Achsensymmetrische Vierecke und Dreiecke und Kongruenz von Dreiecken: Unterschied zwischen den Seiten

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__NOTOC__
{{Box|1=Lernpfad|2=
{{Lernpfad|  
In dieser Unterrichtseinheit finden sich Fragen und Aufgaben rund um [[Dreiecke]] und deren Beziehungen untereinander. Der Begriff der Kongruenz wird selbstständig erarbeitet und auch eingeübt. Ergebnisse werden in einer Lernmappe festgehalten. Die Aufgaben lassen Möglichkeiten zur Differenzierung zu.
===Achsensymmetrische Vierecke und Dreiecke===
* '''Voraussetzungen: '''geometrische Grundkenntnisse über das Dreieck und über Abbildungen
*'''Zeitbedarf''': 45 Min.
* '''Material: '''[[Geogebra]], Projektmappe, Zirkel, Geodreieck, ein gespitzter Bleistift
*'''Matreial''': dein Heft, Stifte und ein Lineal!
* '''Zeitbedarf: ''' etwa 6 Schulstunden
}}
* '''Material: '''{{pdf|Lernmappe.pdf‎|Lernmappe}}
<br>
|3=Lernpfad}}
[[Bild:Spiegel1.jpg|400px|center]]
 
<br>
<!--<br>'''Material: '''{{pdf|steht nicht bereit|Abschlusstest}} {{pdf|steht nicht bereit|Abschlusstest mit Lösung}}-->
'''In diesem Lernpfad wollen wir achsensymmetrische Vierecke und Dreicke kennenlernen. Dazu wollen wir als erstes nochmal wiederholen, was sich hinter dem Begriff der Achsensymmtrie verbirgt.'''
 
'''Notiere alle Merksätze und Definitionen in dein Heft!'''
==== Einleitung ====
<br>
Ein '''Lernpfad''' ist eine Möglichkeit, bei der du den Computer als Lernhilfe benutzt. Dich erwarten in diesem Lernpfad neue mathematische Inhalte über Dreiecke und Abbildungen, die du selbstständig nacheinander erlernst. Gehe die einzelnen Kapitel von oben nach unten durch. Jeder Schritt beginnt mit einer Einführungsaufgabe, bei der du probieren, knobeln und entdecken kannst. Es folgen Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:  
<br>
=1.Station: Wiederholung zur Achsensymmetrie=
Kannst du dich noch an den Begriff der Achsensymmetrie erinnern? Oder wann eine Figur achsensymmetrisch ist?
Nein? Dann wollen wir uns diese Begriffe zusammen erarbeiten. Vielleicht fällt dir ja dann wieder ein, was es damit auf sich hat.
Also los geht´s!
<br>
<div style="border: 2px solid #00c5cd; background-color:#ffffff; padding:7px;">  
'''1. Aufgabe'''
<br>
In unserem alltäglichen Leben gibt es einige Gegenstände, die besondere Eigenschaften aufweisen.Hier siehst du einige Beispiele dafür. Erkennst du die Besonderheiten?
<br>
[[Bild:Schmetterling1.jpg|300px]] [[Bild:Blatt.jpg|250px]] [[Bild:Residenz.jpg|290px]] [[Bild:Verkehrszeichen.jpg|200px]]
<br>
Hier findest du die Lösung! {{versteckt|


Du siehst, dass alle Figuren in der Mitte geteilt werden können. Beide Teile haben dieselben Merkmale. Sie werden daher '''symmetrisch''' genannt. Wenn man die beiden Teile übereinander legt, überdecken sie sich, d.h sie sind dann '''deckungsgleich''' oder '''kongruent'''. Da diese Gegenstände aus der Natur kommen, sind sie natürlich nicht zu 100% kongruent. Die Gerade in der Mitte nennen wir '''Symmetrieachse'''.<br>
<div style="font-size: 150%;">
[[Bild:SchmetterlingA.jpg|250px]] [[Bild:Blatt1.jpg|250px]] [[Bild:Residenz1.jpg|250px]] [[Bild:Verkehrszeichen1.jpg|250px]]
<div class="center"><span style="background-color:#00FFFF"> leichte Aufgabe</span>
}}
<span style="background-color:#00FF00"> normale Aufgabe </span>
<br>
<span style="background-color:#FF3030"> schwierigere Aufgabe </span></div>
Fallen dir noch mehr Gegenstände aus dem Alltag ein, die symmetrisch sind? Schreibe sie in deinem Heft auf!
</div>
</div>
<br>
 
<div style="border: 2px solid yellow; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
{{Merke|'''Was heißt achsensymmetrisch und kongruent?''' <br>
 
*Eine Figur heißt '''achsensymmetrisch''', falls man sie in zwei Teile zerlegen kann und diese sich exakt überdecken. [[Bild:Spiegel2.jpg|300px|right]]
Einige Übungen kannst du auch mit deinem Schulbuch bearbeiten. Ich wünsche dir beim Entdecken und Lernen viel Spass!
*Die beiden Hälften sind dann '''kongruent''' zueinander.
 
*Die Gerade durch die die Figur geteilt wird, heißt '''Symmetrieachse'''.
Solltest du irgendwo Probleme haben, so schau dir diese Erklärungen noch einmal an, oder gehe eventuell einen Schritt auf dem Lernpfad  zurück.
*Die Symmetrieachse kann dabei waagrecht, senkrecht oder diagonal durch die Figur verlaufen.
 
*Es kann auch mehr als eine Symmetriachse geben!
==== Einstieg ins Thema  ====
<br>}}
 
Damit du mit dem dich erwartenden Thema etwas vertraut wirst, bearbeite mindestens zwei der Einstiegsübungen!
 
                                                                              <!--leichte Aufgabe-->
<div style="border: 5px solid #00FFFF;">
 
{| cellspacing="0" cellpadding="10"
!style="background:#00FFFF;" align="left" valign="botton"| [[Datei:Face-smile.svg|links|40x40px]] 1. Ein Smiley kommt selten allein!
|}
Im folgenden Bild sind verschiedene Smileys gleich. Finde sie und erkläre deinem Partner, wie du zu deiner Entscheidung gekommen bist!<br>
 
<popup>
[[Datei:Smileys.png|rahmenlos|900x450px|]]
</popup>
{{Lösung versteckt|Die Lösung findest du am Lehrertisch.}}
</div>
</div>
<br>
                                                                            <!--normale Aufgabe 1-->
<div style="border: 2px solid #00c5cd; background-color:#ffffff; padding:7px;">
<div style="border: 5px solid #00FF00;">
'''2. Aufgabe'''
 
<br>
{| cellspacing="0" cellpadding="10"
<div class="zuordnungs-quiz">
!style="background:#00FF00;" align="left" valign="botton"| [[Datei:Schlangenbeschwörer Klein.png|links|40x40px]] 2. Der Schlangenbeschwörer!
<big>'''Zuordnung'''</big><br>
|}
Ordne die Bilder den richtigen Eigenschaften zu. Dazu musst du die Flaggen mit der linken Maustaste ziehen und fallen lassen, wenn der Hintergrund rot wird.
In dieser Bilderfolge sind zwei Bilder gleich. Finde sie und erkläre deinem Partner, wie du zu deiner Entscheidung gekommen bist!<br>
<br>
 
