Parallelität von Geraden

Parallele Geraden

Mithilfe von GeoGebra soll nun untersucht werden, welche Auswirkungen affine Abbildungen auf zueinander parallele Geraden haben.

Aufgabe Untersuche die Lagebeziehung ursprünglich paralleler Geraden nach bestimmten affinen Abbildungen, indem du das gegebene Parallelogramm an einer beliebigen Geraden oder einem beliebigen Punkt spiegelst um einen selbstgewählten Faktor k zentrisch streckst um einen Winkel $\alpha$ mit dem Drehzentrum Z drehst um einem Winkel $\alpha$ mit der x-Achse als Scherachse scherst . Stelle nun eine Vermutung für den Einfluss von Affinitäten auf zueinander parallele Geraden auf. Überprüfe rechnerisch mit Hilfe der Abbildungsgleichung, ob deine Vermutung für die Drehung von parallelen Geraden mit dem Drehzentrum $O(0|0)$ und dem Drehwinkel $\varphi$ zutrifft. Versuche anschließend deine Vermutung bezüglich der Bilder paralleler Geraden für alle affinen Abbildungen zu belegen.

Einen Hinweis für die Abbildungsgleichung für die Drehung paralleler Geraden findest du hier: [Hinweis][Hinweis ausblenden]

Gegeben sind zwei parallele Geraden g und h mit $g:\vec{x}=\vec{p}+r\vec{u}$ und $h:\vec{x}=\vec{q}+s\vec{v}$. Die Abbildungsgleichung der angewendeten Drehung lautet $\alpha:\vec{x'}=\begin{pmatrix} cos\varphi & -sin\varphi \\ sin\varphi & cos\varphi \end{pmatrix} \vec{x}$

Fehlt dir noch die entscheidende Idee? Dann schau dir diesen Hinweis an:

[Hinweis][Hinweis ausblenden]

Zwei Geraden in der Ebene sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind.

Brauchst du noch einen weiteren Tipp?

[Hinweis][Hinweis ausblenden]

Die Richtungsvektoren $\vec{u} \mbox{ und }\vec{v}$ der Ebene sind linear abhängig, wenn es ein t gibt, so dass $\vec{u}=t\vec{v}$.

Deine Lösung für die Drehung paralleler Geraden kannst du hier abgleichen: [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Um die Parallelität der Bildgeraden nachzuweisen, genügt es, die Bilder der Richtungsvektoren von g und h zu betrachten. Diese sind dann parallel, wenn es eine Konstante t gibt, so dass $\vec{u'}=t\vec{v'}$.

$\vec{u'}=A\vec{u}=\begin{pmatrix} cos\varphi & -sin\varphi \\ sin\varphi & cos\varphi \end{pmatrix}\vec{u}=\begin{pmatrix} cos\varphi & -sin\varphi \\ sin\varphi & cos\varphi \end{pmatrix}t\vec{v}=t\begin{pmatrix} cos\varphi & -sin\varphi \\ sin\varphi & cos\varphi \end{pmatrix}\vec{v}=tA\vec{v}=t\vec{v'}$

Bei der Drehung sind die Bilder paralleler Geraden parallel.

Die algebraische Begründung für alle affinen Abbildungen findest du hier: [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Aufgabe Man erhält die Richtungsvektoren der Bildgeraden g' und h', indem man die Abbildungsmatrix A mit den jeweiligen Richtungsvektoren der Originalgeraden g und h multipliziert: $\vec{u'}= A\vec{u}\mbox{ und }\vec{v'}=A\vec{v}$. Ersetzt man nun $\vec{v}$ durch $t\vec{u}$, so erhält man $\vec{v'}=A(t\vec{u})=tA\vec{u}=t\vec{u'}$. Das bedeutet, die Richtungsvektoren der Bildgeraden g' und h' sind linear abhängig. Somit sind die Bildgeraden parallel.

Fassen wir zusammen: [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Merke: Affine Abbildungen sind parallelentreu, d.h. parallele Geraden werden auf parallele Geraden abgebildet.

Alles verstanden und notiert? Dann weiter zu Teilverhälnisse.