Parallelität von Geraden: Unterschied zwischen den Versionen

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(Parallele Geraden)

Version vom 9. Januar 2011, 14:49 Uhr

Parallele Geraden

Mithilfe von Geogebra soll nun untersucht werden, welche Auswirkungen affine Abbildungen auf zueinander parallele Geraden haben.

Vorlage:Aufgabe-Mathe

Einen Hinweis für die Abbildungsgleichung für die Drehung paralleler Geraden findest du hier:

Gegeben sind zwei parallele Geraden g und h mit g:\vec{x}=\vec{p}+r\vec{u} und h:\vec{x}=\vec{q}+s\vec{v}. Die Abbildungsgleichung der angewendeten Drehung lautet \alpha:\vec{x'}=\begin{pmatrix} cos\varphi & -sin\varphi \\ sin\varphi & cos\varphi \end{pmatrix} \vec{x}

Fehlt dir noch die entscheidende Idee? Dann schau dir diesen Hinweis an:

Zwei Geraden in der Ebene sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind.

Brauchst du noch einen weiteren Tipp?

Die Richtungsvektoren \vec{u} \mbox{ und }\vec{v} der Ebene sind linear abhängig, wenn es ein t gibt, so dass \vec{u}=t\vec{v}.

Deine Lösung für die Drehung paralleler Geraden kannst du hier abgleichen:

Um die Parallelität der Bildgeraden nachzuweisen, genügt es, die Bilder der Richtungsvektoren von g und h zu betrachten. Diese sind dann parallel, wenn es eine Konstante t gibt, so dass \vec{u'}=t\vec{v'}.

\vec{u'}=A\vec{u}=\begin{pmatrix} cos\varphi & -sin\varphi \\ sin\varphi & cos\varphi \end{pmatrix}\vec{u}=\begin{pmatrix} cos\varphi & -sin\varphi \\ sin\varphi & cos\varphi \end{pmatrix}t\vec{v}=t\begin{pmatrix} cos\varphi & -sin\varphi \\ sin\varphi & cos\varphi \end{pmatrix}\vec{v}=tA\vec{v}=t\vec{v'}

Bei der Drehung sind die Bilder paralleler Geraden parallel.

Die algebraische Begründung für alle affinen Abbildungen findest du hier:

Fassen wir zusammen:

Alles verstanden und notiert? Dann weiter zu Teilverhälnisse.