Parallelität von Geraden: Unterschied zwischen den Versionen

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(Parallele Geraden)
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:{{Hinweis versteckt|::Die Richtungsvektoren <math>\vec{u} \mbox{ und }\vec{v} </math> der Ebene sind linear abhängig, wenn es ein t gibt, so dass <math>\vec{u}=t\vec{v}</math>.}}
 
:{{Hinweis versteckt|::Die Richtungsvektoren <math>\vec{u} \mbox{ und }\vec{v} </math> der Ebene sind linear abhängig, wenn es ein t gibt, so dass <math>\vec{u}=t\vec{v}</math>.}}
  
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Deine Lösung für die Drehung paralleler Geraden kannst du hier abgleichen: {{Lösung versteckt|Um die Parallelität der Bildgeraden nachzuweisen, genügt es, die Bilder der Richtungsvektoren von g und h zu betrachten. Diese sind dann parallel, wenn es eine Konstante k gibt, so dass <math>\vec{u'}=k\vec{v'}</math>.<br>
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<math>\vec{u'}=A\vec{u}=\begin{pmatrix} cos\varphi & -sin\varphi \\ sin\varphi & cos\varphi \end{pmatrix}\vec{u}=\begin{pmatrix} cos\varphi & -sin\varphi \\ sin\varphi & cos\varphi \end{pmatrix}t\vec{v}=t\begin{pmatrix} cos\varphi & -sin\varphi \\ sin\varphi & cos\varphi \end{pmatrix}\vec{v}=tA\vec{v}=t\vec{v'}</math> <br>
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Bei der Drehung sind die Bilder paralleler Geraden parallel. }}
  
 
Die ausführliche algebraische Begründung findest du hier: {{Lösung versteckt|{{Aufgabe-Mathe|:Man erhält die Richtungsvektoren der Bildgeraden g' und h', indem man die Abbildungsmatrix A mit den jeweiligen Richtungsvektoren der Originalgeraden g und h multipliziert: <math>\vec{u'}= A\vec{u}\mbox{ und }\vec{v'}=A\vec{v}</math> .<br>
 
Die ausführliche algebraische Begründung findest du hier: {{Lösung versteckt|{{Aufgabe-Mathe|:Man erhält die Richtungsvektoren der Bildgeraden g' und h', indem man die Abbildungsmatrix A mit den jeweiligen Richtungsvektoren der Originalgeraden g und h multipliziert: <math>\vec{u'}= A\vec{u}\mbox{ und }\vec{v'}=A\vec{v}</math> .<br>

Version vom 18. Mai 2009, 20:21 Uhr

Parallele Geraden

Mithilfe von Geogebra soll nun untersucht werden, welche Auswirkungen affine Abbildungen auf zueinander parallele Geraden haben.

Vorlage:Aufgabe-Mathe

Einen Hinweis für die Abbildungsgleichung für die Drehung paralleler Geraden findest du hier:

Gegeben sind zwei parallele Geraden g und h mit g:\vec{x}=\vec{p}+r\vec{u} und h:\vec{x}=\vec{q}+s\vec{v}. Die Abbildungsgleichung der angewendeten Drehung lautet \alpha:\vec{x'}=\begin{pmatrix} cos\varphi & -sin\varphi \\ sin\varphi & cos\varphi \end{pmatrix} \vec{x}

Fehlt dir noch die entscheidende Idee? Dann schau dir diesen Hinweis an:

Zwei Geraden in der Ebene sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind.

Brauchst du noch einen weiteren Tipp?

Die Richtungsvektoren \vec{u} \mbox{ und }\vec{v} der Ebene sind linear abhängig, wenn es ein t gibt, so dass \vec{u}=t\vec{v}.

Deine Lösung für die Drehung paralleler Geraden kannst du hier abgleichen:

Um die Parallelität der Bildgeraden nachzuweisen, genügt es, die Bilder der Richtungsvektoren von g und h zu betrachten. Diese sind dann parallel, wenn es eine Konstante k gibt, so dass \vec{u'}=k\vec{v'}.
\vec{u'}=A\vec{u}=\begin{pmatrix} cos\varphi & -sin\varphi \\ sin\varphi & cos\varphi \end{pmatrix}\vec{u}=\begin{pmatrix} cos\varphi & -sin\varphi \\ sin\varphi & cos\varphi \end{pmatrix}t\vec{v}=t\begin{pmatrix} cos\varphi & -sin\varphi \\ sin\varphi & cos\varphi \end{pmatrix}\vec{v}=tA\vec{v}=t\vec{v'}

Bei der Drehung sind die Bilder paralleler Geraden parallel.

Die ausführliche algebraische Begründung findest du hier:

Fassen wir zusammen:

Alles verstanden und notiert? Dann weiter zu Teilverhälnisse.