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Version vom 21. Juni 2010, 14:09 Uhr

Der Kathetensatz

Der Kathetensatz besagt, dass in jedem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat über einer Kathete flächengleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt ist. Mit den Bezeichnungen der Zeichnung gilt also: a² = pc. Überprüfe die Gleichung zunächst mit dem Taschenrechner (verschiebe dabei A, B und C) und sieh dir anschließend den Beweis an.

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Der Beweis

Kathetensatz.gif   Der Beweis des Kathetensatzes beruht im Wesentlichen darauf, dass das sich bewegende rot gefärbte Viereck seinen Flächeninhalt zu keiner Zeit ändert.

Ein Quadrat mit der Seitenlänge a wird also in ein flächengleiches Rechteck mit den Seitenlängen c und p überführt, d. h. es gilt:

a² = cp

Bei genauerer Betrachtung besteht der Beweis aus drei Schritten.

Im ersten Schritt wird das Quadrat über der Seite a in ein flächengleiches Parallelogramm überführt: Der Flächeninhalt sowohl von Quadrat als auch von Parallelogramm lässt sich berechnen als Produkt aus Grundseite (hier grün gezeichnet) und Höhe (hier blau gezeichnet). Da sich weder die grüne Grundseite noch die blaue Höhe in ihrer Länge ändert, muss der Flächeninhalt konstant bleiben.

Im zweiten Schritt wird das Parallelogramm um den Punkt B um 90o gedreht: Der Flächeninhalt bleibt bei dieser Kongruenzabbildung selbstverständlich konstant.

Im dritten Schritt wird das Parallelogramm in ein flächengleiches Rechteck überführt: Der Flächeninhalt sowohl von Parallelogramm als auch von Rechteck lässt sich berechnen als Produkt aus Grundseite (hier grün gezeichnet) und Höhe (hier blau gezeichnet). Da sich weder die grüne Grundseite noch die blaue Höhe in ihrer Länge ändert, muss der Flächeninhalt konstant bleiben.
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