Parallelität von Geraden: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Aufgabe-Mathe|Untersuche die Lagebeziehung ursprünglich paralleler Geraden nach bestimmten affinen Abbildungen, indem du das gegebene Parallelogramm
 
{{Aufgabe-Mathe|Untersuche die Lagebeziehung ursprünglich paralleler Geraden nach bestimmten affinen Abbildungen, indem du das gegebene Parallelogramm
* an einer beliebigen Geraden oder einem beliebigen Punkt spiegelst <ggb_applet height="30" width="120" type="button" filename="Spiegelung_Parallelogramm.ggb"/>
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* an einer beliebigen Geraden oder einem beliebigen Punkt spiegelst <ggb_applet width="600" height="422" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" />
 
* um einen selbstgewählten Faktor k zentrisch streckst <ggb_applet height="30" width="120" type="button" filename="Zentrische Streckung Parallelogramm.ggb"/>
 
* um einen selbstgewählten Faktor k zentrisch streckst <ggb_applet height="30" width="120" type="button" filename="Zentrische Streckung Parallelogramm.ggb"/>
 
* um einen Winkel <math>\alpha</math> mit dem Drehzentrum Z drehst <ggb_applet height="30" width="120" type="button" filename="Drehung Parallelogramm.ggb"/>
 
* um einen Winkel <math>\alpha</math> mit dem Drehzentrum Z drehst <ggb_applet height="30" width="120" type="button" filename="Drehung Parallelogramm.ggb"/>

Version vom 9. Januar 2011, 15:14 Uhr

Parallele Geraden

Mithilfe von Geogebra soll nun untersucht werden, welche Auswirkungen affine Abbildungen auf zueinander parallele Geraden haben.

Vorlage:Aufgabe-Mathe

Einen Hinweis für die Abbildungsgleichung für die Drehung paralleler Geraden findest du hier:

Gegeben sind zwei parallele Geraden g und h mit g:\vec{x}=\vec{p}+r\vec{u} und h:\vec{x}=\vec{q}+s\vec{v}. Die Abbildungsgleichung der angewendeten Drehung lautet \alpha:\vec{x'}=\begin{pmatrix} cos\varphi & -sin\varphi \\ sin\varphi & cos\varphi \end{pmatrix} \vec{x}

Fehlt dir noch die entscheidende Idee? Dann schau dir diesen Hinweis an:

Zwei Geraden in der Ebene sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind.

Brauchst du noch einen weiteren Tipp?

Die Richtungsvektoren \vec{u} \mbox{ und }\vec{v} der Ebene sind linear abhängig, wenn es ein t gibt, so dass \vec{u}=t\vec{v}.

Deine Lösung für die Drehung paralleler Geraden kannst du hier abgleichen:

Um die Parallelität der Bildgeraden nachzuweisen, genügt es, die Bilder der Richtungsvektoren von g und h zu betrachten. Diese sind dann parallel, wenn es eine Konstante t gibt, so dass \vec{u'}=t\vec{v'}.

\vec{u'}=A\vec{u}=\begin{pmatrix} cos\varphi & -sin\varphi \\ sin\varphi & cos\varphi \end{pmatrix}\vec{u}=\begin{pmatrix} cos\varphi & -sin\varphi \\ sin\varphi & cos\varphi \end{pmatrix}t\vec{v}=t\begin{pmatrix} cos\varphi & -sin\varphi \\ sin\varphi & cos\varphi \end{pmatrix}\vec{v}=tA\vec{v}=t\vec{v'}

Bei der Drehung sind die Bilder paralleler Geraden parallel.

Die algebraische Begründung für alle affinen Abbildungen findest du hier:

Fassen wir zusammen:

Alles verstanden und notiert? Dann weiter zu Teilverhälnisse.