Übertrage anschließend je zwei Flaggen mit einer und zwei Symmetrieachsen in dein Heft und zeichne die Symmetriachsen ein!
<popup>[[Datei:Schlangenbeschwörung Zusammen.png|rahmenlos|900x450px|]]</popup>
{|
{{Lösung versteckt|Die Lösung findest du am Lehrertisch.}}
| keine Symmetrieachse|| [[Bild:Griechenland.gif|70px]] || [[Bild:USA.gif|70px]] || [[Bild:Tschecien.gif|70px]] ||
</div>                                                                         
|-
 
| eine Symmetrieachse || [[Bild:Belgien.gif|70px]] || [[Bild:Norwegen.gif|70px]] || [[Bild:Deutschlandflagge.gif|70px]] ||
                                                                            <!--normale Aufgabe 2-->
|-
<div style="border: 5px solid #00FF00;">
| zwei Symmetrieachsen || [[Bild:Jamaika.gif|70px]] || [[Bild:Österreich.gif|70px]] || [[Bild:Mazedonien.gif|70px]] ||
 
|-
{| cellspacing="0" cellpadding="10"
| vier Symmetrieachsen || [[Bild:Schweiz.gif|70px]] ||
!style="background:#00FF00;" align="left" valign="botton"| [[Datei:Face-smile.svg|links|40x40px]] 3. Schule als Puzzle!
|}
|}
Finde die richtigen Puzzleteile! Erkläre, wie du sie herausgefunden hast!<br>
<popup>[[Datei:Puzzle Gebäude.png|rahmenlos|900x450px|]]</popup>
{{Lösung versteckt|Die Lösung findest du am Lehrertisch.}}                                                                         
</div>
</div>
<br>
                                                                          <!--schwierige Aufgabe-->
Konntest du alle Flaggen richtig zuordnen? Prima! Dann können wir ja zur nächsten Aufgabe gehen.
 
<div style="border: 5px solid #FF3030;">
 
{| cellspacing="0" cellpadding="10"
!style="background:#FF3030;" align="left" valign="botton"| [[Datei:Verflixte Zweige1.png|links|40x40px]] 4. Verflixte Zweige!
|}
Nur in zwei Kästchen sind die Zweige völlig gleich. Gib die Koordinaten dieser Kästchen an und beschreibe deinem Partner deine Strategie!<br>
<popup>[[Datei:Verflixte Zweige1.png|rahmenlos|900x450px|]]</popup>
{{Lösung versteckt|Die Lösung findest du am Lehrertisch.}}
</div>
</div>
<br>
<div style="border: 2px solid #00c5cd; background-color:#ffffff; padding:7px;">
'''3. Aufgabe'''
<br>
Übertrage die drei Figuren in dein Heft und erweitere sie zu einer achsensymmetrischen Figur!
<br>
[[Bild:Haus.png|300px]] [[Bild:Stern.png|300px]] [[Bild:Figur.png|300px]]
<br>
Hier findest du die Lösung!  {{Versteckt|


[[Bild:Haus1.png|300px]] [[Bild:Stern1.png|300px]] [[Bild:Figur1.png|300px]]  
 
 
 
{{Aufgabe|1=Schreibe in deine Lernmappe, mit welcher Vorgehensweise du die Aufgaben gelöst hast! Lasse dir dann den Merksatz anzeigen und trage ihn in deine Lernmappe an der richtigen Stelle ein!}}
 
 
{{Merke-M|1=
<popup>
Zwei Figuren A und B, die in Größe und Form übereinstimmen, heißen '''kongruent''' zueinander. Man sagt auch, sie sind deckungsgleich. Zur Abkürzung schreibt man: A [[Bild:Kongruenzzeichen.png]] B.
</popup>}}
 
====Wofür braucht man Kongruenz?====
 
<!--Beim Umgang mit Zahlen und Termen hast du bereits ein Gleichheitszeichen kennengelernt. Nun kannst du schon eine Aussage machen, ob es auch ein Gleichheitszeichen für die Geometrie gibt.
-->
Kongruente Figuren haben nicht nur etwas mit Suchspielen zu tun, sondern spielen auch in deinem Alltag eine wichtige Rolle, z.B. beim Vergleichen von Fingerabdrücken, um einen Verdächtigen zu überführen oder in der Architektur.
 
{{Aufgabe|1= Suche dir ein Gebäude aus! Erkläre deinem Nachbarn, wo du kongruente Teilfiguren entdeckst!}}
 
<gallery>
Datei:Staatstheater Mainz 2010 timm1.jpg|Staatstheater in Mainz
Datei:Lantag Mainz.jpg|Landtag in Mainz
 
</gallery>
 
Auch haben sich viele Mathematiker mit der Kongruenz von Figuren beschäftigt. Sie sind dabei auf viele erstaunliche und interessante Ergebnisse gekommen. Einige wirst du nun kennenlernen.
 
====<center> Kongruenz, das Gleichheitszeichen der Geometrie!</center> ====
 
 
{{Idee|1=
Überlege dir, wo in deinem täglichen Leben kongruente Figuren wichtig sind! Hast du einen Vorschlag für eine gute Aufgabe, an der man kongruente Figuren gut erkennt?}}
 
 
[[Datei:Vorstellung Kongru und Enz 2.png|rahmenlos|900x450px|]]
 
==== Pauls Zimmerwand ====
{{Aufgabe|Peter hat seine Zimmerwand mit einem bunten Muster aus kongruenten Dreiecken gestaltet. Sie sieht nun so aus:
<popup>[[File:Parkett (2).png|rahmenlos|900x450px|]]</popup>
 
Leider war die Sprechblase für Peter nicht groß genug. Aber du kannst dir bestimmt denken, wie er es gemacht hat. Du kannst es entweder zuerst in deiner Lernmappe oder mit Geogebra versuchen{{ggb|Kunst_an_der_Wand.ggb|GeoGebra-Datei}}
die Wand von Peter zu gestalten. Dir fallen bestimmt mehrere Möglichkeiten ein, um die Wand mit Dreiecken zu füllen. Schreibe sie unter deine Zeichnung. Zeige die Zeichnung deinem Lehrer!
{{Lösung versteckt|Die geometrischen Abbildungen helfen dir.}}
}}
 
[[File:Peter Sprechblase.png|600x300px]]
 
Überlege dir, welcher Zusammenhang zwischen geometrischen Abbildungen und dem Begriff der Kongruenz besteht!
 
Übernimm den Merksatz in deine Lernmappe!
 
{{Merke-M|1=
<popup>Achsenspiegelung, Punktspiegelung, Drehung und Verschiebung führen Figuren in kongruente Figuren über. Man nennt sie daher auch Kongruenzabbildungen.</popup>}}
 
Löse folgende Aufgabe mit Geogebra.
 
{{Aufgabe|1=
Auch Peter besucht in der Schule den Mathematikunterricht. Er hat diese Aufgabe gestellt bekommen.
 
<popup>[[File:Aufgabe Dreiecke.png|rahmenlos|900x450px|]]</popup>
 
Bei einer Gruppenarbeit ist folgendes zu hören:
 
Tobias: Ich habe in meinem Geometrieprogramm das Dreieck ABC verschoben, dann das Bilddreieck um einen Punkt gedreht und so das Dreieck DEF erhalten.
 
Laura: Ich habe es genau andersrum wie Tobias gemacht.
 
Miriam: Ich habe nur an Achsen gespiegelt.
 
Peter: Ihr könntet alle Recht haben! Wir müssen es ausprobieren.
 
Versetze dich in Lage von Peter und experimentiere.
 
{{ggb|Kongruenzabbildung mit Hilfe.ggb|GeoGebra-Datei mit Hilfe}}
{{ggb|Kongruenzabbildung ohne Hilfe.ggb|GeoGebra-Datei ohne Hilfe}}<br>
Übernimm die Aufgabenstellung auf ein karriertes Blatt. Zeichne mindestens zwei Lösungen in unterschiedlicher Farbe mit Geodreieck und Zirkel.
}}
 
==== Drei Seiten, ein Dreieck? ====
 
[[File:Komische Hausaufgabe.png|600x300px]]
{{Aufgabe|1= Peter hat als Hausaufgabe diesen Auftrag bekommen. Er fragt seine Eltern um Rat, doch diese können ihm keinen gute Idee geben.
Er versucht Informationen für eine Lösung im Internet zu finden und stößt dabei auf einen Lernpfad:
[http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/kongruenz/lernpfad/index.htm Drei Seiten ein Dreieck]<br>
Peter bearbeitet in diesem Lernpfad die Aufgaben zum Thema "Drei Seiten ein Dreieck?".
Auf einem Arbeitsblatt in seiner Lernmappe notiert er, was er bei den einzelnen Teilaufgaben gelernt hat.
Mache es genauso wie Peter!
}}
}}
{{Merke-M|1=Ein Dreieck ist genau dann aus drei Seitenlängen konstruierbar, wenn <br>
<popup>die Summe aus zwei Dreiecksseiten stets größer als die Länge der dritten Seite ist:
c < a + b oder b < a + c oder a < c + b.</popup>}}
[[File:Ich hab es verstanden.png|600x300px]]
====Teste dich!====
Löse das Schüttelrätsel und überprüfe dein Wissen!
<div class="schuettel-quiz">
Zwei Figuren sind '''kongruent''' wenn sie in '''Form''' und '''Größe''' übereinstimmen. Mit den kongruenten Abbildungen: '''Achsenspiegelung''', '''Verschiebung''','''Punktspiegelung''' und '''Drehung''' können wir zeigen, dass Orginalfigur und '''Bildfigur''' genau übereinander passen. '''Kongruente''' Figuren sind also deckungsgleich.
Stimmen zwei Dreiecke ABC und A´B´C´ in allen drei '''Winkel'''-größen und den drei '''Seiten'''-längen überein, so sagt man ebenfalls, sie sind kongruent.
</div>
</div>
'''Ich denke, du weißt jetzt wieder, was der Begriff der Achsensymmetrie heißt und was achsensymmetrische Figuren sind!'''
 
[[Bild:Spiegel3.jpg|400px|center]]
====  Kongruenzüberprüfungen für Schnelltester ====
 
Peter musste am Ende der letzten Mathestunde unbedingt mit Paul besprechen, wer sich in der Pause um die Organisation des nächsten Fußballspiels kümmert, deshalb hat er leider die Hausaufgabe nicht mitbekommen.
Nun telefoniert er mit Lisa: "Wir sollen alle kongruente Dreieck konstruieren."
Sie misst eine Weile, dann sagt sie: "Und zwar soll a= 5cm, b=12cm, c=13cm,
<math>\alpha</math>= 27,3°,<math>\beta</math>=62,7°, <math>\gamma</math>=90° sein."
 
"Meine Güte!" meint Peter, "Geht es nicht kürzer? Muss ich wirklich alle Seitenlängen und alle Winkelgrößen wissen, damit ich ein Dreieck konstruieren kann, das kongruent zu deinem ist?"
"Mach doch was du willst." entgegnet Lisa beleidigt. "Dann konstruier doch ein Dreieck aus der Seite a und b. Alles andere kannst du ja weglassen. Mir ist doch egal, wenn du ein falsches Dreieck hast!"
 
{{Aufgabe|1=Was meinst du? Braucht man alle Angaben? Genügen zwei Streckenlängen? Probiere es aus!
Du kannst sowohl per Hand als auch mit Geogebra {{ggb|Blanko.ggb|GeoGebra-Datei}}  arbeiten.
Hätte Lisa Möglichkeiten gehabt, Peter mit weniger, aber ausreichnd Informationen zu versorgen?
Benutze zur Bearbeitung die Tabelle in deiner Lernmappe!}}
[[Datei:Dreieck_Benennung.svg|center|300px]]
 
==== Kontrolle deiner Ergebnisse ====
<popup name="Lösung">
Sind von einem Dreieck drei Größen bekannt, lässt es sich häufig eindeutig konstruieren. D.h. es ist bis auf die Lage festgelegt. Eine der drei Größen muss eine Seite sein.
</popup>
 
==== Kongruenzsätze zur eindeutigen Konstruktion von Dreiecken ====
 
{{Merke-M|1=
Hier steht S für eine Seite, W für einen Winkel.<br>
SSS: <popup>Stimmen zwei Dreiecke in den drei __________ überein, so sind sie zueinander kongruent. </popup>
 
SWS: <popup>Stimmen zwei Dreiecke in zwei __________ und dem __________ Winkel überein, so sind sie zueinander kongruent.</popup>
 
WSW: <popup>Stimmen zwei Dreiecke in einer __________ und den zwei __________ Winkeln überein, so sind sie zueinander kongruent.</popup>
 
SsW: <popup>Stimmen zwei Dreiecke in __________ Seiten und dem der größten Seite __________ Winkel überein, so sind sie kongruent.</popup>
}}
 
==== Dreiecke eindeutig konstruieren ====
 
 
 
Im folgenden probiert Peter zu jedem Konstruktionssatz ein eindeutiges konstruierbares Dreieck zu erstellen!
Sie dir die einzelnen Konstruktionsfilme an. Fertige dann eine Konstruktionsbeschreibung an!
<br>
<br>
<br>
Bevor wir mit einem neuen Thema anfangen, lernen wir noch eine 2.Definition für das Wort achsensymmetrisch kennen. Diese hängt mit der Achsenspiegelung zusammen, die wir in den beiden vorherigen Lernpfaden durchgenommen haben.
<br>
<div style="border: 2px solid red; background-color:#ffffff; padding:7px;">
'''Definition'''
<br>
Eine Figur, die man durch eine Achsenspiegelung auf sich selbst abbilden kann, heißt '''achsensymmetrisch'''.
<br>
</div>
<br>
=2.Station: Achsensymmetrische Vierecke=
<br>
<div style="border: 2px solid #00c5cd; background-color:#ffffff; padding:7px;">
'''4. Aufgabe'''
<br>
In dieser Aufgabe musst du herausfinden, welche Vierecke achsensymmetrisch sind. Es befinden sich fünf Vierecke im Such-Rätsel. Wenn du dich an Aufgabe 2 erinnerst, fallen dir vielleicht schon zwei Vierecke ein, die du bereits kennst. Viel Spaß beim Suchen!
<br>
<div class="suchsel-quiz"><br>


Finde die Wörter! ''(Waagrecht (von links nach rechts), senkrecht (von oben nach unten)
[http://www.students.uni-mainz.de/frankdet/SSS.html Konstruktionsfilm zu SSS]<br>
und diagonal (von links unten nach rechts oben oder von oben links nach unten rechts),
 
gefundene Wörter werden grün markiert)''
[http://www.students.uni-mainz.de/frankdet/SWS.html Konstruktionsfilm zu SWS]<br>
{|
 
|Quadrat
[http://www.students.uni-mainz.de/frankdet/WSW.html Konstruktionsfilm zu WSW]<br>
 
[http://www.students.uni-mainz.de/frankdet/SsW.html Konstruktionsfilm zu SsW]<br>
 
{{Aufgabe-M|1=Kontroliere deine Konstruktionsbeschreibungen, in dem du exakt danach ein Dreieck für jeden Kongruenzsatz auf ein Extrablatt konstruierst und es in deine Lernmappe mit einheftest!}}
 
====Teste Dich ====
 
<div class="memo-quiz">
 
<big>'''Kongruenzsätze'''</big><br>
Finde die Paare aus je einem Bild und dem dazu passenden Begriff.
 
