeutung des Teilverhältnisses noch unklar, bearbeite die folgende Übung:

Hand.gif   Übung

Verschiebe den Punkt T entlang der Geraden und beobachte die Veränderung des Teilverhältnisses t.

Affine Abbildungen und Teilverhältnisse

Vorlage:Aufgabe-Mathe

Bei einer Affinität wird die Gerade g: \vec{x}=\vec{p}+r\vec{u} auf die Gerade g':
\begin{align}
\vec{x'}&=& A(\vec{p}+r\vec{u}) &+& \vec{c}\\
&=&A\vec{p}+rA\vec{u} &+& \vec{c}\\
&=&(A\vec{p}+\vec{c}) &+& r(A\vec{u})\\
&=&\vec{p'}&+&r\vec{u'}
\end{align}

abgebildet.

Hier findest du die Lösung der Aufgabe:

Fassen wir zusammen: