Parallelität von Geraden
Parallele Geraden
Mithilfe von GeoGebra soll nun untersucht werden, welche Auswirkungen affine Abbildungen auf zueinander parallele Geraden haben.
Untersuche die Lagebeziehung ursprünglich paralleler Geraden nach bestimmten affinen Abbildungen, indem du das gegebene Parallelogramm
Stelle nun eine Vermutung für den Einfluss von Affinitäten auf zueinander parallele Geraden auf. Überprüfe rechnerisch mit Hilfe der Abbildungsgleichung, ob deine Vermutung für die Drehung von parallelen Geraden mit dem Drehzentrum Versuche anschließend deine Vermutung bezüglich der Bilder paralleler Geraden für alle affinen Abbildungen zu belegen. |
Einen Hinweis für die Abbildungsgleichung für die Drehung paralleler Geraden findest du hier:



Fehlt dir noch die entscheidende Idee? Dann schau dir diesen Hinweis an:
- Zwei Geraden in der Ebene sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind.
Brauchst du noch einen weiteren Tipp?
- Die Richtungsvektoren
der Ebene sind linear abhängig, wenn es ein t gibt, so dass
.
- Die Richtungsvektoren
Deine Lösung für die Drehung paralleler Geraden kannst du hier abgleichen:
Um die Parallelität der Bildgeraden nachzuweisen, genügt es, die Bilder der Richtungsvektoren von g und h zu betrachten. Diese sind dann parallel, wenn es eine Konstante t gibt, so dass .
Die algebraische Begründung für alle affinen Abbildungen findest du hier:
Man erhält die Richtungsvektoren der Bildgeraden g' und h', indem man die Abbildungsmatrix A mit den jeweiligen Richtungsvektoren der Originalgeraden g und h multipliziert:
Das bedeutet, die Richtungsvektoren der Bildgeraden g' und h' sind linear abhängig. Somit sind die Bildgeraden parallel. |
Fassen wir zusammen:
Merke:
Affine Abbildungen sind parallelentreu, d.h. parallele Geraden werden auf parallele Geraden abgebildet. |
Alles verstanden und notiert? Dann weiter zu Teilverhälnisse.