{|  
|-
|-
|Rechteck
| [[Bild:SSS.jpg‎|100px]] || [[Bild:SSS_Dreieck.PNG|100px]]
|-
|-
|Raute
| [[Bild:SWS_Dreieck.jpg‎|100px]] || [[Bild:SWS Dreieck.PNG|100px]]
|-
|-
|Trapez
| [[Bild:SsW Dreieck.PNG‎|100px]] || [[Bild:SsW Dreieck.jpg|100px]]
|-
|-
|Drachen
| [[Bild:WSW Dreieck.jpg|100px]] || [[Bild:WSW Dreieck.PNG|100px]]
|}
|}
</div>
</div>
<br>
Hast du alle Vierecke gefunden? Falls du nicht auf alle gekommen bist, findest du hier die Lösung.
{{versteckt|


Es gibt also fünf Vierecke, die achsensymmetrisch sind: das Quadrat, das Rechteck, die Raute, der Drachen und das Trapez.
Bringe die Konstruktionsschritte in die richtige Reihenfolge
[[Bild:Vierecke.png|600px|center]]
 
<br>'''Achtung!''' Nicht alle Trapeze sind achsensymmetrisch. Nur das gleichschenklige Trapez gehört in diese Gruppe.
<div class="lueckentext-quiz">
}}
</div>
<br>
<div style="border: 2px solid #00c5cd; background-color:#ffffff; padding:7px;">
'''5. Aufgabe'''
<br>
In dieser Aufgabe wollen wir herausfinden, wieviel Symmetrieachsen jedes der Vierecke hat.
<br>
Ordne den Vierecken ihren Namen und das Bild ihrer Symmetrieachsen  zu. Dazu musst du die Bilder mit der linken Maustaste ziehen und fallenlassen, wenn der Hintergrund rot wird. Viel Spaß!
<br>
<div class="zuordnungs-quiz">
<big>'''Zuordnung'''</big><br>


{|  
{| class="wikitable"
!
! Konstruktionsbeschreibung SSS.
! Konstruktionsbeschreibung SWS.
! Konstruktionsbeschreibung WSW.
! Konstruktionsbeschreibung SsW.
|-
| geg.:
| <strong>a=4,5cm, b=5,2cm, c=7,1cm </strong>
| <strong>b=6,5cm, c=4,2cm, <math>\alpha</math>=70° </strong>
| <strong>c=5,7cm <math>\alpha</math>=40°,<math>\beta</math>=78°</strong>
| <strong>b=3cm,a=3 cm, <math>\gamma</math>=87°</strong>
|-
|-
| [[Bild:Quadrat.png|70px]]||[[Bild:QuadratO.png|75px]]||Quadrat
|1.
| <strong>Die Strecke <math>\overline { AB }</math> =7,1 cm zeichnen.</strong>
| <strong>Die Strecke <math>\overline { AB }</math> =4,2 cm zeichnen.</strong>
| <strong>Die Strecke <math>\overline { AC }</math> =5,7 cm zeichnen.</strong>
| <strong>Die Strecke <math>\overline { BC }</math> =3 cm zeichnen.</strong>
|-
|-
| [[Bild:Raute1.png|60px]]||[[Bild:RauteO.png|50px]]||Raute
| 2.
| <strong>Kreisbogen um A mit Radius b=5,2cm zeichnen.</strong>
| <strong>In A den Winkel <math>\alpha</math>=70° antragen.</strong>
| <strong>In A den Winkel <math>\alpha</math>=40° antragen.</strong>
| <strong>In C den Winkel <math>\gamma</math>=87° antragen.</strong>
|-
|-
| [[Bild:Rechteck.png|90px]]||[[Bild:RechteckO.png|90px]]||Rechteck
| 3.
| <strong>Kreis um B mit Radius a=4,5cm zeichnen.</strong>
| <strong>Kreis um A mit Radius b=6,5cm zeichnen </strong>
| <strong>In B den Winkel <math>\beta</math>=78° antragen.</strong>
| <strong>Kreis um C mit Radius b=3cm zeichnen.</strong>
|-
|-
| [[Bild:Drachen.png|110px]]||[[Bild:DrachenO.png|110px]]||Drachen
| 4.
| <strong>Den Schnittpunkt der Kreise mit C benennen.</strong>
| <strong>Den Schnittpunkt C eintragen.</strong>
| <strong>Den Schnittpunkt der freien Schenkel C nennen.</strong>
| <strong>Den Schnittpunkt A nennen.</strong>
|-
|-
| [[Bild:Trapez.png|110px]]||[[Bild:TrapezO.png|75px]]||Trapez
| 5.
| <strong>A und C sowie B und C verbinden.</strong>
| <strong>B und C verbinden.</strong>
| <strong></strong>
| <strong>A und C verbinden.</strong>
|}
|}
</div>
</div>
<br>
Überprüfe, ob du alle Symmetrieachsen gefunden hast.
{{versteckt|


Hier siehst du nochmal alle Symmetrieachsen eingezeichnet.
==== Kreuze richtig an!====
[[Bild:Vierecke1.png|600px|center]]
}}
</div>
<br>
<div style="border: 2px solid yellow; background-color:#ffffff; padding:7px;">
{{Merke|'''Achsensymmetrische Vierecke:''' <br>
Es gibt fünf achsensymmetrische Vierecke: das '''Quadrat''', das '''Rechteck''', die '''Raute''', den '''Drachen''' und das '''gleichschenklige Trapez'''.
<br>
Dabei besitzen Drachen und Trapez jeweils eine Symmetrieachse, das Rechteck und die Raute zwei und das Quadrat sogar vier.
<br>
Man kann die Vierecke durch die Lage ihrer Symmetrieachsen unterscheiden. Dabei gibt es zwei Fälle. [[Bild:Spiegel2.jpg|300px|right]]
*'''1. Fall''': Die Symmetrieachse verläuft durch die gegenüberliegenden Eckpunkte des Vierecks (Drachen, Raute).
*'''2. Fall''': Die Symmetrieachse geht durch die Mittelpunkte gegenüberliegender, paralleler Seiten eines Vierecks (Rechteck, Trapez).
*Beim Quadrat trifft sowohl Fall 1, als auch Fall 2 zu.
<br>}}
</div>
<br>
<div style="border: 2px solid #00c5cd; background-color:#ffffff; padding:7px;">
'''6. Aufgabe'''
<br>
Du kennst jetzt alle achsensymmetrsichen Vierecke und weißt, wieviele Symmetrieachsen sie haben. Kannst du auch folgende Fragen dazu richtig beantworten? Dabei können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<div class="multiplechoice-quiz">


Bei welchem Viereck stehen die Symmetrieachsen senkrecht aufeinander? (Raute) (!Trapez) (Rechteck)
Die folgenden Aufgaben können auch mehrere richtige Antworten enthalten!


Welche Vierecke haben mehr als eine Symmetrieachse?(!Drachen) (Quadrat) (Raute) (!Trapez) (Rechteck)
<div class="multiplechoice-quiz">


Die Raute hat ...? (je zwei Paar gleich großer Winkel) (!rechte Winkel) (!ein Paar gleich großer Winkel)
Welcher Begriff erklärt am besten "kongruenz"? (!flächengleich) (!seitengleich) (deckungsgleich)


Welches Viereck hat vier gleich lange Seiten?(!Drachen) (Quadrat) (!Rechteck) (Raute)  
Zwei Dreiecke, die aus einer Verschiebung entstanden sind, sind kongruent? (wahr) (!falsch)


Bei welchem Viereck verlaufen die Symmetrieachsen durch die Seitenmitten? (Rechteck) (!Raute) (Quadrat) (!Raute)
Zwei Dreiecke, die aus einer Punktspiegelung entstanden sind, sind kongruent? (wahr) (!falsch)
</div>
<br>
Hast du alle Fragen richtig beantwortet? Dann geht´s jetzt zur nächsten Station.
</div>
<br>
[[Bild:Spiegel4.jpg|300px|center]]
<br>
=3.Station: Achsensymmetrische Dreiecke=
'''Es gibt zwei achsensymmetrische Dreiecke. Mal sehen, ob du herausfindest, wie sie heißen.'''
<br>
<div style="border: 2px solid #00c5cd; background-color:#ffffff; padding:7px;">
'''7. Aufgabe'''
<br>
Ziehe am Punkt C. Wann wird das Dreieck achsensymmetrisch? Wieviele Symmetrieachsen hat das Dreieck?
<ggb_applet height="500" width="900" showResetIcon="true" filename="Gleichschenklig.ggb" />
<br>
Versuche die Fragen richtig zu beantworten! Klicke dabei entweder auf Richtig oder Falsch!


<quiz display="simple">
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in den Seitenlängen übereinstimmen? (wahr) (!falsch)
{Die Symmetrieachse muss durch einen Eckpunkt des Dreiecks gehen?}
+ Richtig
- Falsch
|| Die Symmetrieachse geht hier durch den Eckpunkt C. Dieser Punkt ist ein Fixpunkt.


{Das Dreieck wird durch eine Symmetrieachse halbiert?}
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie im Umfang übereinstimmen? (!wahr) (falsch)
+ Richtig
-Falsch
|| Ja! Denn die Symmetrieachse verläuft durch den Eckpunkt C und halbiert daher die Seite AB (Basis des Dreiecks). Also auch das Dreieck.


{Die Winkel am Punkt A und B müssen unterschiedlich groß sein, damit das Dreieck achsensymmetrisch wird! }
Um zwei kongruente Dreiecke zu zeichenen braucht man... (!immer alle drei Winkel) (!mindestens zwei Seiten) (mindestens eine Seite) (!alle drei Winkel) (nicht zwingend einen Winkel) (mehr als zwei Angaben)
- Richtig
+ Falsch
|| Falsch! Die Winkel sind genau gleich groß, wenn das Dreieck achsensymmetrisch ist.


{Zwei Seiten im Dreieck müssen gleich lang sein?}
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie den gleichen Flächeninhalt haben? (!wahr) (falsch)
+ Richtig
- Falsch
|| Ja! Die Seiten AC und BC sind gleich lang. Sie heißen Schenkel des Dreiecks.


{Das Dreieck hat genau zwei Symmetrieachsen.}
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in allen drei Winkelgrößen übereinstimmen? (!wahr) (falsch)
- Richtig
+ Falsch
|| Das Dreieck hat nur eine Symmetrieachse. Nämlich die durch den Eckpunkt C.


Welche Angaben sichern die eindeutige Konstruierbarkeit eines Dreiecks!


</quiz>
(gleichseitig) (!rechtwinklig) (!gleichschenklig) (gleichschenklig-rechtwinklig)
<br>
Na kannst du dir denken, wie dieses Dreick heißt?
</div>
<br>
<span style="background:yellow">Hier findest du den Merksatz!</span>  {{Versteckt|


{{Merke|'''Gleichschenkliges Dreieck:''' <br>
Aus welchen Angaben kann man ein Dreieck eindeutig konstruieren?
* Ein achsensymmetrisches Dreieck besitzt zwei gleich lange Seiten. Sie werden '''Schenkel''' des Dreiecks genannt.[[Bild:Gleichschenklig.png|400px|right]]
* Daher nennt man solch ein Dreieck '''gleichschenkliges Dreieck'''.
* Die dritte Seite des Dreiecks wird als Grundlinie oder '''Basis''' bezeichnet.
* Außerdem sind die beiden Winkel an der Basis gleich groß. Sie heißen daher '''Basiswinkel'''.
* Die Symmetrieachse des Dreiecks geht durch den Eckpunkt, welcher der Basis  gegenüberliegt.
* Dieser Eckpunkt ist ein Fixpunkt.
* Das Dreieck wird durch die Symmetrieachse halbiert. Dabei wird je ein Schenkel auf den zweiten abgebildet und umgekehrt.
<br>}}
}}
<br>
<div style="border: 2px solid #00c5cd; background-color:#ffffff; padding:7px;">
'''8. Aufgabe'''
<br>
Alle achsensymmetrischen Vierecke können durch ihre Diagonalen in gleichschenklige Dreiecke zerlegt werden. Zeichne dir die Vierecke und die Teildreicke in dein Heft. Zähle dann wieviel Dreiecke du in jedem Viereck entdeckst!
<br>
Hier findest du die Lösung! {{Versteckt|


'''Drachen'''<br>
(a=5cm b=6cm c=7cm) (!a=7cm <math>\beta</math>=112° <math>\gamma</math>=80°) (!a=3cm b= 5cm c= 9cm) 
[[Bild:DrachenD.png|200px]] <br>Den Drachen kann man in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen. Denn der Drachen hat je zwei gleich lange Seiten. <br>
<br>
'''Raute'''<br>
[[Bild:RauteD.png|450px]] <br>Die Raute kann man in vier gleichschenklige Dreiecke zerlegen. Denn die Raute hat bekanntlich vier gleich lange Seiten. Außerdem sind diese Dreicke jeweils kongruent zueinander.<br>
<br>
'''Trapez'''<br>
[[Bild:TrapezD.png|300px]] <br> Das Trapez kann insgesamt in vier Teildreiecke zerlegt werden, davon sind zwei gleichschenklig. <br>
<br>
'''Rechteck'''<br>
[[Bild:RechteckD.png|400px]] <br> Das Rechteck besitzt insgesamt vier gleichschenklige Teildreiecke. Dabei sind je zwei Dreiecke kongruent zueinander.<br>
<br>
'''Quadrat'''<br>
[[Bild:QuadratD.png|600px]] <br>Das Quadrat kann man sogar in insgesamt acht gleichschenklige Dreiecke zerlegen. Hier gibt es sogar Dreiecke die gleichschenklig und rechtwinklig sind. Des Weiteren sind alle Dreiecke kongruent.
}}
</div>  
<br>
<div style="border: 2px solid #00c5cd; background-color:#ffffff; padding:7px;">
'''9. Aufgabe'''
<br>
Es gibt noch ein achsensymmetrisches Dreieck. Dabei handelt es sich um einen Spezialfall des gleichschenkligen Dreiecks.
<br>
[[Bild:Gleichseitig.png|300px|center]]
<br>
<div class="schuettel-quiz">


Finde die unverdrehte Lösung zu den verdrehten Wörtern! Achte dabei auf Rechtschreibfehler.


Bei diesem Dreieck sind alle '''drei''' Seiten gleich lang. Es wird daher '''gleichseitiges''' Dreieck genannt.
Sind die zwei Dreiecke kongruent?


Dabei können je zwei Seiten des Dreiecks die '''Schenkel''' sein. Im gleichseitigen Dreick gibt es daher drei
(a=6,5cm c=5cm <math>\beta</math>=36° und a1=5cm, b1=6,5cm <math>\gamma</math>1=36°)
'''Symmetrieachsen'''.
(!a=7cm c=6cm <math>\alpha</math>=126 und a1=6cm, b1=7cm <math>\gamma</math>1=126°)


Außerdem sind alle drei '''Winkel''' gleich groß. Aus der Innenwinkelsumme im Dreieck folgt, dass die Winkel das Maß 60° besitzen.
Gibt es den Kongruenzsatz SWW?


(!Ja, eine Seite und zwei Winkel sind ausreichende Angaben!) (Nein, aus diesem Satz lässt sich kein eindeutiges Dreieck konstruieren!)
</div>
</div>
Konntest du zu allen Wörtern die richtige Lösug finden? Dann weißt du ja jetzt, wie das Dreieck heißt. Super!
</div>
<br>
<span style="background:yellow">Hier findest du den Merksatz!</span>  {{Versteckt|


{{Merke|'''Gleichseitiges Dreieck:''' <br>
==== Forscher oder Sternensammler ====
* Ein Spezialfall des gleichschenkligen Dreiecks ist das '''gleichseitige Dreieck'''. [[Bild:Gleichseitig1.png|300px|right]]
{{Aufgabe-M|1=
* Bei diesem Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang.
Betätige dich als Mathematikforscher! Experimentiere mit Zeichnungen und Probiere verschiedene Möglichkeiten aus!<br>
* Es können je zwei Seiten des Dreiecks die Schenkel sein, daher hat dieses Dreieck drei Symmetrieachsen.
Gibt es auch Kongruenzsätze für Vierecke? Wieviele Angaben sind hier nötig um zwei kongruente Vierecke zu zeichnen. Stelle Kongruenzsätze auf! Trage deine Ideen in der Lernmappe zusammen. Benutzte dazu eigene Blätter. Später kannst du unter der Aufgabe eine Lösung finden!<br>
* Ein gleichseitiges Dreieck hat außerdem drei gleich große Winkel.
 
* Aufgrund der Innenwinkelsumme des Dreiecks ergibt sich für jeden Winkel das Maß 60°.
Oder<br>
<br>}}
Sammle 10 Sterne in den unten stehenden Aufgaben. Aus jedem Schwierigkeitsbereich muss mindestens eine Aufgabe stammen.
}}
}}
<br>
 
=4.Station: Übungen=
<div style="border: 1px solid #00FFFF; background-color:#00FFFF; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #00FFFF;"></div>
<div style="border: 2px solid #00c5cd; background-color:#ffffff; padding:7px;">
<div style="border: 2px solid #00FFFF;  align:center; padding:7px;">
'''Übung 1'''
{{pdf|Einfache_Aufgaben_zur_Konstruktion_von_Dreiecken.pdf‎| leichte Aufgaben}}
<br>
{{pdf|Einfache_Aufgaben_Lösungen_und_weitere_Aufgaben.pdf‎ ‎| leichte Aufgaben Lösungen}}
Hier gibts nochmal ein Memory. Es gehören immer drei Kärtchen zusammen.
Folgende Kategorien sind zu finden:
* achsensymmetrische Verkehrsschilder
* nicht achsensymmetrische Verkehrsschilder
* achsensymmetrische Automarken
* nicht achsensymmetrische Automarken
* achsensymmetrische Gegenstände aus dem Alltag
<div class="memo-quiz">
{|  
|-
| [[Bild:Achtung.jpg|100px]] || [[Bild:Halteverbot2.jpg|80px]] || [[Bild:Sackgasse.jpg|100px]]
|-
| [[Bild:PfeilR.jpg|100px]] || [[Bild:Zebrastreifen1.jpg|100px]] || [[Bild:Halteverbot.jpg|100px]]
|-
| [[Bild:Mazda.jpg|100px]] || [[Bild:Renault.jpg|80px]] || [[Bild:Mercedes1.jpg|100px]]
|-
| [[Bild:Skoda1.jpg|100px]] || [[Bild:Seat.jpg|100px]] || [[Bild:Fiat.jpg|100px]]
|-
| [[Bild:Gulli.jpg|100px]] || [[Bild:Fussmatte1.jpg|100px]] || [[Bild:Ahorn.jpg|100px]]
|}
</div>
</div>
Drei zusammengehörige Teile zu finden, ist ganz schön schwer, oder?
 
<div style="border: 1px solid #00FF00; background-color:#00FF00; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #00FF00;"></div>
<div style="border: 2px solid #00FF00; align:center; padding:7px;">
{{pdf|Mittlere_Aufgaben_zur_Konstruktion_von_Dreiecken.pdf‎‎| normale Aufgaben}}
{{pdf|Normale_Aufgaben_zur_Konstruktion_von_Dreiecken_Lösungen.pdf‎ ‎| normale Aufgaben Lösungen}}
</div>
</div>
<br>
<div style="border: 2px solid #00c5cd; background-color:#ffffff; padding:7px;">
'''Übung 2'''
<br>
<quiz display="simple">
{''' Kreuze die richtige Antwort an. Es können auch mehrere Kästchen richtig sein.'''
| typ="[]"}
| Quadrat | Drachen | Raute | Rechteck| Trapez | gleichschenkliges Dreieck | gleichseitiges Dreieck
-----++ Welche der Figuren hat keine Diagonalen?
+--+--- Welche der Figuren besitzt rechte Winkel?
+-++--- Bei welchen Figuren stehen die Symmetrieachsen senkrecht aufeinander?
+++--++ Bei welchen Figuren verläuft die Symmetrieachse durch mind. einen Eckpunkt?
+--+--+ Welche Figur hat mehr als zwei gleich große Winkel?
++--++- Welche Figur besitzt nur eine Symmetrieachse und welche hat die meisten Symmetrieachsen?


</quiz>
<div style="border: 1px solid #FF3030; background-color:#FF3030; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #FF3030;"></div>
<div style="border: 2px solid #FF3030;  align:center; padding:7px;">
{{pdf|Schwierigere_Aufgaben_zur_Konstruktion_von_Dreiecken.pdf‎| schwierigere Aufgaben}}
{{pdf|Schwierigere_Aufgaben_zur_Dreieckskonstruktion_Lösungen.pdf‎ ‎| schwierigere Aufgaben Lösungen}}
</div>
</div>
<br>
<div style="border: 2px solid #00c5cd; background-color:#ffffff; padding:7px;">
'''Zusatzaufgabe'''
<br>
Du kennst bereits achsensymmetrische Dreiecke und Vierecke und deren Symmetrieachsen. Aber wieviel Symmetrieachsen hat eigentlich ein Kreis?
[[Bild:KreisS1.png|200px|center]]
Hier findest du die Lösung! {{Versteckt|


[[Bild:KreisS.png|200px|center]]
Ein Kreis hat unendlich viele Symmetrieachsen. Hier siehst du einige davon eingezeichnet. Alle Symmetrieachsen verlaufen dabei durch den Mittelpunkt des Kreises. Das heißt alle Symmetrieachsen sind Zentralen des Kreises. Somit stellt jede Zentrale eine Spiegelachse des Kreises dar, an der er auf sich selbst abgebildet werden kann.
}}
</div>
<br>
[[Bild:Spiegel9.jpg|400px|center]]


<div align="left">[[Lernpfade/Achsenspiegelung|<math>\Rightarrow</math> Weiter zur Übersicht]]</div>
{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
<br>
[[Kategorie:Kongruenz]]
<div align="left">[[Lernpfade/Achsenspiegelung/Eigenschaften der Achsenspiegelung|<math>\Leftarrow</math> Zurück zum Lernpfad Eigenschaften der Achsenspiegelung]]</div>
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Koffer gepackt]]
[[Kategorie:Interaktive Übungen/Mathematik]]
<metakeywords>ZUM2Edutags,ZUM-Wiki,Mathematik-digital,Kongruenz von Dreiecken,Mathematik,Kongruenz,Dreiecke,Dreieck,9. Klasse,Lernpfad</metakeywords>

Version vom 25. August 2018, 18:38 Uhr

Lernpfad

In dieser Unterrichtseinheit finden sich Fragen und Aufgaben rund um Dreiecke und deren Beziehungen untereinander. Der Begriff der Kongruenz wird selbstständig erarbeitet und auch eingeübt. Ergebnisse werden in einer Lernmappe festgehalten. Die Aufgaben lassen Möglichkeiten zur Differenzierung zu.

  • Voraussetzungen: geometrische Grundkenntnisse über das Dreieck und über Abbildungen
  • Material: Geogebra, Projektmappe, Zirkel, Geodreieck, ein gespitzter Bleistift
  • Zeitbedarf: etwa 6 Schulstunden
  • Material: Pdf20.gif Lernmappe


Einleitung

Ein Lernpfad ist eine Möglichkeit, bei der du den Computer als Lernhilfe benutzt. Dich erwarten in diesem Lernpfad neue mathematische Inhalte über Dreiecke und Abbildungen, die du selbstständig nacheinander erlernst. Gehe die einzelnen Kapitel von oben nach unten durch. Jeder Schritt beginnt mit einer Einführungsaufgabe, bei der du probieren, knobeln und entdecken kannst. Es folgen Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:

leichte Aufgabe

normale Aufgabe

schwierigere Aufgabe


Einige Übungen kannst du auch mit deinem Schulbuch bearbeiten. Ich wünsche dir beim Entdecken und Lernen viel Spass!

Solltest du irgendwo Probleme haben, so schau dir diese Erklärungen noch einmal an, oder gehe eventuell einen Schritt auf dem Lernpfad zurück.

Einstieg ins Thema

Damit du mit dem dich erwartenden Thema etwas vertraut wirst, bearbeite mindestens zwei der Einstiegsübungen!

Face-smile.svg
1. Ein Smiley kommt selten allein!

Im folgenden Bild sind verschiedene Smileys gleich. Finde sie und erkläre deinem Partner, wie du zu deiner Entscheidung gekommen bist!

<popup> Smileys.png </popup>

Die Lösung findest du am Lehrertisch.
Schlangenbeschwörer Klein.png
2. Der Schlangenbeschwörer!

In dieser Bilderfolge sind zwei Bilder gleich. Finde sie und erkläre deinem Partner, wie du zu deiner Entscheidung gekommen bist!

<popup>Schlangenbeschwörung Zusammen.png</popup>

Die Lösung findest du am Lehrertisch.
Face-smile.svg
3. Schule als Puzzle!

Finde die richtigen Puzzleteile! Erkläre, wie du sie herausgefunden hast!
<popup>Datei:Puzzle Gebäude.png</popup>

Die Lösung findest du am Lehrertisch.
Verflixte Zweige1.png
4. Verflixte Zweige!

Nur in zwei Kästchen sind die Zweige völlig gleich. Gib die Koordinaten dieser Kästchen an und beschreibe deinem Partner deine Strategie!
<popup>Verflixte Zweige1.png</popup>

Die Lösung findest du am Lehrertisch.



Aufgabe
Schreibe in deine Lernmappe, mit welcher Vorgehensweise du die Aufgaben gelöst hast! Lasse dir dann den Merksatz anzeigen und trage ihn in deine Lernmappe an der richtigen Stelle ein!


Merke

<popup> Zwei Figuren A und B, die in Größe und Form übereinstimmen, heißen kongruent zueinander. Man sagt auch, sie sind deckungsgleich. Zur Abkürzung schreibt man: A Datei:Kongruenzzeichen.png B.

</popup>


Wofür braucht man Kongruenz?

Kongruente Figuren haben nicht nur etwas mit Suchspielen zu tun, sondern spielen auch in deinem Alltag eine wichtige Rolle, z.B. beim Vergleichen von Fingerabdrücken, um einen Verdächtigen zu überführen oder in der Architektur.


Aufgabe
Suche dir ein Gebäude aus! Erkläre deinem Nachbarn, wo du kongruente Teilfiguren entdeckst!

Auch haben sich viele Mathematiker mit der Kongruenz von Figuren beschäftigt. Sie sind dabei auf viele erstaunliche und interessante Ergebnisse gekommen. Einige wirst du nun kennenlernen.

Kongruenz, das Gleichheitszeichen der Geometrie!

Unterrichtsidee
Überlege dir, wo in deinem täglichen Leben kongruente Figuren wichtig sind! Hast du einen Vorschlag für eine gute Aufgabe, an der man kongruente Figuren gut erkennt?



Datei:Vorstellung Kongru und Enz 2.png

Pauls Zimmerwand

Aufgabe

Peter hat seine Zimmerwand mit einem bunten Muster aus kongruenten Dreiecken gestaltet. Sie sieht nun so aus: <popup>Parkett (2).png</popup>

Leider war die Sprechblase für Peter nicht groß genug. Aber du kannst dir bestimmt denken, wie er es gemacht hat. Du kannst es entweder zuerst in deiner Lernmappe oder mit Geogebra versuchenGeogebra.svg GeoGebra-Datei die Wand von Peter zu gestalten. Dir fallen bestimmt mehrere Möglichkeiten ein, um die Wand mit Dreiecken zu füllen. Schreibe sie unter deine Zeichnung. Zeige die Zeichnung deinem Lehrer!

Die geometrischen Abbildungen helfen dir.

Datei:Peter Sprechblase.png

Überlege dir, welcher Zusammenhang zwischen geometrischen Abbildungen und dem Begriff der Kongruenz besteht!

Übernimm den Merksatz in deine Lernmappe!


Merke
<popup>Achsenspiegelung, Punktspiegelung, Drehung und Verschiebung führen Figuren in kongruente Figuren über. Man nennt sie daher auch Kongruenzabbildungen.</popup>


Löse folgende Aufgabe mit Geogebra.


Aufgabe

Auch Peter besucht in der Schule den Mathematikunterricht. Er hat diese Aufgabe gestellt bekommen.

<popup>Aufgabe Dreiecke.png</popup>

Bei einer Gruppenarbeit ist folgendes zu hören:

Tobias: Ich habe in meinem Geometrieprogramm das Dreieck ABC verschoben, dann das Bilddreieck um einen Punkt gedreht und so das Dreieck DEF erhalten.

Laura: Ich habe es genau andersrum wie Tobias gemacht.

Miriam: Ich habe nur an Achsen gespiegelt.

Peter: Ihr könntet alle Recht haben! Wir müssen es ausprobieren.

Versetze dich in Lage von Peter und experimentiere.

Geogebra.svg GeoGebra-Datei mit Hilfe Geogebra.svg GeoGebra-Datei ohne Hilfe

Übernimm die Aufgabenstellung auf ein karriertes Blatt. Zeichne mindestens zwei Lösungen in unterschiedlicher Farbe mit Geodreieck und Zirkel.

Drei Seiten, ein Dreieck?

Datei:Komische Hausaufgabe.png

Aufgabe

Peter hat als Hausaufgabe diesen Auftrag bekommen. Er fragt seine Eltern um Rat, doch diese können ihm keinen gute Idee geben. Er versucht Informationen für eine Lösung im Internet zu finden und stößt dabei auf einen Lernpfad: Drei Seiten ein Dreieck
Peter bearbeitet in diesem Lernpfad die Aufgaben zum Thema "Drei Seiten ein Dreieck?". Auf einem Arbeitsblatt in seiner Lernmappe notiert er, was er bei den einzelnen Teilaufgaben gelernt hat.

Mache es genauso wie Peter!


Merke

Ein Dreieck ist genau dann aus drei Seitenlängen konstruierbar, wenn
<popup>die Summe aus zwei Dreiecksseiten stets größer als die Länge der dritten Seite ist:

c < a + b oder b < a + c oder a < c + b.</popup>


Datei:Ich hab es verstanden.png

Teste dich!

Löse das Schüttelrätsel und überprüfe dein Wissen!

Zwei Figuren sind kongruent wenn sie in Form und Größe übereinstimmen. Mit den kongruenten Abbildungen: Achsenspiegelung, Verschiebung,Punktspiegelung und Drehung können wir zeigen, dass Orginalfigur und Bildfigur genau übereinander passen. Kongruente Figuren sind also deckungsgleich.

Stimmen zwei Dreiecke ABC und A´B´C´ in allen drei Winkel-größen und den drei Seiten-längen überein, so sagt man ebenfalls, sie sind kongruent.

Kongruenzüberprüfungen für Schnelltester

Peter musste am Ende der letzten Mathestunde unbedingt mit Paul besprechen, wer sich in der Pause um die Organisation des nächsten Fußballspiels kümmert, deshalb hat er leider die Hausaufgabe nicht mitbekommen. Nun telefoniert er mit Lisa: "Wir sollen alle kongruente Dreieck konstruieren." Sie misst eine Weile, dann sagt sie: "Und zwar soll a= 5cm, b=12cm, c=13cm, = 27,3°,=62,7°, =90° sein."

"Meine Güte!" meint Peter, "Geht es nicht kürzer? Muss ich wirklich alle Seitenlängen und alle Winkelgrößen wissen, damit ich ein Dreieck konstruieren kann, das kongruent zu deinem ist?" "Mach doch was du willst." entgegnet Lisa beleidigt. "Dann konstruier doch ein Dreieck aus der Seite a und b. Alles andere kannst du ja weglassen. Mir ist doch egal, wenn du ein falsches Dreieck hast!"


Aufgabe

Was meinst du? Braucht man alle Angaben? Genügen zwei Streckenlängen? Probiere es aus! Du kannst sowohl per Hand als auch mit Geogebra Geogebra.svg GeoGebra-Datei arbeiten. Hätte Lisa Möglichkeiten gehabt, Peter mit weniger, aber ausreichnd Informationen zu versorgen?

Benutze zur Bearbeitung die Tabelle in deiner Lernmappe!
Dreieck Benennung.svg

Kontrolle deiner Ergebnisse

<popup name="Lösung"> Sind von einem Dreieck drei Größen bekannt, lässt es sich häufig eindeutig konstruieren. D.h. es ist bis auf die Lage festgelegt. Eine der drei Größen muss eine Seite sein. </popup>

Kongruenzsätze zur eindeutigen Konstruktion von Dreiecken

Merke

Hier steht S für eine Seite, W für einen Winkel.
SSS: <popup>Stimmen zwei Dreiecke in den drei __________ überein, so sind sie zueinander kongruent. </popup>

SWS: <popup>Stimmen zwei Dreiecke in zwei __________ und dem __________ Winkel überein, so sind sie zueinander kongruent.</popup>

WSW: <popup>Stimmen zwei Dreiecke in einer __________ und den zwei __________ Winkeln überein, so sind sie zueinander kongruent.</popup>

SsW: <popup>Stimmen zwei Dreiecke in __________ Seiten und dem der größten Seite __________ Winkel überein, so sind sie kongruent.</popup>


Dreiecke eindeutig konstruieren

Im folgenden probiert Peter zu jedem Konstruktionssatz ein eindeutiges konstruierbares Dreieck zu erstellen! Sie dir die einzelnen Konstruktionsfilme an. Fertige dann eine Konstruktionsbeschreibung an!

Konstruktionsfilm zu SSS

Konstruktionsfilm zu SWS

Konstruktionsfilm zu WSW

Konstruktionsfilm zu SsW

Vorlage:Aufgabe-M

Teste Dich

Kongruenzsätze
Finde die Paare aus je einem Bild und dem dazu passenden Begriff.

SSS.jpg SSS Dreieck.PNG
SWS Dreieck.jpg SWS Dreieck.PNG
SsW Dreieck.PNG SsW Dreieck.jpg
WSW Dreieck.jpg WSW Dreieck.PNG

Bringe die Konstruktionsschritte in die richtige Reihenfolge

Konstruktionsbeschreibung SSS. Konstruktionsbeschreibung SWS. Konstruktionsbeschreibung WSW. Konstruktionsbeschreibung SsW.
geg.: a=4,5cm, b=5,2cm, c=7,1cm b=6,5cm, c=4,2cm, =70° c=5,7cm =40°,=78° b=3cm,a=3 cm, =87°
1. Die Strecke =7,1 cm zeichnen. Die Strecke =4,2 cm zeichnen. Die Strecke =5,7 cm zeichnen. Die Strecke =3 cm zeichnen.
2. Kreisbogen um A mit Radius b=5,2cm zeichnen. In A den Winkel =70° antragen. In A den Winkel =40° antragen. In C den Winkel =87° antragen.
3. Kreis um B mit Radius a=4,5cm zeichnen. Kreis um A mit Radius b=6,5cm zeichnen In B den Winkel =78° antragen. Kreis um C mit Radius b=3cm zeichnen.
4. Den Schnittpunkt der Kreise mit C benennen. Den Schnittpunkt C eintragen. Den Schnittpunkt der freien Schenkel C nennen. Den Schnittpunkt A nennen.
5. A und C sowie B und C verbinden. B und C verbinden. A und C verbinden.

Kreuze richtig an!

Die folgenden Aufgaben können auch mehrere richtige Antworten enthalten!

Welcher Begriff erklärt am besten "kongruenz"? (!flächengleich) (!seitengleich) (deckungsgleich)

Zwei Dreiecke, die aus einer Verschiebung entstanden sind, sind kongruent? (wahr) (!falsch)

Zwei Dreiecke, die aus einer Punktspiegelung entstanden sind, sind kongruent? (wahr) (!falsch)

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in den Seitenlängen übereinstimmen? (wahr) (!falsch)

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie im Umfang übereinstimmen? (!wahr) (falsch)

Um zwei kongruente Dreiecke zu zeichenen braucht man... (!immer alle drei Winkel) (!mindestens zwei Seiten) (mindestens eine Seite) (!alle drei Winkel) (nicht zwingend einen Winkel) (mehr als zwei Angaben)

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie den gleichen Flächeninhalt haben? (!wahr) (falsch)

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in allen drei Winkelgrößen übereinstimmen? (!wahr) (falsch)

Welche Angaben sichern die eindeutige Konstruierbarkeit eines Dreiecks!

(gleichseitig) (!rechtwinklig) (!gleichschenklig) (gleichschenklig-rechtwinklig)

Aus welchen Angaben kann man ein Dreieck eindeutig konstruieren?

(a=5cm b=6cm c=7cm) (!a=7cm =112° =80°) (!a=3cm b= 5cm c= 9cm)


Sind die zwei Dreiecke kongruent?

(a=6,5cm c=5cm =36° und a1=5cm, b1=6,5cm 1=36°) (!a=7cm c=6cm =126 und a1=6cm, b1=7cm 1=126°)

Gibt es den Kongruenzsatz SWW?

(!Ja, eine Seite und zwei Winkel sind ausreichende Angaben!) (Nein, aus diesem Satz lässt sich kein eindeutiges Dreieck konstruieren!)

Forscher oder Sternensammler

Vorlage:Aufgabe-M

<metakeywords>ZUM2Edutags,ZUM-Wiki,Mathematik-digital,Kongruenz von Dreiecken,Mathematik,Kongruenz,Dreiecke,Dreieck,9. Klasse,Lernpfad</metakeywords>